Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

También, mediante un cálculo directo, encontramos que las componentes nonulas de la curvatura de la esfera son:R θ φθφ = −Rθ φφθ = sin2 θ, (232)R φ θθφ = −Rφ θφθ = −1.A continuación se estudiarán las simetrías de la esfera. El sistema de ecuacionespara los vectores de Killing sobre la esfera unitaria, según (217) es:g 1γ ∂ 1 ξ γ + g γ1 ∂ 1 ξ γ + ξ γ ∂ γ g 11 = 0, (233)g 1γ ∂ 2 ξ γ + g γ2 ∂ 1 ξ γ + ξ γ ∂ γ g 12 = 0,g 2γ ∂ 2 ξ γ + g γ2 ∂ 2 ξ γ + ξ γ ∂ γ g 22 = 0.Puesto que la métrica sobre la esfera es:( 1 0g µν =0 sin θtenemos:), (234)Luego:g 11 ∂ 1 ξ 1 + g 11 ∂ 1 ξ 1 + ξ γ ∂ γ g 11 = 0, (235)g 11 ∂ 2 ξ 1 + g 22 ∂ 1 ξ 2 + ξ γ ∂ γ g 12 = 0,g 22 ∂ 2 ξ 2 + g 22 ∂ 2 ξ 2 + ξ γ ∂ γ g 22 = 0.∂ 1 ξ 1 + ∂ 1 ξ 1 = 0, (236)∂ 2 ξ 1 + sin θ∂ 1 ξ 2 = 0,2 sin θ∂ 2 ξ 2 + ξ 1 ∂ 1 (sin θ) = 0.La primera ecuación nos dice que ξ 1 = ξ 1 (φ), de modo que la segunda ytercera ecuación nos queda:∂ 2 ξ 1 + sin θ∂ 1 ξ 2 = 0, (237)2 sin θ∂ 2 ξ 2 + cos θξ 1 = 0.Se puede verificar, reemplazando directamente en estas ecuaciones, que elsistema tiene por solución:ξ µ = ( ξ 1 , ξ 2) = (0, α) = α (0, 1) , (238)donde α es una constante. Esta solución representa una rotación en la direcciónφ.45