Análisis Tensorial y Geometría de Riemann

λ podemos escoger cualquier función continua de λ). Así tenemos la curva representadapor x i = x i (λ) y A k = dx k /dλ el vector que indica en cada punto ladirección de la curva. Para que esta curva tenga la propiedad (*) se exige queel vector Ãk transportado de P a P ′ sea proporcional a A k (P ′ ):Ã k (x i + dx i ) = MA k (x i + dx i ), (121)A k (x i ) + δA k = M [ A k (x i ) + d ( A k)] ,donde M es una constante de proporcionalidad, que en general depende deλ. Perod(A k ) = d( dxkdλ ) = d2 x kdλ, (122)dλ2 yδA k = −Γ k lm Al dx m = −Γ k dx llmdλ dxm = −Γ k dx llmdλde modo que (121) queda:dx mdλ, (123)dλM d2 x kdλ 2 dλ + dx l dx mΓk dxklm dλ = (1 − M)dλ dλ dλ , (124)[M d2 x kdλ 2 + dx l dx m ] Γk lm dλ = (1 − M) dxkdλ dλdλ .Resulta natural que la diferencia entre M y la unidad debe ser del ordende dλ, por lo cual podemos reemplazar M por 1 en el primer término de(124). Además, esta diferencia puede cambiar de un punto a otro, de modoque podemos dejar el factor 1 − M dependiendo de λ. Para esto escribimos1 − M = φ(λ)dλ, de modo que:[ d 2 x kdλ 2+ dx lΓk lmdλd 2 x kdλ 2dx m ]dλ = φ(λ)dλ dxkdλdλ , (125)+ dx l dx mΓk lmdλ dλ= φ(λ)dxk dλ .Bajo el cambio de parámetro s = s(λ), la ecuación (125) se transforma en:d 2 x kds 2+ dx l dx mΓk lmds ds = φs′ − s ′′ dx ks ′2 ds , (126)donde s ′ = ds/dλ. El segundo miembro de esta ecuación se anula si y sólosi φs ′ − s ′′ = 0, es decir, si:[ ∫ ]λ′s =∫ λexpφ(u)dudλ ′ . (127)28