Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

Figure 7:Se define el tensor de curvatura como:R k imj := ∂ mΓ k ij − ∂ jΓ k im + Γk lm Γl ij − Γk lj Γl im . (110)Teorema:Una conexión es integrable si y sólo si su curvatura es igual a cero.Una interpretación geométrica de la curvatura es la siguiente:Consideremos cuatro puntos P, Q, R, S como en la figura (??), donde lascoordenadas de P son x k , dx k 1 es la diferencial que une los puntos P y Q, dxk 2 ladiferencial que une los puntos P y S. Si consideramos una conexión simétrica,es decir con torsión nula, el paralelógramo que se obtiene al transportar lasdiferenciales es cerrado. Esto nos permite definir un circuito cerrado.Sea A k (P ) un vector contravariante definido en el punto P . Traslademos estevector a través del circuito hasta volver el punto P y obtengamos la diferenciaentre el vector transportado y el vector original: Ā k − A k .(1) Transportemos A k de P a Q:B k (Q) = A k + δA k = A k − Γ k li(x j )A l dx i 1. (111)(2) Transportemos B k de Q a R:C k (R) = B k + δBk = B k − Γ k mn (Q)Bm (dx n 2 + δ (dxn 2 )), (112)donde transportamos B k a través del vector dx n 2 + δ (dxn 2 ) que corresponde adx k 2 transportado hasta el punto Q. Como la conexión está evaluada en el puntoQ, de coordenadas x k + dx k 1 , debemos hacer una expansión en serie, es decir:Γ k mn(x i + dx i 1) = Γ k mn(x i ) + ∂Γk mn(x i )∂x j dx j 1 , (113)25