AnÃ¡lisis Tensorial y GeometrÃa de Riemann

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Ahora, veremos qué condición debe satisfacer el campo ξ µ para que describauna isometría. Tenemos:dl 2 P Q = g µν(P )dx µ dx ν , (212)dl 2 RS = g µν(R) [dx µ + λ (ξ µ (Q) − ξ µ (P ))] [dx ν + λ (ξ ν (Q) − ξ ν (P ))] ,dondeg µν (R) = (g µν + λξ α ∂ α g µν ) P, (213)ξ µ (Q) = ( ξ µ + dx β ∂ β ξ µ) P .Reemplazando (213) en (212), desarrollando el producto y despreciandotérminos de orden superior, obtenemos:dl 2 RS = g µν dx µ dx ν + λ [g µν dx µ dx γ ∂ γ ξ ν + g µν dx γ dx ν ∂ γ ξ µ + ξ γ dx µ dx ν ∂ γ g µν ] .(214)Cambiando adecuadamente los índices mudos, la ecuación (214) toma laforma:dl 2 RS = g µνdx µ dx ν + λ [g µγ ∂ ν ξ γ + g γν ∂ µ ξ γ + ξ γ ∂ γ g µν ] dx µ dx ν , (215)de modo que la condición (211) nos queda:λ [g µγ ∂ ν ξ γ + g γν ∂ µ ξ γ + ξ γ ∂ γ g µν ] dx µ dx ν = 0. (216)Aquí λ, dx µ y dx ν son infinitesimales, pero arbitrarios. Por lo tanto:g µγ ∂ ν ξ γ + g γν ∂ µ ξ γ + ξ γ ∂ γ g µν = 0. (217)Ésta es una ecuación diferencial parcial que debe satisfacer ξ γ para describiruna isometría. Si esta ecuación tiene más de una solución linealmente independiente,entonces existe más de una dirección de isometría, y los vectores ξ γ sedenominan vectores de Killing.15 Aplicaciones15.1 Plano euclidiano: Métrica, curvatura, geodésicas ysimetríasEn el plano euclidiano y en coordenadas cartesianas (x 1 = x, x 2 = y), la métrica∗es g µν = δµν . Luego, de la ecuación (147) tenemos que los símbolos de Christoffelson nulos y por lo tanto la curvatura también es nula.La ecuación de las geodésicas (148) esd 2 x µdλ 2 = 0.Por lo tanto, las geodésicas en el plano son rectas.42
Para las simetrías tenemos que la ecuación (217) queda:δ µγ ∂ ν ξ γ + δ γν ∂ µ ξ γ = 0, (218)∂ ν ξ µ + ∂ µ ξ ν = 0.Escribimos explícitamente estas ecuaciones:∂ 1 ξ 1 + ∂ 1 1ξ = 0, (219)∂ 1 ξ 2 + ∂ 2 ξ 1 = 0, (220)∂ 2 ξ 2 + ∂ 2 ξ 2 = 0. (221)De (219) y de (221) se obtiene respectivamente que ξ 1 = ξ 1 (y) y ξ 2 = ξ 2 (x).De este modo la ecuación (220) toma la forma:dξ 2dx + dξ1dy= 0. (222)Usando el hecho de que x e y son coordenadas independientes, vemos queesta ecuación se satisface si y sólo si:de modo que:dξ 1= α = cte, (223)dydξ 2dx = −α,ξ 1 = αy + β, (224)ξ 2 = −αx + γ.Esta solución se puede expresar como combinación lineal de tres solucionesindependientes:dondeξ µ = ( ξ 1 , ξ 2) = (αy + β, −αx + γ) , (225)ξ µ = α (y, −x) + β (1, 0) + γ (0, 1) ,ξ µ = αξ µ (1) + βξµ (2) + γξµ (3) ,ξ µ (1)ξ µ (2)ξ µ (3):= (y, −x) , (226):= (1, 0) ,:= (0, 1) .43
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