Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

4.5 Invariancia de las ecuaciones tensorialesHemos visto que los tensores pueden ser sumados, restados o, más generalmente,linealmente combinados con coeficientes escalares. Podemos formar productosentre tensores y luego contraerlos con tal que los procesos de multiplicaciónconduzcan a tensores de tipo ( r s ) con r ≥ 1 y s ≥ 1. Y todo esto es posible si ysólo si ellos se refieren al mismo punto de M.También se mencionó que un importante tensor de cada tipo es el tensorcero de ese tipo. Dicho tensor es numéricamente invariante debido a que su leyde transformación es lineal y homogénea. Por ejemplo, esto tiene como consecuenciaque una ecuación como Spq... kl... = T pq... kl... sea independiente del sistemacoordenado, ya que esto es equivalente a afirmar que Spq... kl... − Tpq... kl... es el tensornulo. Este hecho es el que garantiza el teorema de la invariancia de laspropiedades de simetría y antisimetría de los tensores. Obviamente si S y T sonde distinto tipo, o bien, si se refieren a puntos distintos, la ecuación carece detodo sentido invariante.Consideremos ahora un tensor de tipo ( r s ), r vectores covariantes, s vectorescontravariantes, y el siguiente producto contraído:S kl...pq... A kB l ...F p G q ... . (30)Entonces, de acuerdo con las reglas de producto externo e interno, estamultiplicación es un escalar.La proposición inversa es también verdadera: Supongamos que no sabemossi un arreglo de números S ... ... tiene caracter tensorial, pero sabemos que (30) esun escalar para cualquier conjunto arbitrario de vectores A...G.... Entonces S ......son las componentes de un tensor del tipo definido por sus índices.En efecto, para probar esto consideremos una transformación particular y...llamemos ¯S ... a las componentes de S transformadas como si fuera un tensor.Llamemos ˜S ... a cualquier conjunto de números que comparte con ¯S ... la......propiedad de hacer (30) un escalar. Es decir tenemos:¯S pq...Āk kl... ¯B l ... ¯F p Ḡ q ... = Spq... kl... A kB l ...F p G q ... , (31)˜S pq...Āk kl... ¯B l ... ¯F p Ḡ q ... = Spq...A kl...k B l ...F p G q ... .Estas ecuaciones expresan queobtenemos:... ... ¯S ... y ˜S ... dejan (30) invariante. Restándolas( ¯Skl... kl...pq... − ˜S pq...)Āk ¯Bl ... ¯F p Ḡ q ... = 0, (32)¯S pq... kl... kl...− ˜S pq... = 0,¯S kl...pq... =˜Skl...pq... .Es decir, usando la arbitrariedad de los vectores A...G... hemos probado queestos arreglos son iguales y por lo tanto bajo las hipótesis mencionadas S debeser un tensor.9