AnÃ¡lisis Tensorial y GeometrÃa de Riemann

More documents

Recommendations

Info

donde despreciamos los términos de segundo orden. Reemplazando en la ecuación(112) y utilizando (111) obtenemos:C k (R) = A k − Γ k liA l dx i 1 − Γ k mnA m dx n 2 + Γ k mnΓ n rsA m dx s 1dx r 2 (114)− ∂ j Γ k mn Am dx j 1 dxn 2 + Γk mn Γm li Al dx i 1 dxn 2 .(3) Traslademos el vector C k (R) al punto S realizando el mismo procedimientoanterior, pero a través del vector −(dx 1 + δ(dx 1 ))(R),tal que D k (S) =C k + δC k .(4) Finalmente, traslademos el vector D k hasta el punto P . Así, finalmentese obtiene:Ā k − A k = ( ∂ s Γ k qr − ∂ rΓ k qs + Γk ms Γm qr − Γk pr Γp qs)A q dx r 1 dxs 2 . (115)Pero el término entre paréntesis corresponde a la curvatura. Por lo tantopodemos escribir:Ā k − A k = R k rsq dxr 1 dxs 2 Aq . (116)Es decir, la diferencia entre el vector transportado y el original es proporcionala la curvatura.Notemos de la ecuación (116) que Rimjk debe transformar como un tensor,por lo tanto si la curvatura se anula en un sistema coordenado, entonces seanulará en todos los demás.En el caso de un plano con coordenadas cartesianas, sabemos que el transporteno modifica el vector, es decir Γ k ∗ij = 0 ( utilizamos el símbolo = ∗ paradenotar que ésta igualdad es válida en un sistema coordenado paricular ). Eneste caso, según (110), tenemos que la curvatura se anula, Rijkl = 0, por lotanto, la conexión es integrable.En general, si existe un sistema coordenado donde Γ k ij ≡ 0 en todo punto deuna región dada, entonces la curvatura es idénticamente cero Rijk l ≡ 0 en esaregión. Además, como la curvatura es un tensor, ésta se anulará en cualquiersistema coordenado.El contrarecíproco también es válido. Si existe un sistema coordenado en elcual la curvatura sea distinto de cero, Rijk l ≠ 0 , entonces no existirá ningúnsistema coordenado en el cual la conexión se anule idénticamente en la regióndada.Podemos expresar esto diciendo que la condición necesaria y suficiente paraencontrar un sistema coordenado donde la conexión se anule idénticamente Γ k ij ≡0, es que Rijk l ≡ 0 y T ij k ≡ 0.Al considerar la derivada covariante de un tensor se encuentra que ésta, engeneral, no es independiente del orden de derivación. Al estudiar las condicionespara que ésta sea independiente del orden de derivación encontramos que ellatambién está relacionada con la curvatura y la torsión.La derivada covariante de un vector contravariante es:∇ λ A ν = ∂ λ A ν + A α Γ ν αλ . (117)26
Consideremos la segunda derivada covariante de A ν :∇ µ ∇ λ A ν = ∂ µ ∂ λ A ν +∂ µ A α Γ ν αλ +Aα ∂ µ Γ ν αλ +∂ λA α Γ ν αµ +Aα Γ β αµ Γν βλ −∂ αA ν Γ α λµ −Aα Γ ν αβ Γβ µλ .(118)Permutemos los índices µ ←→ λ, obtenemos∇ λ ∇ µ A ν = ∂ λ ∂ µ A ν +∂ λ A α Γ ν αµ +Aα ∂ λ Γ ν αµ +∂ µA α Γ ν αλ +Aα Γ β αλ Γν βµ −∂ αA ν Γ α µλ −Aα Γ ν αβ Γβ λµ .(119)Haciendo la diferencia entre (118) y (119) obtenemos:( )∇ µ ∇ λ A ν − ∇ λ ∇ µ A ν = RαλµA ν α + Γ β λµ − Γβ µλ∂ β A ν . (120)Por lo tanto, la derivada covariante es independiente del orden de derivaciónsi y sólo si R ν αλµ = 0 y T β µλ = 0.9 La geodésica de una conexión afínFigure 8:Consideremos dos puntos infinitesimalmente cercanos P (x k ) y P ′ (x k + dx k )en una variedad provista de una conexión Γ. Como se ve en la figura (??), elvector dx k que une dichos puntos se transporta paralelamente a P ′ resultandoel vector dx ′k . Con el punto P ′ y el vector dx ′k podemos construir el nuevopunto P ′′ (x k + dx k + dx ′k ) y luego transportar dx ′k desde P ′ a P ′′ resultandoel vector dx ′′k , y así sucesivamente.De este modo, se obtiene una línea poligonal que se aproxima a una curvaen el límite infinitesimal, es decir, cuando dx k es realmente infinitesimal y elnúmero de pasos se incrementa sin límite. Esta curva se denomina geodésicaafín y posee la siguiente propiedad:(*) Si A k (x i ) es un vector tangente a la curva en P y se transporta de acuerdoa la conexión Γ al punto P ′ , entonces el vector resultante en P ′ también esparalelo a la curva.En general, una curva es representada dando sus coordenadas como funcionesde un parámetro continuo λ (“en general” quiere decir que en lugar de27
Page 1: Análisis tensorial y geometría de
Page 4 and 5: De este modo obtenemos:d ¯φ = ∂
Page 6 and 7: Verifiquemos la validez de la propi
Page 8 and 9: ForumG - GesellschaftKommentarIm Zw
Page 10 and 11: 5 Densidades tensoriales.Considerem
Page 12 and 13: del lado derecho de (43):∣ ∣
Page 14 and 15: (*) la ecuación (56) es invariante
Page 16 and 17: Vemos que la divergencia cíclica d
Page 18: Γ k lm y ˆΓ k lm, en la misma va
Page 21 and 22: Esto nos lleva a la definición de
Page 23 and 24: Figure 5:8 Integrabilidad y Curvatu
Page 25: Figure 7:Se define el tensor de cur
Page 29 and 30: De este modo, siempre es posible es
Page 31 and 32: Con g µν podemos definir un vecto
Page 33 and 34: En efecto, sea A µ (x α ) un vect
Page 35 and 36: { }En efecto, g µν = cte =⇒ β
Page 37 and 38: Reemplazando la ec. (171) tenemos:A
Page 39 and 40: Utilizando la notación vectorial,
Page 41 and 42: [C i ∂x λ ∂x δ ]]g λδ∂z m
Page 43 and 44: Para las simetrías tenemos que la
Page 45: También, mediante un cálculo dire

AnÃ¡lisis Tensorial y GeometrÃ­a de Riemann

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

AnÃ¡lisis Tensorial y GeometrÃa de Riemann