Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Vemos que la divergencia cíclica de un rotor es nula. Veremos a continuaciónque la divergencia cíclica de cualquier tensor antisimétrico tipo ( 0 2) (porsupuesto, el rotor cuenta entre ellos) es un tensor antisimétrico tipo ( 0 3 ). Enefecto, sea T ik un tensor antisimétrico. Entonces:¯T ik = ¯∂ i x l ¯∂k x m T lm . (67)Queremos mostrar que ∂ j T ik + ∂ i T kj + ∂ k T ji es un tensor. Para esto calculemosdichos sumandos a partir de (67):¯∂ j ¯Tik = ¯∂ i x l ¯∂k x m ¯∂j x n ∂ n T lm + (¯∂j ¯∂i x l ¯∂k x m + ¯∂ i x l ¯∂j ¯∂k x m) T lm , (68)¯∂ i ¯Tkj = ¯∂ k x l ¯∂j x m ¯∂i x n ∂ n T lm + (¯∂i ¯∂k x l ¯∂j x m + ¯∂ k x l ¯∂i ¯∂j x m) T lm , (69)¯∂ k ¯Tji = ¯∂ j x l ¯∂i x m ¯∂k x n ∂ n T lm + (¯∂k ¯∂j x l ¯∂i x m + ¯∂ j x l ¯∂k ¯∂i x m) T lm . (70)Si se suman los tres términos, se combinan adecuadamente los índices mudosl, m y n, y se usan las propiedades de antisimetría de T , se obtiene:¯∂ j ¯Tik + ¯∂ i ¯Tkj + ¯∂ k ¯Tji = ¯∂ i x l ¯∂k x m ¯∂j x n (∂ n T lm + ∂ l T mn + ∂ m T nl ) (71)lo cual prueba que la divergencia cíclica de un tensor antisimétrico tipo ( 0 2 )es un tensor antisimétrico tipo ( 0 3 ).Debemos tener cuidado si queremos continuar. Si formamos las derivadasparciales de las componentes de un tensor antisimétrico tipo ( 0 3 ) y sumamos laspermutaciones cíclicas, debemos incluír un signo (−) cuando la permutación seaimpar.Estos son casos en que combinaciones lineales de las primeras derivadas detensores tiene caracter tensorial. Así:-Si el gradiente de un campo escalar φ es nulo, entonces φ es constante.-Si el rotor de un vector covariante es nulo, entonces el vector es un gradientede alguna función escalar.Todo esto no es suficiente para establecer un análisis tensorial exhaustivo sobreuna variedad. Una simple pregunta aún no tiene respuesta: ¿Qué condicióncaracteriza un campo vectorial covariante constante? Obviamente la respuestano es A k,i = 0, pues esta ecuación no es invariante bajo T.C.6.2 Derivada invariante de tensoresQueremos establecer cuánto varía un tensor de un punto al siguiente. Consideremosnuevamente el caso de la derivada de un vector covariante:∂Āk∂¯x i= ∂xl ∂x m ∂A l∂¯x k ∂¯x i ∂x m +∂2 x l∂¯x i ∂¯x k A l. (72)Supongamos que tenemos razón para afirmar que A k es constante si ∂A k /∂x i =0. En otro S.C. esto se expresa como:∂Āk∂¯x i − ∂2 x l∂¯x i ∂¯x k A l = 0. (73)16