Análisis Tensorial y GeometrÃa de Riemann
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Ahora, veremos qué condición <strong>de</strong>be satisfacer el campo ξ µ para que <strong>de</strong>scribauna isometría. Tenemos:dl 2 P Q = g µν(P )dx µ dx ν , (212)dl 2 RS = g µν(R) [dx µ + λ (ξ µ (Q) − ξ µ (P ))] [dx ν + λ (ξ ν (Q) − ξ ν (P ))] ,don<strong>de</strong>g µν (R) = (g µν + λξ α ∂ α g µν ) P, (213)ξ µ (Q) = ( ξ µ + dx β ∂ β ξ µ) P .Reemplazando (213) en (212), <strong>de</strong>sarrollando el producto y <strong>de</strong>spreciandotérminos <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n superior, obtenemos:dl 2 RS = g µν dx µ dx ν + λ [g µν dx µ dx γ ∂ γ ξ ν + g µν dx γ dx ν ∂ γ ξ µ + ξ γ dx µ dx ν ∂ γ g µν ] .(214)Cambiando a<strong>de</strong>cuadamente los índices mudos, la ecuación (214) toma laforma:dl 2 RS = g µνdx µ dx ν + λ [g µγ ∂ ν ξ γ + g γν ∂ µ ξ γ + ξ γ ∂ γ g µν ] dx µ dx ν , (215)<strong>de</strong> modo que la condición (211) nos queda:λ [g µγ ∂ ν ξ γ + g γν ∂ µ ξ γ + ξ γ ∂ γ g µν ] dx µ dx ν = 0. (216)Aquí λ, dx µ y dx ν son infinitesimales, pero arbitrarios. Por lo tanto:g µγ ∂ ν ξ γ + g γν ∂ µ ξ γ + ξ γ ∂ γ g µν = 0. (217)Ésta es una ecuación diferencial parcial que <strong>de</strong>be satisfacer ξ γ para <strong>de</strong>scribiruna isometría. Si esta ecuación tiene más <strong>de</strong> una solución linealmente in<strong>de</strong>pendiente,entonces existe más <strong>de</strong> una dirección <strong>de</strong> isometría, y los vectores ξ γ se<strong>de</strong>nominan vectores <strong>de</strong> Killing.15 Aplicaciones15.1 Plano euclidiano: Métrica, curvatura, geodésicas ysimetríasEn el plano euclidiano y en coor<strong>de</strong>nadas cartesianas (x 1 = x, x 2 = y), la métrica∗es g µν = δµν . Luego, <strong>de</strong> la ecuación (147) tenemos que los símbolos <strong>de</strong> Christoffelson nulos y por lo tanto la curvatura también es nula.La ecuación <strong>de</strong> las geodésicas (148) esd 2 x µdλ 2 = 0.Por lo tanto, las geodésicas en el plano son rectas.42