Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

(*) la ecuación (56) es invariante bajo transformaciones coordenadas.Por lo tanto, las cantidades M lk /g deben ser las componentes de un tensor.Teorema: Los menores normalizados de un tensor covariante de rango 2forman un tensor contravariante de rango 2 denotado por:g lk = M lkg . (57)Se puede probar fácilmente lo inverso, es decir, si formamos los menoresnormalizados de g lk obtenemos un tensor covariante de rango 2. Más aún, esetensor es justamente g lk .Si multiplicamos (57) por la raíz del determinante de g ik obtenemos obviamenteuna densidad tensorial contravariante de rango 2:ϱ lk = M lk√ g(58)ϱ lk = √ gg lkUna importante consideración final tiene que ver con el producto externo. Siéste es puramente externo, es decir, no envuelve contracciones, entonces dichoproducto puede ser nulo si y sólo si uno de sus factores es el tensor cero. En otraspalabras, en el álgebra de tensores y densidades tensoriales no hay divisores decero.6 Análisis tensorial6.1 Derivada ordinariaSalvo el caso de un escalar, la derivada de las componentes de un tensor notiene sentido invariante (independiente de las coordenadas), ya que resulta dela sustracción de tensores referidos a puntos distintos. Aquí no importa quelos puntos sean “cercanos” pues precisamente en la derivada se contempla elcambio de la componente del tensor producido por un pequeño cambio de lascoordenadas.Veamos, por ejemplo, cómo transforma la derivada de un vector covarianteA k y que se denota por A k,i . La ley de transformación de A k es:de modo queĀ k = ∂xl∂¯x k A l, (59)Ā k,i = ∂Āk∂¯x i = ∂xl ∂x m ∂A l∂¯x k ∂¯x i ∂x m +∂2 x l∂¯x i ∂¯x k A l. (60)Vemos que la derivada parcial de un campo tensorial con respecto a lascoordenadas x i se comporta como un tensor tipo ( 0 2 ) excepto por el segundo. La14