Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

(6) Sea g ik un tensor de tipo ( 0 2 ) cuya ley de transformación para sus componenteses:ḡ ik = ∂xl ∂x m∂¯x i ∂¯x k g lm = ∂xl∂¯x i g ∂x mlm∂¯x k . (50)Escribamos (49) en forma matricial:ḡ ik = a l i g (lm aT ) mk o bien Ḡ = AGAT , (51)con a l i = ∂xl∂¯x iy ( a T ) mk= ∂xm∂¯x k .Calculamos el determinante de ambos lados de la ecuación (50) tenemos:det Ḡ = det(A) det(G) det(AT ) (52)det Ḡ = det(A) det(G) det(A)det Ḡ = det 2 (A) det(G). (53)Si denotamos det(Ḡ) = ḡ, det(G) = g y det(A) = ∣ ∣∣ ∂x i∂ ¯x k ∣ ∣∣, tenemos:Ahora calculamos la raíz cuadrada y obtenemos:∣ ḡ =∂x i ∣∣∣2∣∂¯x k g. (54)√ḡ =∣ ∣∣∣ ∂x i∂¯x k ∣ ∣∣∣ √ g. (55)Por lo tanto, concluimos que:Proposición: (i) La raíz del determinante de cualquier tensor covariantede rango 2 es una densidad escalar de peso 1.(ii) La raíz del determinante de cualquier tensor contravariante de rango 2es una densidad escalar de peso 1.La afirmación (ii) se prueba en forma análoga al que usamos para llegar a(i).De este modo, si g ij es un tensor y su menor lo denotamos por M ij , entoncespodemos escribir:g mk M lk = δ l mg (56)g mkM lkg= δ l mNotemos que (56) es válido en cualquier sistema coordenado siempre queM lk sea el menor de g lk en ese sistema. Ahora bien:(*) las cantidades M lk /g están completamente determinadas,(*) sabemos que δ l m es un tensor de tipo (1 1 ) y g mk es un tensor de tipo ( 0 2 ),13