Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

contravariante, A k B k , (ambos definidos en el mismo punto) es un escalar y sele llama producto interno o producto escalar de los vectores A y B.Consideremos el producto de las componentes A i de un vector contravariantey las componentes B k de un vector covariante. Veamos cómo transforma esteproducto bajo una T. C.:Ā i ¯Bk = ∂¯xi ∂xmAl∂xl ∂¯x k B m = ∂¯xi ∂x m∂x l ∂¯x k Al B m . (14)Las cantidades A i B k son las componentes de un ente que para ser especificadocompletamente necesita más de un índice y que, bajo una transformaciónde coordenadas, sus componentes transforman en forma lineal y homogeneasegún la ecuación (14). Esto motiva la siguiente definición:Definición:Un conjunto de n 2 cantidades Tki son las componentes de untensor de rango 2, de tipo ( 1 1 ), en un punto P , si bajo una T.C. dichas componentestransforman según la ley:¯T i k = ∂¯xi∂x l ∂x m∂¯x k T l m . (15)De aquí podemos obtener una definición más general de objetos que para suespecificación requieren varios índices.:Definición:Un conjunto de n r+s cantidades T i1...irk 1...k sson las componentes deun tensor de rango r + s, de tipo ( r s ), en un punto P si bajo una T.C. dichascomponentes transforman según la ley:¯T i1...irk 1...k s∂x= ∂¯xi1 ...∂¯xirm1l1∂x ∂x lr ...∂xmsk1∂¯x ∂¯xm 1...m s. (16)ksTl1...lrNotemos que T i1...irk 1...k ses un tensor de carácter mixto, contravariante de rangor y covariante de rango s. Además, la definición nuevamente hace referenciaexplícita al punto P donde está definido el tensor, debido a que las coordenadasx k del punto entran como argumento en cada una de las derivadas parciales.Usando la ecuación (2), se prueba que la ley de transformación (16) poseeinversa y está dada por:T i1...irk 1...k s∂¯x= ∂xi1m1...∂xir ...∂¯xmsl1∂¯x ∂¯x lr k1∂x ∂xm 1...m s. (17)ksTl1...lrClaramente los dos tipos de vectores definidos previamente son casos especialesde tensores. Un vector contravariante es un tensor del tipo ( 1 0) y un vectorcovariante es un tensor del tipo ( 0 1 ). Un escalar es llamado tensor de rango cero.En particular la relación ∂ ¯xj ∂x i∂x= δ j i ∂ ¯x l lpuede ser escrita en la forma:¯δ j l = ∂¯xj∂x i ∂x k∂¯x l δi k, (18)lo cual muestra que la delta de Kronecker es un tensor del tipo ( 1 1 ). Pero (18) sereduce a ¯δ j l = δj l, de modo que ésta es una de las muy pocas entidades tensorialesnuméricamente invariantes que es posible definir en una variedad cualquiera.5