Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Desarrollando la expresión ∂ s g ∗ ij , llegamos a :(∂ s gij ∗ ∂x µ ∂x ν )= ∂ s g µν∂z i ∂z j∂x=(∂ µ ∂x ν ∂x αα g µν∂z i ∂z j ∂z s + g µν(188)∂ 2 x µ ∂x ν∂z s ∂z i ∂z j + g ∂ 2 x ν ∂x µ )µν∂z s ∂z j ∂z i .Reemplazando en (187) y reduciendo los términos semejantes, encontramosg ∗ ijΓ ∗jlm Al dz m ∂ 2 x ν ∂x µ= g µν∂z s ∂z j ∂z i Aj dz s + Γ µ αβ g ∂x ν ∂x α ∂x βµν∂z i ∂z m ∂z n Am dz n . (189)Cambiando algunos índices mudos y factorizando, llegamos agij ∗ Γ∗j lm Al dz m ∂x µ ( ∂ 2 x ν= g µν∂z i ∂z m ∂z l + ∂x α ∂x β )Γν αβ∂z l ∂z m A l dz m , (190)gijΓ ∗ ∗jlm = g ∂x µ ( ∂ 2 x νµν∂z i ∂z m ∂z l + ∂x α ∂x β )Γν αβ∂z l ∂z m . (191)Finalmente despejando Γ ∗jlm , encontramosΓ ∗klm = g ∗ki ∂x µ ( ∂ 2 x νg µν∂z i ∂z m ∂z l + ∂x α ∂x β )Γν αβ∂z l ∂z m . (192)La ecuación anterior nos entrega la conexión inducida sobre S N .13 Resultados de la conexión y métrica inducidas13.1 Aplicación a la teoría de superficiesEn la teoría de superficies, consideramos una variedad bidimensional sumergidaen R 3 , por lo tanto, debemos ser capaces de encontrar la teoría de superficies apartir de los resultados anteriores.Para ello debemos considerar el hecho que la conexión de R 3 en coordenadascartesianas es cero, y la métrica es la métrica euclidiana δ µν . En este caso losíndices griegos toman los valores 1, 2, 3 y los índices latinos 1, 2. Apliquemosestas condiciones primero al caso de la métrica y luego al de la conexión.13.1.1 Primera forma fundamentalSabemos por la ecuación (171) que la métrica inducida esg ∗ ij = g µν∂x µ∂u i ∂x ν∂u j (193)38