Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Esto nos lleva a la definición de la derivada invariante de un vector covariantemediante la siguiente ecuación:A i;j := A i,j − Γ k ij A k. (92)Para encontrar la expresión de la derivada invariante de un vector contravariante,debemos determinar el transporte paralelo de este vector.Para esto consideramos que el transporte paralelo del escalar A i B i es nulo:δ (A i B i ) = 0, (93)δA i B i + A i δB i = 0,Γ j ik A jdx k B i + A i δB i = 0,A i(Γijk dx k B j + δB i) = 0.Usando la arbitrariedad de A i tenemos:δB i = −Γ i jk dxk B j . (94)Por lo tanto, la derivada invariante de un vector contravariante utilizandola idea del transporte paralelo es:B i ; j := Bi ,j + Γk ij A k. (95)Para un tensor general, Tpq..., kl... aplicamos consideraciones similares al escalarTpq... kl... A kB l ...F p G q ..., con A k , B l , ...,F p , G q ...,vectores arbitrarios. Lo que ahorapedimos es que la expresión que determina el desplazamiento paralelo de dichoescalar, δTpq..., kl... sea nulo. Siguiendo el modelo anterior se obtiene:Tpq...; kl...i = T pq..., kl...i + T pq... nl... Γk ni + T pq... kn... Γl kl...ni + ... − Tnq... Γp ni − T pn... kl... Γq ni− ... . (96)7 TorsiónDada una conexión es posible definir el tensor de torsión.Definición:Se define el tensor de torsión como:T kij := Γk ij − Γk ji . (97)Notemos que éste transforma como tensor debido a que al hacer la diferenciade las conexiones, se anula el término no homogéneo de la ley de transformación.Una interesante interpretación geométrica de la torsión es la siguiente:21