Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

De este modo, siempre es posible escoger un parámetro tal que el segundomiembro de (127) se anule:d 2 x kds 2+ dx l dx mΓk lm = 0. (128)ds dsSe verifica directamente que esta ecuación se mantiene bajo cualquier transformaciónlineal de parámetro (ŝ = as+b, con a, b constantes). De este modo, lassoluciones de la ecuación (128), x i = x i (s), son representaciones paramétricasde las geodésicas afín.10 MétricaLa métrica es el instrumento matemático que permite introducir el concepto dedistancia.Definición: Se denomina espacio métrico al espacio que cuenta con unaley para medir distancias.Sean x k y x k +dx k las coordenadas de dos puntos infinitesimalmente cercanosen una variedad. La expresión para la distancia entre estos puntos puede sermuy general, pero se le debe exigir que sea un escalar, es decir, que su valor seaindependiente del sistema coordenado. El caso más estudiado es el que suponeque la distancia elemental entre dichos puntos está dada por una expresión dela forma:ds 2 ≡ g µν dx µ dx ν , (129)donde las g µν son funciones de las coordenadas x α . Además, por definición, lasg µν son las componentes de un tensor covariante de segundo orden, simétrico yrecibe el nombre de tensor métrico. Esto asegura que ds sea efectivamenteun escalar y se denomina elemento de línea.A continuación veremos que una métrica introducida sobre la variedad esuna poderosa herramienta.Definición: Longitud de una curva:Definition 1 Sea C una curva en la variedad dada por x i = x i (λ), con λ i ≤λ ≤ λ f . Definimos la longitud de la curva como el escalar∫ λf∫ λf∫√ λf√L := ds = gµν dx µ dx ν dx= g µ dx νµν dλ. (130)dλ dλλiDefinición: Longitud de un vector:λiDefinition 2 Sea A µ un vector contravariante definido en un punto P de lavariedad. Llamamos módulo de A µ al escalar:λi|A| 2 ≡ g µν A µ A ν . (131)Obviamente en la ecuación (131) g µν , A µ y A ν deben estar evaluados en elmismo punto P .Definición: Producto escalar:29