Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

del lado derecho de (43):∣ ∣ ∣ ¯£ i1...in =∂x k ∣∣∣ ∣∣∣ ∂¯x k ∣∣∣∣ ∂¯x i ∂x i £ i1...in , (44)¯£ i1...in = £ i1...in . (45)Esto expresa que A es un escalar. Por lo tanto, £ es una densidad tensorialantisimétrica del tipo ( n 0 ). Es costumbre denotar el caso particular A = 1como ɛ i1...in . Esta densidad es una herramienta muy útil y recibe el nombre dedensidad tensorial de Levi-Civita.(3) Consideremos una variedad de 4 dimensiones. A partir de ɛ klmn y untensor antisimétrico de tipo ( 0 2 ), φ kl, podemos formar los siguientes productos:18 ɛklmn φ kl φ mn = φ 12 φ 34 + φ 23 φ 14 + φ 31 φ 24 , (46)12 ɛklmn φ kl = f mn .los que son una densidad escalar y una densidad tensorial de tipo ( 2 0), respectivamente.De este modo vemos que podemos obtener densidades a partirde tensores antisimétricos.(4) Consideremos el tensor antisimétrico A ikl en una variedad de 4 dimensiones.Entonces se puede probar que, en principio, el número de componentesindependientes de este tensor es 4. Si formamos la siguiente densidad vectorialcontravariante:16 ɛklmn A klm = £ n . (47)entonces las componentes de £ serán las componentes independientes de A. Porlo tanto, un tensor antisimétrico de tipo ( 0 3), A klm , puede ser mapeado a unadensidad vectorial contravariante, £ n , cuya n-ésima componente correspondea la componente klm del tensor, donde (k, l, m, n) es una permutación par de(1, 2, 3, 4).(5) A partir de un vector covariante B k se puede formar la siguiente densidadtensorial antisimétrica de tipo ( 3 0 ):£ klm = ɛ klmn B n . (48)Todo esto nos lleva al siguiente teorema:Teorema: A todo tensor antisimétrico T i1...i pde orden p ≤ n se le puedehacer corresponder una densidad tensorial τ de tipo ( n−p0 ) cuyas componentescontienen las componentes independientes del tensor. Las componentes de τestán dadas por :τ j1...j n−p= 1 p! ɛj1... jn−p i1...ip T i1...i p, (49)y recibe el nombre de densidad adjunta o dual del tensor original.12