Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

5 Densidades tensoriales.Consideremos un campo vectorial contravariante A k y las cuatro integrales:∫A k d n x, (33)donde d n x = dx 1 dx 2 ...dx n y la integral se toma sobre una región dada de M.Observamos que estas integrales no son invariantes bajo T.C. y por lo tanto noson las componentes de algún nuevo vector. Del mismo modo, consideremos laintegral de un campo escalar A:∫I = Ad n x. (34)Veamos ∣como transforma ∣ bajo una T.C.. El elemento de volumen queda:d n ∣∣ ∣∣x = ∣ ∂xk∂ ¯x dn¯x, donde ∣ ∂xkj ∂ ¯x es el determinante jacobiano de la transformación.jLuego:∫ ∫∣ I = Ad n x = Ā∂x k ∣∣∣∣ ∂¯x j d n¯x ∫≠ Ād n¯x = Ī. (35)De este modo I no es invariante bajo una T.C. Pero nos interesa que laintegral I sí sea un escalar. Por otra parte, sabemos que si sumamos sólocantidades escalares el resultado es un escalar. En nuestro caso tenemos unaintegral en vez de una suma. Luego si Ad n x es un escalar entonces I será unescalar. Para esto la ley de transformación de A no debe ser A = Ā, sino:∣ A =∂¯x i ∣∣∣∣∂x k Ā, (36)de modo que:∫ ∫∣ ∣ ∣ I = Ad n x = Ā∂¯x i ∣∣∣ ∣∣∣ ∂x k ∣∣∣∣∂x ∂¯x j d n¯x ∫= Ād n¯x = Ī. (37)Ahora I es un escalar, pero A ya no lo es. Esto motiva la siguiente definición:Definición: Una cantidad ρ es llamada densidad escalar o pseudoescalarde peso p si bajo una T.C. esta obdece la ley:∣ ¯ρ =∂x i ∣∣∣p∣∂¯x k ρ. (38)De lo anterior se concluye que la integral de una densidad escalar de peso 1es un escalar.Vamos a extender la noción de densidad a entidades de más componentes.Definición: Un conjunto de n r+s cantidades τ i1...irk 1...k sson las componentesde una densidad tensorial de peso p y tipo ( r s ), en un punto P , si bajo una T.C.dichas componentes transforman según la ley:∣ ¯τ i1...irk 1...k s=∂x i ∣∣∣p∂¯xi 1∂x...∂¯xirm1l1...lr∣∂¯x k l1∂x ∂x lr ...∂xms Tk1 ks m∂¯x ∂¯x 1...m s. (39)10