Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Encontremos las condiciones que debe satisfacer una conexión para que seaintegrable.Para ello, consideremos un vector contravariante A k asociado a un punto Pde coordenadas x j . Definamos un campo vectorial tal que el vector asociado aun punto Q coincida con el vector A k transportado desde P a Q, es decir,A k + dA k = A k + δA k , (102)como dA k = ∂Ak∂x j dx j y δA k = −Γ k ij Ai dx j tenemos que∂A k∂x j + Γk ijA i = 0. (103)Ésta es la condición que debe satisfacer un vector contravariante A k en elcaso que Γ k ij sea integrable.Las segundas derivadas parciales cruzadas de A k deben ser iguales, es decir:∂ 2 A k∂x m ∂x j =∂2 A k∂x j ∂x m . (104)De las ecuaciones (103) y (104) se obtiene la condición:∂ (Γk∂x m ij A i) −∂ (Γk∂x j im A i) = 0. (105)Esta condición también se puede obtener imponiendo la condición que δA ksea una diferencial exacta. De esta forma, si transportamos A k a través deuna curva continua, obtenemos por el teorema fundamental del cálculo queel transporte es independiente de la trayectoria. Apliquemos la condición deexactitud. Como δA k = −Γ k ij Ai dx j , entonces se debe satisfacer:∂ (Γk∂x m ij A i) =∂ (Γk∂x j im A i) ,que corresponde a la ecuación (105). Desarrollando obtenemos queA i ∂ m Γ k ij + Γk ij ∂ mA i − A i ∂ j Γ k im − Γk im ∂ jA i = 0. (106)Como δA k = −Γ k ij Ai dx j es una diferencial exacta, tenemos que ∂ j A k =−Γ k ij Ai . Reemplazando ∂ j A k en (106) tenemos:A i ∂ m Γ k ij − Ai ∂ j Γ k im + Γk lm Γl ij Ai − Γ k lj Γl im Ai = 0, (107)A i ( ∂ m Γ k ij − ∂ j Γ k im + Γ k lmΓ l ij − Γ k ljΓ l im)= 0. (108)Como A i es un vector arbitrario, la condición de integrabilidad es:Definición:∂ m Γ k ij − ∂ j Γ k im + Γ k lmΓ l ij − Γ k ljΓ l im = 0. (109)24