Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

ley de transformación es lineal pero no homogénea, lo que implica que si nuestroarreglo de derivadas se anula en un S.C. entonces no se anula necesariamenteen otro.Un resultado análogo se obtiene cuando uno procede a derivar las componentesde cualquier tensor o pseudotensor. Por ejemplo, la ley de transformaciónde un tensor tipo ( 0 2 ) es:luego:Ā jk = ¯∂ j x l ¯∂k x m A lm , donde ¯∂ i = ∂∂¯x i , (61)Ā jk,i = ¯∂ i Ā jk = ¯∂ j x l ¯∂k x m ¯∂i x n ¯∂n A lm + ( ¯∂i ¯∂j x l ¯∂k x m + ¯∂ j x l ¯∂i ¯∂k x m) A lm .(62)Hay dos términos restantes que son combinaciones lineales de las componentesno derivadas, y cuyos coeficientes son segundas derivadas de las coordenadas.Vamos a considerar ahora algunas construcciones que incluyen derivadasparciales y, sin embargo, si son tensores.(I) Sabemos que la derivada de un campo escalar, φ, es un vector covariante,φ ,k . Calculamos ahora φ ,ki y φ ,ik y formemos lo que se llama rotor del gradientede φ:¯φ ,k = ¯∂ k x l ∂ l φ = ¯∂ k x l φ ,l , (63)¯φ ,i = ¯∂ i x l φ ,l , (64)¯φ ,ki = ¯∂ k x l ¯∂i x m φ ,lm + ¯∂ i ¯∂k x l φ ,l ,¯φ ,ik = ¯∂ i x l ¯∂k x m φ ,lm + ¯∂ k ¯∂i x l φ ,l = ¯∂ i x m ¯∂k x l φ ,ml + ¯∂ k ¯∂i x l φ ,l ,¯φ ,ki − ¯φ ,ik = ¯∂ k x l ¯∂i x m (φ ,lm − φ ,ml ).Notar que en la tercera línea se intercambiaron los índices mudos m y l. Asívemos que el rotor es un tensor tipo ( 0 2). Claramente el rotor del gradiente deun campo escalar es cero (asumimos que φ es de clase C ≥ 2).(II) Del mismo modo se verifica que el rotor de un campo vectorial covariantecualquiera A k : ∂ k A i − ∂ i A k es un tensor tipo ( 0 2):Ā k = ¯∂ k x l A l =⇒ Āi = ¯∂ i x l A l , (65)¯∂ i Ā k = ¯∂ k x l ¯∂i x m ∂ m A l + ¯∂ i ¯∂k x l A l ,¯∂ k Ā i = ¯∂ i x l ¯∂k x m ∂ m A l + ¯∂ k ¯∂i x l A l ,¯∂ i Ā k − ¯∂ k Ā i = ¯∂ k x l ¯∂i x m (∂ m A l − ∂ l A m ) .De este modo, el rotor de un vector covariante es un tensor antisimétrico detipo ( 0 2).(III) Formemos ahora lo que llamamos divergencia cíclica de un rotor:∂ l (∂ i A k − ∂ k A i ) + ∂ i (∂ k A l − ∂ l A k ) + ∂ k (∂ l A i − ∂ i A l ) = 0. (66)15