Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Definition 3 Sean A µ y B µ dos vectores contravariantes definidos en un puntoP de la variedad. Se define el producto interno entre dichos vectores como:A · B ≡ g µν A µ B ν . (132)Definición:Ángulo entre vectores:Definition 4 Se define el ángulo ∢(A, B) entre los vectores A µ y B µ mediantela relación:cos ∢(A, B) := A · B|A| |B| = g µν A µ B ν√gµν A µ A ν√ g µν B µ B . (133)νDefinición: Los espacios métricos en los cuales la distancia elemental sedefine por una expresión de la forma (129) con det(g µν ) ≡ g ≠ 0 se llamanespacios de Riemann.Además si det(g µν ) ≠ 0 se dice que g µν es ”no-degenerada”.Por ejemplo, en el espacio euclidiano n-dimensional y en coordenadas cartesianasla métrica es g µν = δ µν , de modo que:ds 2 = ∑ µdx µ dx µ , (134)donde µ = 1, 2, ..., n. La longitud de una curva C está dada por:L =∫ λfλi√ ∑µdx µdλdx µdλ, (135)dλel módulo de un vector A, el producto escalar de dos vectores A y B y elángulo entre ellos están dados por:|A| 2 ≡ ∑ µA · B ≡ ∑ µA µ A µ , (136)A µ B µ ,cos ∢(A, B) =∑µ Aµ B µ√∑ν Aν A ν√∑ λ Bλ B λ .Ahora bien, si det(g µν ) ≡ g ≠ 0, entonces existe g µν (x i ) un tensor contravarianteg µν tal que:g µν g νλ = δ µ λ . (137)y recibe el nombre de métrica inversa de g µν .Consideremos ahora un vector contravariante A µ . Es posible definir un vectorcovariante A ′ µ como:A ′ µ ≡ g µνA v . (138)30