Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Con g µν podemos definir un vector A ′′µ como:A ′′µ ≡ g µν A ′ ν. (139)De este modo vemos que usando la métrica podemos mapear vectores contravariantes(en el espacio tangente) en vectores covariantes (en el espacio cotangente)y viceversa.Además, si usamos (138) en (139) obtenemos:A ′′µ = g µν A ′ ν = g µν g νλ A λ = δ µ λ Aλ = A µ , (140)lo cual prueba que hay una relación uno a uno entre vectores del espaciotangente y cotangente. En espacios en que g ≠ 0 se puede hablar por tantode vectores como objetos geométricos, cada uno de los cuales puede definirsetanto por sus componentes covariantes como contravariantes. Por ejemplo, el∗espacio Euclidiano es un espacio de Riemann en el cual g µν = δµν , de modo quelas componentes covariantes y contravariantes de cualquier vector coinciden ennuméricamente en coordenadas cartesianas. De aquí que no sea necesaria taldistinción en espacios euclidianos estudiados en coordenadas cartesianas.Figure 9:La utilidad del tensor métrico para “subir” o “bajar” índices también valepara tensores en general. Por ejemplo, a partir del tensor Tµν λρ podemos definirel tensor:= g µα Tαν λρ . (141)T µλρν10.1 La geodésica métricaConsideremos dos puntos P y Q en una variedad provista de métrica. Se definela geodésica como la curva de longitud mínima entre P y Q.31