Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Si C es una curva representada paramétricamente por x µ = x µ (λ), entoncesC es una geodésica entre P y Q si y sólo sies extremal, es decir, si y sólo si:L =∫ λfλids (142)δL = 0. (143)Pero (143) es equivalente a las ecuaciones de Lagrange:( )δLδx µ = ∂S∂x µ − d ∂Sdλ ∂ ( ) = 0, (144)∂x µ∂λdondeS =√g µνdx µdλSe puede probar que (144) es equivalente a la ecuación:donded 2 x µdλ 2dx νdλ . (145)+ { να u } dxν dx αdλ dλ = f(λ)dxµ dλ , (146){ }βµλ≡ 1 2 gνβ [∂ λ g µν + ∂ µ g νλ − ∂ ν g λµ ] , (147)es llamado símbolo de Christoffel de segunda especie. La función f, análoga ala función φ(λ) de la ecuación (125), siempre puede ser elegida f = 0 eligiendoun parámetro s adecuado:d 2 x µds 2 + { να µ } dxν dx αds ds= 0. (148)Obvservamos que (148) tiene la misma forma que la ecuación (128) para lageodésica afín, de donde se deduce que { να µ } debe ser una conexión.Por ejemplo, en el espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas { να} µ = ∗ 0,de modo que según (148) las geodésicas de este espacio son rectas con ecuacionesx µ (λ) = x µ o + uµ λ, con x µ o y λ constantes.11 Introducción a la geometría de RiemannPara empezar vamos a demostrar dos importantes teoremas.Teorema: Sea M n una variedad con una métrica g µν y una conexión Γ λ µν .Entonces, la longitud de un vector bajo transporte paralelo es conservada si ysólo si:∇ λ g µν = 0. (149)32