Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Figure 2:=⇒ ∂(x1 , ..., x n ) ∂(¯x 1 , ..., ¯x n )∂(¯x 1 , ..., ¯x n ) ∂(x 1 , ..., x n = 1. (3))Luego, el jacobiano de la transformación (1) no se anula sobre U 1 ∩ U 2 .3 Escalares, vectores y tensoresPresentaremos ahora ciertas entidades matemáticas que pueden ser asociadassobre una variedad. El caso más simple es una propiedad expresada por unnúmero asociado a un punto P de la variedad, el cual por definición no cambiabajo una transformación de coordenadas (T.C.). Podemos pensar, por ejemplo,en un campo de temperaturas en alguna región del espacio.Definición:Una función real φ(x i ), definida en una región de la variedadM, es llamada campo escalar si bajo una transformación de coordenadas severifica:¯φ(¯x j ) = φ(x i ). (4)Veamos cómo transforma la diferencial de un campo escalar φ.¯φ = ¯φ(¯x j ), luego la diferencial del campo es d ¯φ = ∂ ¯φ∂ ¯xd¯x j . jUsando la regla de la cadena y las ecuaciónes (1) y (4) tenemos:TenemosAsí tenemos:∂ ¯φ∂¯x j = ∂φ ∂x l∂x l ∂¯x j , (5)d¯x j = ∂¯xj∂x i dxi . (6)d ¯φ = ∂ ¯φ∂¯x j d¯xj = ∂φ ∂x l ∂¯x j∂x l ∂¯x j ∂x i dxi = ∂φ ( ∂xl∂¯x j )∂x l ∂¯x j ∂x i dx i = ∂φ ( ) ∂xl∂x l ∂x i dx i . (7)3