Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

En efecto, sea A µ (x α ) un vector definido en P (x α ) y Āµ (x α + dx α ) el vectorque resulta de transportar A µ desde P a Q(x α + dx α ), es decir:(Ā µ (Q) = A µ − Γ µ αβ Aα dx β) . (150)PLas longitudes de A µ y µ son respectivamente:pero|A| 2 = (g µν A µ A ν ) P, (151)∣ Ā ∣ ∣ 2 = ( g µν Ā µ Ā ν) Q , (152)g µν (Q) = (g µν + ∂ α g µν dx α ) P, (153)por lo tanto:∣ ∣ [Ā 2 = [g µν + ∂ α g µν dx α ] A µ − Γ µ αβ Aα dx β] [A ν − Γ ν αβA α dx β] . (154)Desarrollando el producto y despreciando los términos de segundo orden endx α , se obtiene:∣ Ā ∣ ∣ 2 = g µν A µ A ν − g µν Γ ν λγ Aµ A λ dx γ − g µν Γ µ αβ Aα A ν dx β + ∂ ρ (g µν ) A µ A ν dx ρ .(155)Igualando (151) y (155) se obtiene:−g µν Γ ν λγ Aµ A λ dx γ − g µν Γ µ αβ Aα A ν dx β + ∂ ρ (g µν ) A µ A ν dx ρ = 0. (156)Intercambiando adecuadamente los índices mudos se obtiene:∂ λ (g µν ) A µ A ν dx λ − g µρ Γ ρ νλ Aµ A ν dx λ − g ρν Γ ρ µλ Aµ A ν dx λ = 0 (157)()∂ λ g µν − g µρ Γ ρ νλ − g ρνΓ ρ µλA µ A ν dx λ = 0.Usando la arbitrariedad de A µ y dx µ obtenemos:∂ λ g µν − g µρ Γ ρ νλ − g ρνΓ ρ µλ = 0 (158)∇ λ g µν = 0,lo cual demuestra el teorema.Teorema: La única conexión que satisface:(i) Tµν λ = 0 (torsión nula o equivalentemente Γ simétrico)(ii) ∇ λ g µν = 0 (o equivalentemente que conserva la longitud de un vectorbajo transporte paralelo)es el símbolo de Christoffel:{ }βµλ≡ 1 2 gνβ [∂ λ g µν + ∂ µ g νλ − ∂ ν g λµ ] . (159)33