Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

No se debe inferir que la integral de las componentes de una densidad tensoriales un tensor, pues no lo es (salvo el caso de una densidad escalar).Consecuencias inmediatas de la definición de densidades tensoriales son:(i) Si todas las componentes de una densidad son nulas en un S.C., entoncesson nulas en cualquier S.C.(ii) La suma o diferencia de densidades del mismo tipo y referidas al mismopunto es otra densidad del mismo tipo.(iii) Ecuaciones entre densidades, referidas al mismo punto son independientesdel S.C.(iv) El producto de una densidad tensorial por un tensor es una densidadtensorial.(v) La contracción de índices puede realizarse para densidades tensorialesde tipo ( r s) con r, s ≥ 1, igual que para tensores, resultando una densidad detipo ( s−1 r−1 ).Estas propiedades residen nuevamente en el caracter lineal y homogéneo dela transformación (39).A continuación se presentan algunas consideraciones con respecto a las densidades.(1) Sea T i1...i nun tensor tipo ( 0 n ) totalmente antisimétrico. Si denotamosel valor numérico de T 123...n por τ, entonces cualquier otra componente T i1...i nserá ±τ de acuerdo a si la permutación i 1 ...i n es par o impar, o bien será nulasi se repite un índice. Escribamos la ley de transformación para T 12...n :¯T 12...n = ∂xk1∂¯x 1 ∂x k2∂¯x 2 ...∂xkn ∂¯x n T k 1...k n. (40)Escribiendo explícitamente la suma y usando las propiedades antisimétricasde T se obtiene:∣ ¯T 12...n =∂x k ∣∣∣∣ ∂¯x i T 12...n , (41)es decir,∣ ¯τ =∂x k ∣∣∣∣ ∂¯x i τ. (42)Esto significa que un tensor antisimétrico de tipo ( 0 n ) puede ser consideradoalternativamente como una entidad con una sola componente, la cual es unpseudoescalar.(2) Sea A un escalar y £ i1...in una entidad que en cualquier S.C. está definidocomo ±A de acuerdo con el signo de la permutación i 1 ...i n es par o impar, perocero si los índices no son todos diferentes. Una forma de expresar que A es unescalar es:∣ ¯£ i1...in =∂x k ∣∣∣ ∂¯x i1 ∂¯xin∣ ∂¯x i ...k1∂x ∂x kn £k1...kn . (43)Esto se prueba usando las propiedades de definición del objeto £. Desarrollandoexplícitamente la suma se obtiene un determinante que se cancela con el11