INTRO FISICA MODERNA FULL.pdf - Cosmofisica

Notas delCurso de Física ModernaDr. Edy Ayala A.Departamento de FísicaEscuela Politécnica NacionalBorrador 6Quito- julio - 2008

ii“….cualquier atributo de un sistema físico que pueda predecirse con precisión sin perturbardicho sistema es un elemento de realidad física” E.P.R.

iiiCONTENIDORELATIVIDAD ESPECIALOscilaciones…………………………………………………………………………………….1Ondas Mecánicas ………………………………………………….………………………...11Transformaciones de Galileo……………………………………………...……….………..22Relatividad de Newton ………………………………………………………….…………...23Experimento de Michelson Morley……………………………………………....………….25Relatividad especial………………………………………………………………….……….29Transformaciones de Lorentz……………………………………………………...….….....30Consecuencias de las Transformaciones de Lorentz……………………....…….………34Aberración de la luz y efecto Doppler…………………………………….........………..…38Dinámica relativista…………………………………………………………...........……......42INTRODUCCION A LA FÍSICA CUÁNTICARadiación del Cuerpo Negro………………………………………………….………….….51Efecto foto-eléctrico…………………………………………………………………………..58Efecto Compton……………………………………………………………….…………..….62Creación de pares……………………………………………………………….……….......63Postulado de de Broglie……………………………………….…………………………..…65Comportamiento cuántico……………………………………….……………….................66Principio de incertidumbre…………………………………….……………………………..69MECÁNICA CUÁNTICA NO RELATIVISTAEcuación de Schrödinger………………………………………………….…………….…..77Magnitudes dinámica y valores esperados………………………..……….……………...80Ecuación independiente del tiempo………………………………………..…………..…...81Potenciales escalón y efecto túnel………………………………………….………….…...82Pozos de potencial……………………………………………….………….…………….....86Oscilador armónico…………………………………………………………...………………90Propiedades de las funciones de onda y valores medibles………………….….…….…93MODELOS ATÓMICOSPrimeros modelos………………………….…………………………...…………………....99Schrödinger y el átomo de Hidrógeno……………………………………....…………....102Orbitales atómicos………………………………………………………….……..………...109Momentos dipolares magnéticos…………………………………………….…………....111Experimento de Stern Gerlach y el spin del electrón……………………….………...…113Interacción spin-orbita……………………………………………………….…..........……115Momento angular total ……………………………………………………….………....….116Partículas Idénticas.………………………………………………………………..……….119Principio de exclusión………………………………………………………………….……120Átomos múlti-electrónicos…………………………………………………….……….…...123Tabla periódica…………………………………………………………………..……….….128Rayos X fluorescentes ……………………………………………………….………........131Excitaciones ópticas……………………………………………………………………...…132Interacciones residuales ……………………………………………………………..…... 135Reglas de Hund………………………………………………………………...........……..136Efecto Zeeman…………………………………………………………………..............….139Interacción Hiper-fina …………………………………………………….……..............…141Moléculas ……………………………………………………………………...………….…143Orbitales moleculares……………………………………………………………………....144Espectros moleculares……………………………………………………………………...148

ivAPLICACIONES BÁSICASGas de electrones libres (modelo de metales)…………………………………………152Efectos termoeléctricos…………………………………………………………………...157Electrones en potenciales periódicos……………………………………………………159Semiconductores……………………………………………………………….………….163INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA NUCLEARPropiedades nucleares…………………..…………………………………………………174Reacciones nucleares………………………………………………………………………179Decaimientos radiactivos……………………………….……………………………….....180Ley del decaimiento radiactivo………………………………………………….…………191Fisión…………………………………………………………………………………………196Fusión……………………………………………………………………….....................…200INTRODUCCIÓN A LA FISICA DE PARTICULAS..Partículas e interacciones………………………………………………….…………..…203Propiedades y números cuánticos……………………………………………………….204Modelo estándar……………………………………………………………………………208BIBLIOGRAFIALa mayoría del material utilizado en este folleto ha sido extraído de la siguiente bibliografía,en especial los ejercicios propuestos.1. R. Resnick, Conceptos de relatividad y Física Cuántica, Ed. Limusa.2. R. Eisberg, R. Resnick, Física Cuántica, Ed. Limusa.3. Kenneth Krane, Física Moderna, Ed. Limusa4. V. Acosta, C.L. Cowan, B.J. Graham, Curso de Física Moderna, Ed. Harla5. Alonso y Finn, Curso de Física, vol.3, Ed. F.I.D.6. Gautreau R. SavinW.,Theory and Problems of Modern Physics, Schaum´s outline series.7. E.H. Wichmann, Física Cuántica, Berkeley Physics Course, Vol.4.8. I. V. Saveliev, Curso de Física General, Vol.3, Ed. Mir.9. Richard Feynman, Conferencias de Física, Vol 3, Ed. F.I.D.10. L.L.Goldin,G.I.Novikova, Introducción a la Física Cuántica, Ed. Mir.11. Relatividad, Albert Einstein12. En busca del gato de Schrodinger, John Gribbin13. De los Atomos a los Quarks, J. Treffiel14. La Historia del tiempo, S. Hawking15. El universo en una cáscara de nuez, S. Hawking16. En búsqueda de una teoría final, S. Weinberg17. El Quark y el Jaguar, Murray Gell-Man18. Partículas elementales t´Hoof, Ed., Critica19. Electrones y quark, Yndurain, Ed. Critica

vPREFACIOSe presentan los apuntes generales de la materia que conforman el programa del curso deFísica General III que se dictan en las carreras de ingeniería de la Escuela PolitécnicaNacional.El estudiante encontrará múltiples dificultades en el entendimiento del folleto si se lopretende utilizar como libro texto del curso. Esto se debe a su origen, puesto que son soloapuntes de clase. Este folleto de ninguna manera reemplaza el libro (o los libros) texto delcurso, sino más bien quiere ser una ayuda, a disposición del estudiante, para un repasorápido de la materia vista durante todo el semestre. Además éste añade una serie dedemostraciones y desarrollos, solo con el objetivo se satisfacer la curiosidad de algunosestudiantes que desean conocer “de donde sale tal o cual resultado”. Este folleto estacomplementado, en algunos capítulos, con ejemplos resueltos y una serie de ejerciciospropuestos.El folleto trata en su primer capitulo de un corto repaso de los conceptos básicos de ondas yde la relatividad especial. Se discuten la relatividad newtoniana y sus limitaciones paraterminar con la relatividad de Einstein y la modificación necesaria de la dinámica.En el segundo capítulo se describen rápidamente los experimentos cuánticos que mostraronque las ondas electromagnéticas se comportaban como partículas. Se describe el problemadel cuerpo negro, efecto foto-eléctrico, efecto Compton y producción y aniquilación de pares.Se plantea la hipótesis de de Broglie, el principio de complementariedad y el principio deincertidumbre de Heisenberg.En el tercer capitulo se estudia los conceptos básicos de la mecánica cuántica no relativistaen la formulación debida a Schrödinger, se dan los principales postulados, su interpretaciónestadística, se desarrollan problemas básicos, las propiedades de la función de onda. Suaplicación a átomos con un electrón (previa introducción histórica), su generalización aátomos múlti-electrónicos. Se hace una pequeña discusión a los enlaces iónicos ycovalentes, una pequeña aproximación a los orbitales moleculares y las bandas de energíavibracional y rotacional.Por último se desarrolla una serie de aplicaciones básicas que consiste en el tratamiento deun gas de electrones libres que modela a los metales, con el objetivo de describir laspropiedades termo-eléctricas de los mismos. Se desarrolla en forma básica, electrones enpotenciales periódicos con el resultado fundamental de la generación de bandas de nivelesde energía prohibidas lo que define las características eléctricas de los materiales. Sediscute sobre los semiconductores intrínsecos y extrínsecos para terminar en la juntura n-p ylos transistores.En el último capitulo se hace una pequeña introducción a la física nuclear, poniendo énfasisen el decaimiento radiactivo; y a la física de partículas, describiendo el modelo estándar,modelo que describe nuestra actual cosmo-visión de los ladrillos fundamentales de lanaturaleza.El folleto debe tener un sin número de errores que involuntariamente han sido pasados poralto por el autor. Cualquier comentario, observación y corrección al folleto, por favor hacerlallegar al autor directamente, a la dirección electrónica:eayala@epn.edu.ecAtentamenteDr. Edy Ayala A.Departamento de FísicaEscuela Politécnica Nacional

viConstantesCarga del electróne = 1.6 10 -19 CMasa del electrón m e = 9.11 10 -31 kg = 511 keV/c 2Masa del protón m p = 1.673 10 -27 kg = 938.272 MeV/c 2Masa del neutrón m n = 1.675 10 -27 kg = 939.566 MeV/c 2Constante de Planckh = 6.626 10 -34 J s = 4.136 10 -15 eV sConstante de Boltzmann k = 1.38 10 -23 J K -1 = 8.617 10 -5 eV K -1Velocidad de la luz (vacío) c = 3.00 10 8 m s -1Permitividad eléctrica (vacío) 0 = 8.85 10 -12 F m -1Permeabilidad magnética (vacío) µ 0 = 4 10 -7 H m -1Número de Avogadro N A = 6.02 10 26 kg-mol -1Constante de Rydberg R = 1.10 10 7 m -1Magnetón de Bohr µ B = 9.27 10 -24 J T -1Magnetón Nuclear µ N = 5.0508 10 -27 J T -1 = 3.1525 10 -14 MeV T -1Constante de Estructura Fina = 1/137Radio clásico del electrón r e = 2.81 10 -13 m.Radio de Bohr a 0 = 0.53 10 -10 m.Datos ÚtilesUnidad atómica de masa 1u = 1.66 10 -27 kg = 931.502 MeV/c 2Factor de conversión de Energía 1 eV = 1.6 10 -19 JAños en segundos1 yr = 3.16 10 7 sPresión atmosférica 1 atmosphere = 1.01 10 5 N m -2Aceleración de la gravedad en la Superficie de la Tierra g = 9.81 m s -21 gramo molécula a STP ocupa 22.4 litrosPrimeros Polinomios Asociados de Legendre:Pl m= P l −mPPPPPP001011202122= 1= cosθ= sinθ1=43= sen2θ23=2( 3cos 2θ+ 1)( 1−cos 2θ)PPPP303132331=83=815=415=4( 5cos3θ+ 3cosθ)( senθ+ 5sen3θ)( cosθ− cos3θ)( 3senθ− sen3θ)

1BREVE REPASO DE OSCILACIONES Y ONDAS MECANICASOSCILACIONESSe dice que un proceso es periódico cuando éste se repite cada determinado tiempo, porejemplo: moléculas oscilando en un sólido, electrones en los átomos, las cuerdas de unviolín, el movimiento periódico de la Tierra alrededor del sol, el voltaje y la corriente encircuitos alternos (AC). Todo movimiento periódico se lo puede considerar como unasuperposición de movimientos armónicos simples. El movimiento armónico simple de uncuerpo con un grado de libertad se representa mediante una función que varía en el tiempode la siguiente manera:ψ ( t ) = A.sen(ω0 t + φ)dondeA es la amplitud de la oscilaciónω 0 es la frecuencia angular de oscilaciónφ es la fase inicialFigura. Oscilación armónicaEl número de oscilaciones por unidad de tiempo se le conoce con el nombre de frecuenciaω0de oscilación y esta dada como: ν = ; el tiempo que tarda el sistema en realizar una2π1oscilación completa se lo llama período de oscilación y es: τ =νA continuación se discuten algunos ejemplos de sistemas que oscilan armónicamente:Masa con resorteConsidere una masa m atado a un resorte con constante recuperación k, en la región dondela ley de Hook es válida,La ecuación de movimiento es:2d xm2dt= −kx

2& x+ ω xcon20=2ω0cuya solución es: x ( t)= Asen(ω0t + φ)=0kmla siguiente figura muestra la relación de fase entre la posición, velocidad y aceleración:Figura. Relación de fases entre la posición, velocidad y aceleraciónSi consideramos la energía total del sistema, es decir, la suma de la energía cinética ypotencial, entonces:1 2 1 2E = mx&+ k x2 2Si x& t)= Aω cos( ω t + )(0 0φNote que la energía total del sistema es constante,1 2 2 2 1 2 2E = mA ω0cos ( ω0t+ φ)+ kA sen ( ω0t+ φ)22Si se considera el siguiente arreglo:E =12kA2=122mωA2Figura. Masa atada a dos resortes de igual constante de recuperación

3Si la longitud de los resortes no estirados es a0y la longitud de los mismos en la posiciónde equilibrio es a. La fuerza sobre la masa m será:F x= −k( x − a0 ) + k(2a− x − a0) = −2k(x − a)2d xm = −2k(x − a)2dtCambiando de variable: ψ = x − a se tiene,2d ψm = −2kψ2dtLa frecuencia de oscilación en este caso es:2 2kω0=mOscilaciones transversalesConsidere el caso anterior pero con oscilaciones transversales,Figura. Oscilaciones transversales del sistema anteriorM2d x2dtx ⎛ a ⎞= − − ⋅ = − − = − ⎜ −02k(l a0) senθ2k(l a0) 2kx1 ⎟l ⎝ l(x)⎠Para el caso de pequeñas oscilacionesl22⎛ ⎞=2 +2 =2 x⎜ 1+2a x a⎟ = a2 1⎝ a ⎠1 1 −= εl a1/ 2( 1+)( + ε )2⎪⎧2d xa ⎡⎤⎪⎫0⎛ 1 x ⎞M = −2kx⎨1− ⎢1−⎜⎟ + ...22 ⎥⎬dt ⎪⎩a ⎣ ⎝ 2 a ⎠ ⎦⎪⎭M2d x 2kx(a − a0)= −2dt a

42 2k(a − a0) 2T0La frecuencia de oscilación en este caso es: ω0= =Ma MaLos distintos ejemplos hasta ahora planteados muestran una ecuación diferencial lineal aresolver. Estas ecuaciones tienen la propiedad de que la suma de cualquiera de sussoluciones es también solución.El péndulo simple.2d sm = −mg⋅ senθ2dts = lθ y para pequeñas oscilaciones sen θ ≈ θ , así,2d θl = −mg⋅θdtm2& 2θ + ω θ 0 con0=2ω0θ ( t ) = A.sen(ω0 t + φ)g=lCircuito LCAsí,donde,2d IL2dtdILdt1= −CQ= −CdQdt1= − ICI ( t)= A.sen(ω0t + φ)2ω0=1LC

5Note que en cada uno de los ejemplos desarrollado, la frecuencia de oscilación, y por lotanto el período de oscilación, es independiente de la amplitud del oscilador armónico.Adicionalmente, se puede observar que la energía del oscilador es proporcional al cuadradode la amplitud.Oscilaciones amortiguadasSi se considera fuerzas de rozamiento en el movimiento oscilatorio ideal, estas fuerzasdisipativas disminuirán la energía del sistema y se dice que el movimiento es amortiguado.Si estas fuerzas se las consideran proporcionales a la rapidez con la que se mueve elcuerpo, la ecuación de movimiento introduce un término adicional,cuya solución es:2d xm = −kx− b2dt−bmdxdt2x( t)= Ae cos( ω t + φ)donde la frecuencia de oscilación esta dada por:t2ω=km⎛ b ⎞− ⎜ ⎟⎝ 2m⎠22 ⎛ b ⎞= ω0− ⎜ ⎟⎝ 2m⎠2La amplitud de la oscilación va decreciendo exponencialmente como se muestra en la figura:Figura. Disminución de la amplitud por amortiguación del movimiento oscilatorioOscilaciones forzadas y resonanciaEn este caso el oscilador es sometido a una fuerza externa, que generalmente se laconsidera también periódica, así:2d x dxm = −kx− b + F(x)2dt dtSiF( x)= F senωt, la solución de esta ecuación, para cuando se haya alcanzado un estado0estacionario, es:

6x(t)= Acost( ω + φ)donde la amplitud A es ahora función de la frecuencia de la fuerza externa, de la frecuencianatural del sistema (en este caso:por:2ω0A == km2 2( ω − ω )) y del amortiguamiento del sistema y esta dadaF0/02m2⎛ bω⎞− ⎜ ⎟⎝ m ⎠Cuando ω → ω0la amplitud crece y alcanza un máximo. En este caso decimos que elsistema entra en resonancia debida a la fuerza externa. Si el amortiguamiento es pequeño,la amplitud puede crece considerablemente.PulsacionesEn un sistema bidimensional la parte móvil puede moverse como una superposición de dososcilaciones armónicas, si las frecuencias son cercanas, ω 1 y ω 2 , de manera que:ψ t)= A.sen(ω )1( 1tψ2( t)= A.sen(ω2t)La suma ψ = ψ 1+ ψ2⎡⎛ ω + ⎞ ⎤= A sen⎢⎜1ωψ2R ⎟t⎥⎣⎝2 ⎠ ⎦donde:⎡⎛ω − ⎞ ⎤A R= 2Asen⎢⎜1ω 2⎟t⎥ ⎣⎝2 ⎠ ⎦que se le conoce como oscilación con amplitud modulada.Estos movimientos compuestos en 2D forman las conocidas figuras de Lisajus.

7Consulta. Péndulo bi-dimensionalOscilaciones libres de sistemas con dos grados de libertadFigura. Sistemas con dos grados de libertadEl movimiento general de un sistema de dos grados de libertad puede tener una aparienciamuy complicada (ninguna con movimiento armónico simple). Sin embargo, para dos gradosde libertad y para ecuaciones de movimiento lineales, el movimiento más general es lasuperposición de dos movimientos armónicos simples (modos normales de vibración).Escogiendo las condiciones iniciales apropiadas se puede hacer oscilar al sistema en susmodos normales (es decir, bajo esas condiciones los modos se desacoplan)Osciladores acopladosFigura. Osciladores acoplados. Oscilaciones longitudinalesd ψmdt2a2d ψmdt2b2= −kψ= −ka+ k( ψ −ψ)( ψb−ψa) − kψbbaSumando y restando las dos ecuaciones:dmdm22( ψa+ ψb)= −k2dt( ψa−ψb)= −3k2dt( ψ + ψ )ba( ψ −ψ)baCada ecuación corresponde a un modo normal de vibración con frecuencias:

82 k3kω =y ω2 =mmEs fácil darse cuenta de cuales serán los modos normales de las oscilaciones transversalesdel mismo sistema. ¡grafique los modos de vibración normales y escriba los modosnormales!Figura. Osciladores acoplados. Oscilaciones transversalesEjemplo.1. Escriba (intuya) los modos de oscilación transversales normales del sistema de dososciladores acoplados con resortes. Escriba las ecuaciones del movimiento.Solución. Las ecuaciones de movimiento son:d ψmdt2a2dmdtT0= − ψaaT0−a( ψ −ψ)2ψ bT0T=02a( ψa−ψb) − ψbaabCuerda vibranteSi se generaliza a un sistema de muchas masas acopladas, los modos de vibraciónnormales serán tantos como osciladores acoplados tenga el sistema.Figura. Modos normales en una cuerdaSi se considera a la cuerda como un conjunto de masas puntuales unidas elásticamente(aproximación al continuo). De acuerdo con la ley del movimiento de Newton, se tiene quepara la masa j-ésima:

9m∂ φ2jj=2∂tF(j)Donde φ representa los desplazamientos perpendiculares de las partículasPara desplazamientos pequeños, y despreciando la fuerza gravitatoria, la fuerzarestauradora será perpendicular a la cuerda y resultará de la pequeña diferencia dedirección de las fuerzas de tensión que tiran de la partícula hacia la izquierda y hacia laderecha. Si la tensión de la cuerda es T, la componente vertical de la fuerza restauradoraserá:⎡φ− φjF(j)= T ⎢⎣ Δxφj− φj+Δxj −1+ 1⎤⎥⎦Six = j ⋅ Δxpara representar la posición horizontal de la j-ésima masa de la cuerda ydefiniendo la densidad de masa lineal como:Δmρ = lim Δx→0 Δxse tiene que:2Δm∂ φ ⎧φ(x − Δx)− 2φ( x)+ φ(x + Δx)⎫= T ⋅2 lim ⎨⎬Δx→0 2Δx∂t⎩ ( Δx)⎭22∂ φ ∂ φρ = T22∂t∂xsi se defineTυ = se tiene:ρ

102∂ φ 1−2 2∂xυ2∂ φ= 02∂tEsta ecuación toma el nombre de “la ecuación de la Onda” siendo el parámetro υ lavelocidad de propagación de la onda (perturbación en la cuerda, en este caso).Si dicho parámetro lo consideramos constante, vemos que esta ecuación puede resolversepor separación de variables.Proponemos una solución:φ( x,t)= f ( x)⋅ cos( ωt)Reemplazando, se tiene:dondeωk =υcos2∂ φ= −2 2∂xυ2d f2dx1 2f ( x)⋅ωcos12υ( ωt)2( ωt) = − f ( x)⋅ωcos( ωt)2d f2dx2d f2dx2ω+ f ( x)= 02υ2+ k f ( x)= 0f ( x)= A⋅senφ( x,t)= A ⋅ sen ⋅( kx)( kx) cos( ωt)Considerando las condiciones de borde. En este caso, la cuerda no oscila en los bordes:φ ( 0, t)= φ(L,t)= 0kL = nπ donde n es entero. No todos los valores de k son permitidos, tan solo aquellos,La solución en este caso será:nπk =L⎛ nπ⎞φn( x,t)= A⋅sen⎜x⎟⋅ cos⎝ L ⎠( ωt)Cada n entero representa un modo de oscilación normal.¡¡Grafique los primeros tres modos¡¡

11Debido al principio de superposición, cualquier superposición de estas soluciones tambiénes solución.ψ ( x , t)= ∑ anφn( x,t)nSi se supone que al tiempo t=0 el desplazamiento de la cuerda respecto de la posición deequilibrio esta representado por la función f(x), entonces,f ( x)= ψ ( x,0)= ∑ a nφn( x,0)⎛ nπ⎞f ( x)= ∑ ansen⎜x⎟ ⎝ L ⎠nLa solución obtenida es general, especificada solamente por las condiciones de borde. Estoimplica que cualquier función arbitraria puede representarse como una superposición defunciones senos o (cosenos) 1 , donde los coeficientes se los puede calcular fácilmente(Análisis de Fourier 2 ).Note que debido a estas condiciones de borde, se tiene una onda estacionaria.ONDAS MECANICASUna onda mecánica la podemos considerar como: “Una perturbación originada en undeterminado punto del espacio que se propaga a través de un medio”. Si la perturbacióncausa un movimiento de los elementos del medio en dirección de su propagación se la llama“onda longitudinal” y si la perturbación causa un movimiento de los elementos del medioperpendicular a la dirección de propagación se la denomina “onda transversal”. Lapropagación de esta perturbación se debe a que los elementos constitutivos del medio(átomos, moléculas) están acoplados unos a otros.Como la perturbación está en movimiento, se la representa por función tanto de la posicióncomo del tiempo, es decir,ψ = f ( x,t)ψ ( x,t)t 0= f ( x,0)= f ( x), representa el perfil de la onda en t=0.=Supongamos una onda que no cambia su forma mientras avanza a través del espacio, comose observa en la siguiente figura.1 Para n y m enteros:L22 ⎛ nπx´a = f ( x´)sen dx´⎞nL∫ ⎜ ⎟⎝ L ⎠0L2 ⎛ mπx´⎞ ⎛ nπx´⎞sen ⎟ sen⎜⎟ dx = δL∫ ⎜´⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠0mn(delta de Kronecker)

12Figura. Perfil viajeroConsideramos una onda o pulso viajando a una velocidad υ en dirección x.Supongamos un sistema S´ que se mueve con el pulso. En este sistema la onda o pulso nose mueve, así: ψ = f (x´)pero x´ = x −υt, de tal forma que: ψ ( x,t)= f ( x −υt)es la funciónque representa la forma más general de una onda unidimensional propagándose en ladirección positiva de las x. Entonces, f ( x + υt)representará una onda viajando en ladirección negativa de las x.Podemos verificar que las dos formas de ondas satisfacen la ecuación mediante realizaciónde las derivadas reemplazo directo, es decir, son soluciones de:2∂ f2∂x1−2υ2∂ f2∂t= 0donde υ es la velocidad de propagación de la onda.En tres dimensiones,∇21f −2υ2∂ f2∂t= 0Note, además que esta ecuación es lineal, es decir, que si ψ1y ψ 2son solucionesentonces ψ1+ ψ2también es solución. Una forma general para una función de onda sepuede escribir como:ψ = c f x −υt)+ c g(x + υ ) donde c 1 y c 2 son constantes y1(2tf y g: funciones doblemente diferenciables.Ondas ArmónicasSe toma un perfil de la forma armónica:ψ ( x,t)t 0= ( x)= Asen(kx)donde, k → vector de propagación tal que,=ψkx → (adimensional) radianesUna onda viajera será entonces:

13ψ ( x,t)= Asenk(x −υt)(Note que si tiene un perfil de onda arbitrario se lo puede escribir como una superposiciónde ondas armónicas: análisis de Fourier)Manteniendo fijas ya sea x o t, se tiene una perturbación sinusoidal de tal forma que la ondaes periódica tanto en espacio como en tiempo, como se indica en la Figura.Figura. Periodicidad especial y temporal de una onda sinusoidalEl período espacial se conoce como longitud de onda, λ, es decir: ψ ( x,t)= ψ ( x ± λ,t)parael caso de una onda armónicak λ = 2π.De forma análoga para el período temporal, τ, ψ ( x , t)= ψ ( x,t ± τ ) para el caso de una ondaarmónicak υτ = 2π.2πυτ = 2πλλτ =υ1 ωpuesto que la frecuencia de oscilación es ν = , υ = con ω = 2πνse tiene,τ kυ = λ ⋅νEl número de onda se define como:1ℵ = .λVelocidad de fasePara el caso de una onda armónica, el argumento completo de la función seno se le conocecon el nombre de fase, φ. Así φ = kx − ωt.

14Si la función es de tipo Asen ( kx − ω t + ε ) a ε se le conoce como fase inicial (o edad delángulo), que no es más que la contribución constante a la fase que se origina en elgenerador.La fase de una perturbación es una función de x y t.φ ( x , t)= ( kx − ωt+ ε )La derivada parcial de φ respecto a t (manteniendo x = constante) es la rapidez del cambio⎛ ∂φ⎞de fase con el tiempo, ⎜ ⎟⎝ ∂t⎠x= ω .⎛ ∂φ ⎞Similarmente, la rapidez del cambio de la fase con la distancia (a t = constante), ⎜ ⎟ = k .⎝ ∂x ⎠ tDonde:⎛ ∂x⎞⎜ ⎟⎝ ∂t⎠φ−=∂φ( )∂t∂φ( x)∂ txrepresenta la velocidad de propagación de un punto de fase constante.⎛ ∂x⎞ ω⎜ ⎟ = ± = ± υ , es la rapidez con la cual el perfil se mueve y se conoce como velocidad⎝ ∂t⎠φkde la onda o velocidad de fase.Para el caso de la cuerda vibrante infinita la solución la podemos escribir como:φ(x,t)= Asen( kx − ωt)donde la velocidad de fase será:υ =TρSi consideramos un elemento infinitesimal dm de la cuerda (el cual esta oscilando). Laenergía cinética de este elemento es:Para t=0dE K1= ( dm)⋅ &22 1( φ) = ρdx[ ωAcos(kx − ωt)] 221 22 2dE K= ρω A cos ( kx)dx2Integrando en un intervalo de longitud de onda (período espacial)λ1 2 2 2 1 2 2E K λ = ∫ ρω A cos ( kx)dx = ρω A λ240

15El mismo elemento de masa tiene una energía potencial,1U = ρω 2 A2 λ4De manera que la energía total será:1E = ρω 2 A2 λ2y la potencia transferida o la taza de energía transferida por la onda sinusoidal,1 2 2 λ 1 2 2P = ρω A = ρω A υ2 τ 2Si se define la Intensidad de la onda como la energía que transmite la onda por unidad deárea y por unidad de tiempo,1 2 2I = ρVωA υ2Donde se ha introducido la densidad volumétrica del medio. Note que la intensidad de lasondas depende del cuadrado de la amplitud de la onda.Representación compleja. Para mayor facilidad en la matemática de las ondas se suelerepresentar a éstas mediante una función compleja donde ya sea su parte real o imaginariarepresenta la magnitud que oscila.rrri(k ⋅−ωt)ψ (, t)= A ⋅ eOndas planas. Son aquellas ondas cuyos frentes de ondas son planos perpendiculares a ladirección de propagación, como se indica en la siguiente figura.Figura. Frentes de onda planosEn este caso se satisface:krr⋅ = constanteψ = Acos(k ⋅ r − ωt)r rk = k i + kr rj + k kx2xy2yk = k + k + kz2z2πωk = como: υ = = ν ⋅ λλk

16ω = 2πνOndas esféricas. Su frente de onda son esferas concéntricas que se propagan del puntofuente para afuera o viceversa. Analíticamente toman la forma:ψ ( r,t)⎛= ⎜⎝A ⎞⎟ ⋅r ⎠er ri(k ⋅−ωt)Ejemplo de ondas:1. Sonido en aire (perturbación en la densidad o presión del aire). Velocidad del sonido enaire 330 m/s. (la velocidad de propagación de la perturbación depende de laspropiedades del medio donde se propaga).2. Desplazamiento transversal en una cuerda libre3. Ondas superficiales de agua4. Ondas electromagnéticas (no necesitan un medio para propagarse) los camposeléctricos y magnéticos se propagan en el espacio. Son perpendiculares entre sí yperpendiculares a la dirección de propagaciónSuperposición de ondasFigura. Dos ondas viajeras en direcciones opuestas con oscilaciones opuestas.Las figuras muestran dos ondas transversales viajeras en direcciones opuestas de unacuerda, oscilando en el mismo sentido (se suman) y en sentidos opuestos (se restan).Si las ondas tuviesen igual amplitud y frecuencia y se propagan en sentidos opuestos:ψ1= Acos( kx − ωt)y ψ2= Acos( kx + ωt)ψ = ψ 1+ ψ 2ψ = 2Acos( kx) sen( ωt)

17que representa a una onda estacionaria (ver cuerda vibrante).Si sumamos dos ondas con diferentes frecuencias:Se tiene:( t k x)ψ1= Acos ω1−1ω 1≈ ω 2= ω( t k x)ψ2= Acos ω2−2k 1≈ k 2= kψ = ψ 1+ ψ 2⎡⎛ ω + ⎞ ⎛ k + k ⎞ ⎤= A Rcos⎢⎜1ω1 2ψ2⎟t− ⎜ ⎟x⎥⎣⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦Donde:⎡⎛ω − ⎞ ⎛ k − k ⎞ ⎤A R= 2Acos⎢⎜1ω 21 2⎟t− ⎜ ⎟x⎥ ⎣⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦Figura. Paquetes de ondaCada componente se propaga con su velocidad de fase.ωυph= = νλ kSin embargo el paquete se mueve con “velocidad de grupo”dωυg=dk

18Interferencia de dos fuentes de onda sincrónicas o (experimento de Young de los dos agujeros)Considere el caso de dos fuentes de ondas sincrónicas (generan ondas coherentes,mantienen su fase constante al transcurrir el tiempo) separadas una cierta distancia. En unpunto en los alrededores de la zona de influencia de las fuentes, llegaran ondas producidastanto por la una o por la otra fuente, superponiéndose en ese punto. Dependiendo de sudiferencia de fase la superposición nos dará una amplificación o eliminación de laperturbación.Figura. Experimento de Young de la doble rejilla.La diferencia de camino óptico recorrido de las ondas, en alcanzar el punto P, es r2 − r1, Siesta diferencia es un número entero veces la longitud de onda de la onda, entonces lainterferencia será constructiva puesto que en el punto P las ondas estarán vibrando en fase.Por el contrario, si la diferencia de camino óptico recorrido es un semi-entero veces lalongitud de onda, entonces las ondas vibrarán desfasadas en media longitud de onda y seanularán, produciendo lo que se conoce como interferencia destructiva. Obteniéndose untípico diagrama de interferencia, como se muestra en la figura anterior.La intensidad promedio es:I = I2maxcos⎛⎜⎝π d senθλImax= 4I 0donde I0es la intensidad de una sola de las fuentes en el punto de observación.⎞⎟⎠Para el caso de varias fuentes sincrónicas alineadas se tiene que las ondas provenientes delas fuentes se superpondrán de diferentes maneras (esto se describe fácilmente mediantediagramas de fasores). En los puntos donde todas las ondas se sumen en fase, se produciráuna interferencia constructiva y reciben el nombre de máximos primarios; en otros puntosalgunas ondas de varias fuentes se anularán entre si pero otras no, a todas estas se lesconoce como máximos secundarios. Es importante notar que los máximos primarios nocambian de número y posición en un diagrama de interferencia cuando se incrementa elnúmero de fuentes coherentes alineadas, pero se vuelven más angostas al incrementarsedicho número. Por otro lado, los máximos secundarios se incrementan en número alaumentar las fuentes. Esto lo representamos en la siguiente figura.

19Figura. Interferencia de varias fuentes coherente alineadasAdicionalmente, la intensidad estará dada por la siguiente expresión:I= I0⎡ ⎛ Nπd senθ⎞⎤⎢sen⎜⎟⎥⎢ ⎝ λ ⎠⎥⎢ ⎛ π d senθ⎞ ⎥⎢ sen⎜⎟ ⎥⎣ ⎝ λ ⎠ ⎦2DifracciónLa onda incide sobre una abertura y se desvía. Se pensaría que debería verse unaproyección del agujero mucho más grande por lo que se ha difractado la onda sin embargose observa un patrón de difracción con regiones claras y oscuras (al referirnos a ondas deluz)Figura. Difracción de Fraunhofer (los haces de luz llegan paralelos a la pantalla)

20Cada punto del frente de onda en el agujero se comporta como una nueva fuente, por lotanto la onda proveniente de cada porción del agujero interferirá con las otras, en unadirección determinada. Un patrón de difracción no es más que uno de interferencia dediferentes puntos de un mismo agujero (la interferencia de un número infinito de fuentesubicadas en el agujero).Si definimosλθ = m con m = ± 1 , ± 2, ± 3...asen osc2πβ = a senθentonces la intensidad de los picos esta dada como 3 :λ( β / 2) ⎞2⎛ senI = Imax⎜ ⎟⎝ β / 2 ⎠Cuando se tiene más de un agujero, debemos considerara la interferencia de los diferentespatrones de difracción para cada agujero. Para el caso de dos agujeros se tiene:Figura. Difracción en varios agujerosEn este caso, el diagrama de interferencia yace dentro del de difracción y la intensidad estarepresentada por:sen(x)lim =0 x31x→

21I= Imax2 ⎛ π d senθ⎞⎛sencos ⎜ ⎟⎜⎝ λ ⎠⎝β / 2( β / 2) 2⎟⎠⎞Consulta. Interferencia de láminas delgadas y Difracción de Bragg de Rayos X.Ejercicios1. Un objeto de 0.5 kg atado a un resorte de constante de recuperación de 8 N/m vibra conmovimiento armónico simple con una amplitud de 10 cm. Calcular (a) el valor máximo de suvelocidad y aceleración; (b) la velocidad y aceleración del objeto cuando se halla a 6 cm de laposición de equilibrio; (c) el intervalo de tiempo requerido por el objeto para moverse de x=0 ax=8 cm.2. Una partícula de masa m se desliza sin fricción dentro de un tazón esférico de radio R. Muestreque empezando desde el reposo, con un pequeño desplazamiento del equilibrio. La partícula semueve con movimiento armónico simple y frecuencia igual al de un péndulo simple de longitud R.3. Un objeto de 10.6 kg oscila atado a un resorte de constante 2.05 10 4 N/m. La resistencia del aire serepresenta por un coeficiente de atenuación de 3 N s /m. (a) calcule la frecuencia del osciladoramortiguado; (b) en qué porcentaje se reduce la amplitud en cada ciclo; (c) en que tiempo eloscilador reduce su amplitud al 5% de su valor inicial.4. Considere dos masas de valores diferentes m 1 y m 2 unidas por un resorte de constanterecuperadora k. Calcule las frecuencias de oscilación de sus modos normales.2−(x−5t)5. Un pulso de forma: y(x,t)= 5.0e. Donde x esta en metros y t en segundos. Determine ladirección de movimiento de la onda y la velocidad del pulso.6. Considere una onda sinusoidal = 0.25m sen( 0.3x− 40t)ψ donde x esta en metros y t ensegundos. Determine la amplitud, frecuencia angular, número de onda angular, longitud de onda,velocidad de la onda y dirección de movimiento de la onda.7. Una onda transversal viajera en una cuerda tiene una amplitud de 0.2 mm y una frecuencia de 500Hz. Si esta viaja a una velocidad de 196 m/s. Escriba una expresión sinusoidal que represente a laonda viajera. Si la masa por unidad de longitud de la cuerda es 4.10 g/m determinar la tensión dela cuerda.8. Considere una onda sinusoidal = 0.15m sen( 0.8x− 50t)ψ donde x esta en metros y t ensegundos. Si la masa por unidad de longitud de la cuerda es 12 g/m Determine la longitud de onda,velocidad de la onda, la frecuencia de oscilación y a la potencia transmitida por la onda.9. Un haz de luz verde se difracta en una rendija de 0.55 mm. El patrón de difracción se observa enla pared posterior a 2.06 m. La distancia entre los primeros mínimos simétricos del diagrama es4.18 mm. Hallar la longitud de onda de la luz.10. En un experimento de interferencia de Young la separación entre las rejillas es 0.5 mm y el patrónde interferencia en una pantalla a 3.30 m muestra al primer pico brillante a 3.4 mm del centro deldiagrama. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz?11. En un lugar donde la velocidad del sonido es de 354 m/s una onda sonora de 2000 Hz incide sobredos rejillas separadas 30 cm. ¿A qué ángulo se localiza el primer máximo? Si la onda sonora seremplaza por una micro-onda de 3 cm de longitud de onda. A que distancia deben estar colocadaslas dos rejillas para que el primer máximo coincida con aquel observado para el sonido.

22RELATIVIDAD ESPECIALTransformaciones de GalileoSe define un Evento (o suceso) a un hecho que ocurre en un punto del espacio y en undeterminado tiempo. Puede representarse por cuatro coordenadas (tres relativas a suposición y una al tiempo en que ocurre) como se indica en la Figura 2.1.Por otro lado llamamos “Sistemas de Referencia Inerciales” (SRI) a aquellos en los cualesse satisface la primera ley de Newton (es decir, si sobre un cuerpo actúa una fuerza netacero, el cuerpo estará en reposo o moviéndose con velocidad constante). Si un sistema semueve a velocidad constante respecto de un SRI, éste también es un sistema inercial.La Teoría de la relatividad especial describe eventos observados en sistema de referenciainercial (SRI),Figura. Evento y Sistemas de referencia inercialUn par de SRI S y S´, moviéndose el uno respecto al otro a velocidad constante, describen aun mismo evento por medio de:S → ( x,y,z,t)S`→( x´,y´,z´,t´)Cada sistema tiene: su regla y reloj (calibrados entre sí)Los intervalos espaciales y temporales se suponen absolutos (sentido común), es decir, sonlos mismos para todos los SRI.Las Reglas iguales comparadas en reposo “se suponen” que tendrán las mismas longitudescuando estén en movimiento.Los Relojes sincronizados trabajan igual en reposo o en movimiento.Figura. Intervalos de longitud y tiempo absolutos

23Suponiendo que los relojes marcan cero cuando 0 y 0´ coinciden, podemos relacionar lascoordenadas del evento en los dos SRI que se mueven uno con relación del otro en ladirección x.x´ = x −υtx = x´+ υt´y´= yy = y´Transformaciones inversas →z´= zz = z´t´= tt = t´Suponiendo que los relojes marquen cero cuando coinciden sus orígenes 0 y 0´.t´ − t´= t − t → Ahorap´B A B A B Axqpqx´x´BA= x= xBA−υt−υt−x´= x − x −υ ( t − t ) → Simultaneidad (tiempo absoluto)x´B− x´A= xB− xABADe acuerdo con las transformaciones Galileanas las mediciones de intervalos de tiempo yde espacio son absolutas.Si añadiríamos, o supondríamos adicionalmente la invariancia de la masa inercial (porsentido común), entonces, la longitud, la masa y el tiempo serían independientes delmovimiento relativo del observador.Relatividad de NewtonSi consideremos el movimiento de una partícula respecto de dos SRI, la variación en laposición de la partícula con relación a cada uno de ellos, la podríamos tratar de la siguientemanera:x`=x − vtdx´dx= − vdt dtPuesto que t = t´ ⇒ dt = dt´dx´dt´υ´zdx= dtzdtdt− vυ´= υ − vx xy= υy→ υ ´ =υ − vυ´= υrrrUn tratamiento similar podríamos hacer para la variación de la velocidad de la partícula. Así,d υ ´xdx dv= υ −dt´dt dtsi dt ´ = dt

24a´xa´a´yz= a= ax= ayz→r ra ´ = aFigura. Dinámica de una partícular rm´a´= F´r rma = F→m´= mr ra´= ar rF´= F“Las leyes de movimiento de Newton, y por tanto las ecuaciones de movimiento deuna partícula, son las mismas para todo sistema de referencia inercial”.En otras palabras: “puesto que los principios de conservación en la mecánica newtoniana(energía, cantidad de movimiento, momento angular) son consecuencias de sus leyes”, sededuce, por tanto que los principios de conservación de la mecánica se mantienen paratodos los sistemas de referencia inerciales.Ningún experimento mecánico efectuado totalmente dentro de un sistema inercial, puedeindicar al observador cuál es el estado de movimiento de aquel sistema con respecto acualquier otro sistema inercial. Para la mecánica: ¡Todo SRI es equivalente!¿Y electromagnetismo? ¿Son sus leyes invariantes respecto a las TransformacionesGalileanas?Respuesta: ¡No! Respecto de transformaciones Galileanas ¡No!De acuerdo con la teoría de Maxwell, los campos eléctricos y magnéticos, E r y B r ,satisfacen ecuaciones de onda tal como:rr22 1 ∂ E18∇ E − = 0 siendo c = ≈ 3x10m2 2sc ∂tε μla velocidad de la onda electromagnética (la luz es una onda electromagnética, OEM).ε 0 y μ 0 representan la permitividad eléctrica y permeabilidad magnética del vacío(definiciones que se introducen en el Sistema Internacional de unidades).00De acuerdo con las transformaciones Galileanas, existe solo un Sistema de ReferenciaInercial donde la Ondas Electromagnéticas (OEM) se propagan a la velocidad c (se loconoce como Sistema ETER)

25Figura. Propagación de la luz en relatividad newtoniana.Si la luz se propaga con diferentes velocidades dependiendo del sistema de referencia, losfenómenos ópticos y electromagnéticos serán diferentes para diferentes sistemas dereferencia inercial.Si las Transformaciones Galileanas y la electrodinámica de Maxwell son correctas entoncesexistirá el “sistema éter”, es decir un sistema privilegiado donde la velocidad de la luz es c.El hecho de que el principio de relatividad Galileano se aplique a las leyes de la mecánicapero no a las del electromagnetismo implicaría:1. Existe el principio de la relatividad para la Mecánica Newtoniana pero no para la TeoríaElectromagnética donde existe un sistema absoluto privilegiado, en el cual la velocidadde luz es c (sistema éter).2. Existe un principio de relatividad para la Mecánica Newtoniana y para TeoríaElectromagnética pero la teoría de Maxwell no es correcta, se podría encontrarexperimentos incapaces de ser descritos por tal teoría.3. Existe un principio de la relatividad para la Mecánica y la Teoría Electromagnética, eneste caso las transformadas Galileanas son incorrectas ya que son incompatibles con lainvariancia de las ecuaciones de Maxwell y seguramente habrá que hacer algunasmodificaciones a la mecánica.Experimento para localizar el sistema éter. (Experimento de Michelson-Morley)El movimiento de traslación de la Tierra a través del éter debería ser detectado conexperimentos de óptica que pueden medirse con gran precisión.υ = 30 kms

26En el sistema Tierrac´ = c −υSe trata de calcular la diferencia de camino óptico recorrido por la luz. En el sistema Tierra:El tiempo a través del camino 1, ida y vueltatt11l1l1cl1+ υl1+ cl1−υl1= + =2 2c −υc + υ ( c −υ)2cl1= =2 2c −υc22cl12l22( 1−υ2) c( 1−υ2)c=1cEl tiempo a través del camino 2, se lo calcula en el sistema Sol. (Note que debido a que eltiempo es absoluto lo podemos calcular en cualquier sistema de referencia)2⎡2 ⎛υt2⎞ ⎤2⎢l2+ ⎜ ⎟ ⎥⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦2l21t2=c 1−υ1222c= ct2Δt= t2− t1⎡= ⎢c ⎢⎣l2 211−−⎤( ) ⎥ ⎥22υ 1−υ22cc⎦l

27Ahora, se procede a rotar el experimento 90º como se muestra en la figura. (Los tiempos delexperimento rotado, se lo nota con las letras primadas).t´1=cEl intervalo de tiempo en este caso será:2l11−υ22cl2l2t´2= +c + υ c −υ2cl22l2t´2= =2 2c −υcΔ t´= t´2−t´1=c2l22( 1−υ2)22( 1−υ2) υ2La diferencia de camino óptico será igual a la diferencia de intervalos de tiempo. Así:δ( Δt)2 ⎡ l= Δt´−Δt= ⎢c ⎢⎣2=c[ l + l ]12⎛⋅ ⎜⎜⎝ic+ l−c2c−2l11−( ) ⎥ ⎥221−υ2 1−υc2c ⎦1−1l2c+ l( ) ⎟ ⎟ 221−υ2 1−υc2c ⎠− 12[ ]2 1=1 2ccc2 −2( l + l ) ⋅ ( 1−υ2) − ( 1−υ2)2c2⎡1υ ⎤( l + l ) ⋅ ⎥ ⎦=1 2 2δ( Δ t)=⎢⎣2c( l + l )1c22υ2c⎞1⎤Si T es el período de la onda electromagnética, el desplazamiento del diagrama deinterferencia será:δ ( Δt)= ΔN=T2( l1+ l2) υ2(λ) c cc

28Δ N =( l + l )Con valores usados en el experimento realizado:l + l12−7λ → Se obtiene ≈ 0. 4= 5.5x10υ≈ 10c= 22m−41λ22υ2cΔN (se podía medir hasta desplazamientos de 0.01)Sin embargo → EL RESULTADO EXPERIMENTAL: ΔN = 0(Esto se mantenía para todas las variantes que se podía realizar en el experimento)¿Y ahora?¿Cómo salvar el sistema éter?2 Contracción de Lorentz l = 1−υ2 en las longitudes en dirección al movimiento,l 0 cbasada en la teoría “electrónica de la materia” (la cual tenía muchas deficiencias). Nojustificaba el resultado del experimento de M-M si se consideraba diferentes longitudesde los brazos del interferómetro. Arrastre del éter (cuerpos en movimiento llevan el éter consigo).Desvirtuado por: *Aberración de la luz*Experimento de Fizeau. Teorías de emisión: velocidad de la luz relacionada al movimiento de la fuente.Desvirtuado por: *Estrellas dobles de Setter*Experimento de Michelson y Morley con fuentes de luzextraterrestres.Consulta 1: Aberración de la luz y experimento de Fizeau.Consulta 2: Experimento de Brillet-Hall (Phys. Rev. Lett., vol.42, pp.549)

29POSTULADOS DE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIALTeoría de Einstein.En 1905, Einstein proporcionó una solución al problema del éter, en su trabajo “Sobre laelectrodinámica de cuerpos en movimiento”Las suposiciones de Einstein se pueden sintetizar en dos postulados:1. Las leyes de la física (mecánica y electrodinámica) son las mismas para todos lossistemas inerciales (principio de relatividad)2. La velocidad de la luz en el vacío tiene un mismo valor de c en todos los sistemasinerciales.El principio de relatividad de Einstein es más amplio que el de Newton, puesto que el deNewton incluye solo las leyes de la Mecánica; mientras que el de Einstein, todas las leyesde la física (en esa época incluía a la Mecánica y a la Electrodinámica).Relatividad de la simultaneidadA cada punto del sistema se asocia un reloj. Los relojes en el sistema deben sersincronizados. Un método de sincronización de relojes, sería el uso de la velocidad de la luz(en base con el postulado 2). Si un reloj en el origen marca t=0 en el momento de emitir unhaz de luz, un reloj en el punto r 1 deberá marcar t 1 =r 1 /c en el momento que le llegue la luz.De forma similar se sincroniza un reloj en el punto r 2 .Si dos eventos suceden en dos puntos diferentes y si sus respectivos relojes marcan elmismo tiempo, decimos que los eventos son simultáneos. Si los eventos ocurren en elmismo punto la simultaneidad depende de un solo reloj tan solo y es más fácil visualizarla.Los eventos que ocurren en dos lugares diferentes de ese sistema deben llamarsesimultáneos cuando los relojes (previamente sincronizados) de los dos lugares registren elmismo tiempo para ellos.Figura. Sincronización de relojesSi dos eventos son simultáneos para un observador, ¿serán simultáneos para otro que semueve respecto al primero a velocidad υ ?

30Figura. Simultaneidad de eventos.Respuesta: ¡NO!Dos eventos pueden ser simultáneos para un SRI pero para otro no. Puesto que ningúnsistema es preferente, la situación es recíproca.Medir la longitud de un objeto significa localizar simultáneamente sus puntos extremos.Puesto que la simultaneidad es un concepto relativo; la longitud también lo es.El método del radar para localizar las coordenadas de un evento. En x=0 y t A se emite unpulso de luz ilumina el evento E de interés en un punto del eje x. El haz reflejado viaja devuelta hacia el reloj maestro y, a su llegada, marca t B . El punto del espacio tiempo dondeocurrió el evento es: (x E , t E ) (Equivalente a utilizar retícula de relojes)xE= 21( t − t )BA1y tE= ( tB+ tA)2donde se ha considerado c = 1.Transformaciones de Lorenzt.Para los dos sistemas de referencia inerciales que se mueven el uno con relación al otro, avelocidad constante υ:Figura. Un evento descrito por dos sistemas inerciales

31x −υtx´=2υ1−2cy´= yz´= zυt − x2t´=c2υ1−2cy las transformaciones inversasx´+ υt´x =2υ1−2cy = y´z = z´υt´+ x´2t =c2υ1−2cLas transformaciones de Lorentz se basan en el hecho de considerar que el “espacio-tiempoes homogéneo e isotrópico”, es decir, todos los puntos del espacio-tiempo son equivalentesy todas las direcciones también son equivalentes. Esto implica que las relaciones entre lascoordenadas primadas y no primadas de dos SRI están relacionadas linealmente. Una líneao un plano en el un sistema de referencia inercial está representada por una línea o un plano(respectivamente) en el otro sistema de referencia inercial. Además se considera quecuando 0´ y 0 coinciden: t=0 y t´=0, y la invariancia de la velocidad de la luz.(La deducción de las transformaciones de Lorentz se presenta en el apéndice 1).Note que para velocidades muy pequeñas a la de la luz, υ

32cc( t − t ) 2= ( x − x ) 2+ ( y − y ) 2+ ( z − z ) 22 B A B A B A B A( t − t´) 2= ( x´−x´) 2+ ( y´−y´) 2+ ( z´−z) 22 ´ ´B AB AB AB A2Para estos eventos S = 0 en el sistema S, y ΔS ´2AB= 0 en el sistema S´.Δ ABEn este caso se tiene que el intervalo entre estos dos eventos es invariante, es decir, es elmismo para todo sistema de referencial inercial.¿Será el intervalo entre dos eventos cualesquiera invariante?Respuesta: ¡Sí! (¡Todo intervalo, como fue definido, es un invariante relativista!)Una demostración simple de la invariancia del intervalo puede esquematizarse de lasiguiente manera:Para dos eventos muy próximos entre sí el intervalo esta dado como:ds22= c dt − dx2− dy2− dzconsiderando el caso general, el intervalo entre dos eventos descrito tanto para un sistemaS como para otro primado S´, estarán relacionados por:2ds =ads´donde la constante a solo depende del módulo de la velocidad: a = a( )siendo r υ la velocidad relativa entre los dos sistemas.Si se considera un sistema de referencia inercial adicional, como se muestra en la figura:22υ rFigura. Tres sistemas de referencia inercialesdsdsaa22= a= a( υ2)( υ )1( υ1)( υ )= a2dsds( υ )122122pero υ 12 no depende solo de υ 1υ2sino de su ángulo relativo. Por tanto la única posibilidadque se tiene es que: a=1.Así queda demostrado que:

332 2ds ds1== ds → invariante relativista.22La forma del intervalods22 2 2 2= c dt − dx − dy − dz define la métrica del espacio-tiempo(espacio de 4 dimensiones). La métrica en este caso es seudo-euclídea (en el espaciotiempo plano).A los intervalos los clasificamos en:2S > 0 temporales: Existen sistemas donde los eventos AB ocurren en el mismo punto delABespacio.2S < 0 espaciales: Existen sistemas de referencia donde los eventos AB ocurrenABsimultáneamente.Figura. El cono espacio tiempoTodos los eventos dentro del cono están ligados causalmente y define el pasado absoluto yfuturo absoluto.Ejemplos:1. Un tren de 500m de longitud (medido por el observador en el tren) viaja a 120km/h. Dosdestellos de luz inciden simultáneamente en los extremos del tren para un observador entierra. ¿Cuál es la diferencia de tiempo en este acontecimiento para el observador en eltren?υ( t´B−t´A) + ( x´´ )2 B−xAtB− tA= 0 =c21−υ2c2. Para un observador O dos acontecimientos están separados en el espacio tiempo por600m y 8x10 -7 seg. ¿Con qué velocidad debe moverse O´ con relación a O para que losacontecimientos aparezcan simultáneamente a O´? ¿Cuál es la separación espacial delos dos eventos medido por O´?υΔt− ΔxΔ t´= 0 =c21−υ2c

34CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ1. La longitud de un cuerpo que se mide es mayor cuando éste esta en reposo conrespecto al observador. Cuando el cuerpo se mueve a velocidad υ respecto delobservador, su longitud medida se contrae (en la dirección de movimiento) por un factor21−υ2c; mientras que sus dimensiones perpendiculares no se alteran.Figura. Contracción de longitudx´=2x2−υt1−υ222cx´− x´=21x´=( x − x ) −υ( t − t )211−υ22c211x −υt11−υ122ct2= t 1x´− x´=21( x − x )2 12− υ 2c12L = L´ 1−β2. La máxima rapidez con que camina un reloj se mide cuando éste esta en reposorespecto al observador. Cuando el reloj se mueve a una velocidad υ respecto alobservador, éste notará que la rapidez con que camina el reloj ha disminuido por unfactor21− β .Figura. Dilatación del tiempo

35t2− tt1 → t 21=t´ 2−t´11− υ22ct1υt´ 1+x´2=c1−υ22ct2υt´ 2+ x´2=c1−υ22cPor lo tanto la unidad de tiempo medida por el reloj de S´, los relojes de S lo registran máslarga.En relatividad es común considerar el sistema propio definido como aquel para el cual elcuerpo bajo estudió está en reposo. (El intervalo de tiempo medido por un solo reloj es eltiempo propio).dt =dτ21−υ2cAdicionalmente al observador S le parecerá que los relojes en S´ no están sincronizados.Ejemplo visuala. Longitudes perpendiculares al movimiento relativo entre dos SRI no varían. (Si se ubicaen los ejes perpendiculares a los movimientos varillas con marcadores de longitud en suextremo, una variación de longitud en la dirección perpendicular sería un evento absolutoy siempre se podría reconocer cual de los sistemas es el que se mueve y cual está enreposo.b. Experimento en el tren. El observador en el tren emite un haz de luz en direcciónperpendicular hacia un espejo colocado en el techo y recibe el reflejo de la luz, midiendoel tiempo de tránsito de la luz.→ Para el observador de la parte inferior (o en el andén) transcurre más tiempo entre laemisión y llegada del haz de luz, por lo que concluye que el reloj del pasajero se retrasa.Al medir la longitud del andén

36Para el observador de la parte inferior (o en el andén), el pasajero cubrió esta distancia L en:LΔ t =υMientras que el pasajero mide con su reloj (utiliza uno solo) el intervalo de tiempo entrecuando coincide con el inicio del andén y el final del andén.Δ tΔ tυΔt2´ = Δt1−υ2cLυ2´ = 1−υ2c2´ = L´= L 1−υ2cConcluyendo que para él la longitud del andén es L´, es decir, más corta.Transformación de velocidadesEl cambio de la posición de un objeto, respecto de un observador, al transcurrir el tiempodefine su velocidadFigura. Movimiento de una partícula

37Sea u r ´ la velocidad de la partícula respecto a S´.ru´= u´, u´, u´( )xΔx´Δx´u´x= = limΔt´Δt→0Δt´yzComo:Δx−υΔtΔx´=1−υΔy´= ΔyΔz´= Δz22cυΔt− Δx2Δt´=c1−υ22cΔx−υΔtu´x=υΔt− Δx2c⎛ Δx⎞Δt⎜−υ⎟tu´⎝ Δx=⎠⎛ υ Δx⎞Δt⎜1−2⎟⎝ c Δt⎠ux−υu´x=uxυ1−2cLas transformaciones inversas serán:2´ y 1υΔyΔ − 2cu´y= =Δt´υΔt− Δx2cΔy21−υ2cu´Δty=υ Δx1−2c Δtu´yuuuuy1−υ=uxυ1−2cxyz22cu´x+ υ=u´xυ1+2c2u´y1−υ2c=u´xυ1+2c2u´z1−υ2c=u´xυ1+2cu´z=uz1 −υuxυ1 −2c22cEjemploUna nave especial de longitud propia 90m, viaja a velocidad constante 0.8c respecto aTierra (T) tan pronto como la proa pasa frente a un observador en T, el piloto en proa envíauna señal luminosa a la cola. ¿En qué tiempo la señal llega a la cola de la nave, medido por:a) piloto, b) el observador en T.

38A → emite la luzB → llega la luzυx´ B−x´A= −90( t´ B−t´A) + ( x´´ )2 B−xAΔx´− 90Δ t = tB− tA=c2Δt´= = =1−υ2cc − cEjercicios1. Un núcleo radiactivo se mueve a velocidad 0.5c respecto al laboratorio. Se desintegra y emite unelectrón en la misma dirección de movimiento con velocidad 0.9c respecto al núcleo. a) Hallar lavelocidad del electrón en el sistema de referencia (laboratorio). b) Si el electrón se emite condirección perpendicular al movimiento del núcleo. Hallar la velocidad respecto del laboratorio.2. Una regla de 1 metro de longitud forma un ángulo de 30º con el eje x´ medido por un observadorO´. ¿Cuál debe ser el valor de la velocidad para que la regla forme un ángulo de 45º con el eje xpara otro observador O? ¿Cuál es la longitud de la regla medida por O?ABERRACION Y EFECTO DOPPLEREfecto DopplerSe conoce como efecto Doppler a la variación de la frecuencia de una onda por el estado demovimiento de la fuente de onda respecto del observador.Figura. Representación del efecto DopplerAberración.Se conoce como aberración a la variación del ángulo de emisión de una onda por el estadode movimiento de la fuente de onda respecto del observador.

39Figura. Representación de la aberración de la luzEl sistema S observa la emisión de luz con ángulo θ con respecto a x mientras que S´observa la emisión de luz con ángulo θ´ respecto de x´.Considere la emisión de una onda plana en un sistema de referencia S´ con vector de onda,rfrecuencia, velocidad y dirección k ´, ω´,c´= c,θ´respectivamente. El observador S la verácomo una onda plana conk r , ω , c,θ .Figura. Emisión de una onda plana monocromática para dos observadores inercialesS S´Onda planaOnda plana(homogeneidad del espacio)con k r , ω , c,θrcon k ´, ω´,c´= c,θ´rcos( k⋅ − ωt)rcos( k´⋅ r ´ −ω´t´)r r r r rSi se considera k´ = k´i ´ + k´j´entonces k = k i + krjEntonces,xy⎡ ⎛ x cosθ+ ysenθ⎞⎤⎡ ⎛ x´cos´θ + y´sen´θ ⎞⎤cos ⎢2π⎜−νt ⎟⎥cos⎣ ⎝ λ⎢2π⎜−ν´t´⎟⎥ ⎠⎦⎣ ⎝ λ´⎠ ⎦Usando las transformadas de Lorentzx´=y´= yt´=x −υt21−βυt − x2c21−βxyυcon β =c

40⎡ ⎛⎢ ⎜ cos´ θ + β sen´θcos 2πx + y −⎢ ⎜2⎣ ⎝ λ´1−β λ´( β cos´ θ + 1)21−βν´⎞⎤t´⎟⎥⎟⎠⎥⎦Igualando las dos expresiones de cosenocos cos´ θ + β=λ2λ´+ 1−β→sen θ sen´θ =λ λ´c = λ ´ ν´= λν2sen´θ 1−βtanθ=cos´ θ + βν´ 1ν =( + β cos´ θ )21−βLas transformaciones inversas son:2θ 1−βtan´ θ = sencosθ− βνν´=( 1−β cosθ)21−βEn una representación usual del efecto Doppler se conoce la frecuencia propia y el ángulode llegada respecto del observador.Figura. Representación del efecto DopplerRelativistaνo⎛ υ ⎞ν ⎜1− cosθ⎟c=⎝ ⎠→2υ1−2cυνo1−2cν =υ1−cosθc2θ = 0ºθ = 90ºθ = 180ºν = νν = νν = νooo1+1−1−1−1+υcυc2υ2cυcυc

41Límite no relativista⎛ υ ⎞ν = νo ⎜1 + cos θ ⎟⎝ c ⎠θ = 0ºθ = 90ºθ = 180º⎛ υ ⎞ν = νo ⎜1+ ⎟⎝ c ⎠ν = νo⎛ υ ⎞ν = νo ⎜1− ⎟⎝ c ⎠Ejercicios1. Una nave espacial de longitud propia 150 m viaja a una velocidad de 0.8c. Cuando la cola de lanave pasa frente a un hombre que se encuentra en una plataforma espacial estacionaria, estehombre envía una señal luminosa en la dirección de la proa de la nave (a) ¿A qué distancia de laplataforma se encuentra la nave cuando la señal luminosa llega a proa? (b) ¿cuál es el intervalo detiempo entre la emisión y la llegada de la señal para un observador que viaja en la proa de la nave?2. Para un observador, dos acontecimientos se realizan en el mismo lugar y con un intervalo detiempo de 4 segundos entre uno y otro. Si para un segundo observador el intervalo de tiempo es 5segundos. ¿Cuál será la respuesta acerca de la separación espacial entre los dos acontecimientos?3. Supongamos que para un observador dos acontecimientos se encuentran separados por unadistancia de 3.6 10 8 metros y se realizan con una diferencia de tiempo de 2 segundos. ¿Cuál es elintervalo de tiempo propio entre la realización de estos eventos?4. Para un observador, dos acontecimientos están separados en el espacio por 600 metros y en eltiempo por 0.8 microsegundos. ¿Con qué velocidad debe moverse un observador para que los doseventos anteriores le parezcan simultáneos? ¿Con qué velocidad debe moverse otro observadorpara que los dos eventos ocurran en un mismo punto del espacio?5. A 200 Km. sobre el nivel del mar una partícula cósmica primaria choca con la atmósfera de laTierra; en esta colisión se produce una partícula π (pi), la cual desciende verticalmente a unavelocidad de 0.99c. Si en un sistema donde la partícula esta en reposo con relación al observador,ésta se desintegra en 2.5 10 -8 segundos después de producida. Según se ve desde la Tierra, ¿A quéaltura sobre el nivel del mar se desintegra la partícula?6. Un electrón de 10 MeV, se mueve en el eje de un tubo de vacío, el cual tiene una longitud de 1.5m respecto de un observador en el laboratorio, donde el tubo está en reposo. ¿Qué longitud de tubomediría un observador que se encuentra en reposo respecto al electrón?7. Dos naves espaciales tienen cada una, una longitud propia de 100 m y se desplazan en sentidosopuestos, cruzándose en vuelo. El astronauta que va en la nariz de una nave mide el tiempo que laotra nave tarda en pasarlo, y encuentra que dicho tiempo es 2.5 10 -6 seg. ¿Cuál es la velocidadrelativa de las naves?, Cuál sería el intervalo de tiempo medido en la primera nave si se registranlos instantes en que la nariz de la segunda nave pasa frente a la nariz y a la cola de la primera?8. Una partícula que se mueve con velocidad 0.8c, en el laboratorio decae después de recorrer 3metros. ¿Cuánto tiempo dura la partícula para un observador que se mueve con ella.9. Si el intervalo entre dos eventos es positivo en un sistema de referencia inercial. ¿Cuál es lavelocidad a la que debería moverse un observador inercial para que este intervalo sea negativo?

4210. Una estación de radar situada en Tierra observa una nave espacial A, que viaja a la velocidad de0.8c, perseguida por una segunda nave B, situada a 10000 m de la primera, y que se desplaza a lavelocidad de 0.98c. ¿Cuánto tiempo le lleva a la nave B alcanzar a la nave A según el reloj de B?¿Según la estación de radar?11. Dos naves espaciales de igual longitud en reposo 100m viajan en direcciones opuestas convelocidad relativa v=0.6c. La nave I tiene un cañón láser en su cola y pretende dispararlo elmomento que su proa está alineada con la cola de la nave II. Puesto que la nave II está contraída seesperaría que el disparo falle. Para un observador en la nave II, la nave I es la que está contraídapor lo que dicho observador esperaría un inminente ataque certero. Analice lo que realmentesucede.DINAMICA RELATIVISTALos principios de conservación vienen a ser los pilares fundamentales de la mecánica, entreellos, el principio de conservación de cantidad de movimiento.Si se asume la definición común de la cantidad de movimiento, es decir,p r = mr υ . Se puedeprobar que NO SE SATISFACE la ley de conservación de la cantidad de movimiento alutilizarse las transformaciones de Lorentz entre dos SRI, y por tanto la mecánica no seríainvariante respecto de estas transformaciones. Si asumimos que hay un principio derelatividad para la mecánica, debemos cambiar la definición de la cantidad de movimiento ymantener la conservación de esta ley.Analicemos primeramente la colisión elástica entre dos partículas idénticas y veamos quecon la definición antigua de la cantidad de movimiento, no se conserva dicha ley.Consideremos al sistema S´ como el sistema centro de masa, donde las partículas incidenuna sobre la otra a una misma velocidad pero en sentidos opuestos, como se muestra en lafigura:oFigura. Esquema de una colisión elástica entre dos partículas idénticasr rp ´ = p´rrantesdespues( p´1+ p´2) antes= ( p´1+p´2) despues( p´+ p´) = ( p´+ p´)1x2xantes( p´1y+ p´2 y) = ( p´ypy)antes 1+ ´2 despuesr1xr2xdespues

43⎛ p´Si se mantiene la definición: ⎜⎝ p´1x1y= m υ´o= m υ´o1x1y⎞⎟observamos que se conserva la cantidad de⎠movimiento para el sistema S´. Ahora, si se considera, la misma colisión vista por el sistemaS el cual se mueven con respecto de S´ con velocidad ( 1)representa en la figura.υ = hacia la izquierda, como seυ´xLas componentes de velocidad x se transforman por tanto como:Antes:Después:υυυυxxxx() 1( 2)() 1( 2)−υ´x=υ´x1+2cυ´x=υ´1+2c( 1) + υ´x( 1)() 1( −υ´() 1 )( 2) + υ´( 1)−υ´x=υ´x1+2cυ´x=υ´1+2cx2xx( 1) + υ´x( 1)() 1( −υ´() 1 )( 2) + υ´( 1)x2xx= 02υ´=υ´1+c= 02υ´=υ´1+cx2x22x2xPara la componente “y” de velocidad−υ´y1 1−Antes υy() 1 =2υ´x1−2cυy( 2)υ´=υ´Después: υ () 1 =yy()( 2)y1−υ´1+c() 12υ´1−c2υ´x2c2υ´x2c2x1−2υ´x2c2x2

44υy( 2)−υ´=y( 2)υ´1+c1−2x22υ´x2cFigura. Colisión vista desde el sistema S.Si utilizamos la misma definición de p r para su componente en la coordenada y.− m υo( ) + m υ ( 2) ≠ m υ ( 1) − m υ ( 2)y1o yo y o y¡No se satisface la ley de conservación de p r !¿Qué sucede?Se debe, por tanto, cambiar la definición de p r para hacerle a la mecánica invariante bajolas transformaciones de Lorentz, como lo requiere el postulado 1 de la relatividad especial.La nueva definición deberá ser tal que para υ

45rp =m orυ21−υ2c(En este caso y con esta definición) se conserva la cantidad de movimiento en el análisis decolisión y transformaciones anterior.El cambio hecho en la definición de la cantidad de movimiento, lleva a la revisión de lasotras magnitudes dinámicas de importancia en la mecánica. Así,Ley de la fuerzarrdp d ⎛ rmoυF = = ⎜dt dt ⎜2υ⎝1−crdυr modt r dmF = + υ21−υ dt2c2⎞⎟⎟⎠m =m o21− υ 2cEnergía cinéticaEs el trabajo realizado por una fuerza externa para aumentar la velocidad de la partículadesde 0 a υ .E k= W=υ = υ∫υ = 0r rF ⋅ dl(por facilidad consideremos el caso de una dimensión)ddx∫ Fdx = ∫ ( mυ) dx = ∫d( mυ) = ∫d( mυ) υ = ∫ ( mdυ+ υdm) υ = ∫ ( mυdυ+ υ )E k2= dmdtdttomando la relación:m=m o21 −υ2cm22m o= →2( 1− 2)υcm υc2 22m − =22m oDiferenciando:Entonces:2mdmc2mdmcdm ⋅ c2m222−c2 2 2− m υ= m2oc2 2( 2mdmυ+ 2mυdυ)2 2− 2mdmυ− 2mυdυ= 02= υ dm + mυdυ2= 0

46EEEkkkυ⎡2= moc⎢⎢⎣= E − Eom22= ∫cdm = c ∫ dm = c011−mo2υ2c⎤−1⎥⎥⎦2( m − m )oEntonces:→ La Energía total de una partícula es:E =m oc1− υ222c→ y su Energía de reposo:Eo=m co2Equivalencia masa-energíaPara demostrar esta equivalencia se analiza la colisión totalmente inelástica entre dospartículas idénticas en el sistema centro de masa; después del choque solo queda unapartícula, diferente a las incidentes.Figura. Colisión que muestra la equivalencia masa energíau u´+ υ 2u´= =B 2υu´1+u´2 12c+cEn el sistema S:mB=⎛⎜1+⎜⎝1−2uBm2oc= m2 o2uuBB1−22cc⎞⎟⎟⎠

47Desarrollar:41− y demostrar que:2u´22u B c2 = 1−c+c2( 1u´) 221−=2u B2c+2( 1−u´2)c2( 1u´2 )cEn S (conservación de p r )r rp antes= p despuesmm uo1−B2u B2c+ 0 =1−22c2( 1u´o+ 2)c 2u´Mou´⋅ =222( 1−u´2) ( 1+u´2) u´2MocMM υc2moυ1−cM ≠ 2moo=2o o1−u´2c⎛⎞⎜ 1− 2m− ⎟o= 2mo1⎜2 ⎟⎝1−u´2c ⎠En el sistema S´. Antes de la colisión los cuerpos tenían una energía cinéticaEkA⎛⎞2 ⎜ 1+ E− ⎟kB= 2k= 2moc1⎜2 ⎟⎝1−u´2c ⎠Veamos algunas relaciones de importancia en dinámica relativista:De la ecuación para la energía total de una partícula:2m ocE = y de la identidad1− υ22c1−1−υυ22c22c1= 1 =1−υ22cυ−1−22cυ22c1⇒1−υ22cυ= 1+1−22cυ22coperando:ESe encuentra:Adicionalmente,22moc=1−υ422c= mrp =2orF =⎛ υ4c ⎜1+⎝ 1−rm υ22c2υ2c⎞⎟= m⎠2 2 4E = mo c +rm c υ2opc24c2o2m υ c+1−υ222crm c υ22oo= =2 221−υ2 c 1−υ2ccccddtrddtr Er υp =2cr( p) = ( mυ)2o2( 1−υ) 22rdυr dm= m + υdt dt

48Como:E = mcEm =2c2dmdt1=2cdE 1 d1= ( Ek + Eo) =22dt c dtcrdE kr dl r r= F ⋅ = F ⋅υdt dtrrr rdυr ( F ⋅υ)F = m + υ2dt cr r r rr F υ ( F ⋅υ)a = −2m m cdEdtkPara el caso particular de una partícula cargada moviéndose en un campo magnético, elsegundo término se elimina y la masa involucrada en la expresión restante es la relativista.Note que las componentes de cantidad de movimiento y energía total las podemos escribircomo:dxυpx= mpox− 2 Ecdτp´x=2dy1−υ2cpy= modτp´y= pydzpz= mp´z= pzodτE −υpxE dtE´=2= m2 o1−υ2cc dτPuesto que la masa propia y el intervalo de tiempo propio son invariantes relativistas, vemosque las componentes de la cantidad de movimiento y la energía se transforman de igualmanera que dx, dy, dz y dt.Si notamos x μ = ( ct,x,y,z)y p μ = ( E / c,p , p , p )xyz, decimos que éstos son cuadrivectorescontra-variantes en el espacio-tiempo y, en general, cualquier conjunto de cuatronúmeros que se transformen de igual manera de un sistema de referencia a otro, será uncuadri-vector 4 .Una notación útil y simple para los cuadri-vectores es:ν r δ rx = ct,p = E / c,p , en general, cualquier cuadri-vector contravariante se puede( )escribir como:rνA = A A( )0 ,y ( )4 Ver por ejemplo, Landau-Lifshitz, Curso Abreviado de Física Teórica, Ed. MIR.

49Se define el cuadri-vector covariante correspondiente, mediante el tensor métricocomo:A =νμημνAη μν,ημν⎛1⎜⎜0= ⎜0⎜⎝00−10000−100 ⎞⎟0 ⎟0 ⎟⎟−1⎠El producto entre un cuadri-vector contra-variante y otro covariante es una escalar(invariante relativista)AνBν= A0B0r r− A ⋅ BEjercicio. Hallar:μpμpEjercicios1. Un electrón con energía cinética de 0.5 MeV se desplaza perpendicularmente a un campomagnético B en una trayectoria circular de radio 2cm. Hallar B? Si se habla de masa efectiva,mhallar ?m o2. El campo magnético generado en el sistema solar es 2x10 -19 T. Encontrar R para un protón de 1GeV.3. Un mesón π + (273m e ) en reposo decae en un neutrino ν (m ν =0) y un μ + (207m e ) encontrar: E kν yE ku .4. Escriba las ecuaciones de transformación de la energía y cantidad de movimiento desde un sistemainercial a otro que se mueve con relación al primero a una velocidad constante v.5. Una partícula con masa en reposo m o y energía cinética 3 m o c 2 choca con una partículaestacionaria de masa en reposo igual a 2m o . Como resultado de la colisión tan solo una partículaemerge. ¿Cuál es la velocidad y la masa en reposo de partícula saliente?6. Un protón de energía de 400 MeV describe una orbita de 50 cm en presencia de un campomagnético. Calcular el valor de dicho campo magnético. (m p c 2 = 939 MeV)7. ¿Cuál es la masa relativista de un electrón si se mueve con una diferencia de potencial que loacelera, de acuerdo con la física clásica, a la velocidad de la luz?8. Supongamos que los electrones en un campo magnético uniforme de 0.03 T se mueven en uncirculo de radio 0.2 m ¿A qué velocidad y con qué energía cinética se mueven los electrones?9. Calcule el trabajo requerido para acelerar un electrón a) desde el reposo a 0.8c b) y desde 0.980c a0.999c10. Una partícula con masa en reposo m o que se mueve con velocidad 0.6c, choca con otra partículaidéntica a ella pero en reposo. Como resultado de la colisión se observa tan solo una partículasaliente. ¿Cuál es la masa en reposo y la velocidad de esta partícula resultante?

50INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICASe estudian los experimentos que dieron lugar al nacimiento de la física cuántica. El objetivoes mostrar que la luz, una onda electromagnética, se comporta como un haz de partículascon energía y cantidad de movimiento determinadas. Su comportamiento ondulatorio estarelacionado a su propagación; mientras que su comportamiento corpuscular a procesos deemisión y absorción. Adicionalmente, introducimos el comportamiento ondulatorio de laspartículas, mediante el postulado de de Broglie, su verificación experimental en la difracciónde electrones y una consecuencia fundamental de este comportamiento: “el principio deindeterminación de Heisenberg”.Radiación del cuerpo negroConceptos básicosRadiación térmica: Radiación electromagnética emitida por un cuerpo como consecuenciade su temperatura, T.Equilibrio térmicoFigura. Radiación térmicaFigura. Equilibrio TérmicoSe define:• La radiancia espectral, R T (ν), tal que: R T (ν)dν representa la energía emitida comoradiación térmica con frecuencia entre ν y ν+dν por unidad de área de su superficie atemperatura T y por unidad de tiempo.• La Capacidad de absorción, a T (ν) como: la razón entre el flujo de energía radianteabsorbida y el flujo de energía radiante incidente, ambas con frecuencia entre ν y ν+dν.Ley de Kirchhoff:En equilibrio térmico, la razón entre la radiancia espectral y la capacidad de absorción esuna función universal que no depende de la naturaleza del material, es decir,

51⎡ R⎢⎣ aTT( ν )( ν )⎤⎥⎦1⎡ R= ⎢⎣ aTT( ν )( ν )⎤⎥⎦2⎡ R= ⎢⎣ aTT( ν )( ν )⎤⎥⎦3=f( ν , T )f ( ν , T ) es la función universal dependiente tan solo de la frecuencia y la temperatura.Figura. Varios sistemas de diferente naturaleza, en equilibrio térmicoSe define como Cuerpo Negro a aquellos materiales que tienen su capacidad de absorciónigual a 1 (UNO):a( ν ) = 1 ⇒ R ( ν ) = f ( ν T )T T,¡¡¡¡Note que el espectro de radiación de un cuerpo negro es una función universal!!!!Si se integra la radiancia espectral en todo el rango de frecuencia se tiene la∞∫0Radiancia total: R = R ( )TTν dνSin conocer aún la forma 5 de la radiancia espectral, ya se conocía que la radiancia total eraproporcional a la cuarta potencia de la temperatura.Ley de Stefan:RTσ == σ ⋅Tx4−85.6710W2 4m º Kσ→ Constante de Stefan-BoltzmanLey de desplazamiento de Wien: Existe una relación lineal entre el valor de frecuencia(donde la radiancia espectral alcanza su máximo) y la temperatura.νmax∝ TFigura. Radiancia espectrales a diferentes temperaturas5 3Wien había propuesto ( ) ν F(ν / T )R Tν = , siendo F una función a determinar.

52Si la radiancia espectral se la escribe en función de la longitud de ondacν =λRRRTTTcν = − dλλd2( ν ) dν= R ( λ)c2λdλ(c) dλ= R ( λ)λcλ( λ) = R ( νcT= λ) 2TTdλEn este caso la ley de Wien (expresión más conocida) 6 se escribe como:λmax−3T = cte = 2.9x10mºKModelización. Un cuerpo negro se lo puede representar como una cavidad con un pequeñoorificio y paredes a temperatura T.Figura. Simulador de cuerpo negroSe define la densidad de energía de la radiación como: la energía de la radiación térmicacon frecuencia entre ν, ν+dν por unidad de volumen ρTradiancia espectral mediante:( ν ) dν. Ésta esta relacionada con laRTc=Tsiendo c→ velocidad de la luz4( ν ) dνρ ( ν ) dνFigura. Ondas EM estacionarias dentro de la cavidad6 Note que el valor de frecuencia máxima no coincide con el de la longitud de onda máxima.

53La radiación térmica dentro de la cavidad la podemos describir como ondas estacionarias2πcon número de onda k =λLas componentes del campo eléctrico (de las ondas estacionarias) tienen la forma:Ex= E ⋅ cos k x ⋅ senk y ⋅ senk z ⋅ senωtoxyzEEyz= E ⋅ senk x ⋅ cos koxyy ⋅ senk z ⋅ senωt= E ⋅ senk x ⋅ senk y ⋅ cos k z ⋅ senωtoxyzzY debido a que los campos de las ondas se anulan en las paredes de la cavidad (condiciónde frontera). Se tiene que:kxa= n xπ ; k a = π k za = n zπ n , n , n ∈ Ζyn yxyzDe esta manera, el vector de onda no toma cualquier valor sino solo aquellos impuestos porlas condiciones de frontera, y se puede calcular cual es el número de onda estacionarias porintervalo de frecuencia en la cavidad. Si representamos los valores permitidos de k r comopuntos en un espacio ficticio n x , n y , n z , como se muestra en figura. Entonces cada punto,formado por tres números enteros en este espacio, representa un posible valor del vector deonda k r .Figura. Número de ondas estacionariasUno de estos puntos en dicho espacio está asociado a un volumen unitario. De manera queun volumen determinado define el número de posibles valores del vector de onda.Para un octavo (el octante donde n x , n y , n z toman valores positivos) del volumen de uncascarón esférico con radio entre n y n + dn, el número de valores del vector de onda será:N18( n) dn = 2 ⋅ dVnIntroducimos adicionalmente un valor 2 por el hecho de que para cada valor de vector deonda puede haber dos polarizaciones independientes de la onda electromagnética.

54n2= nnn22 2 2 a( kx+ kykz)22 2 2x+y+z= +2n =2k a2πadkdn =π2πk = νc2πdk = dνcEl número de ondas electromagnéticas con k entre k y k +dk será:N1422( k) dk = ⋅ 4π n dn = πndn2πka2π( k) dk = N( n) dn = dk = dk2aππ2k aπN2N( ν )Ndν=( ν )dν=( 2π)c22( 2π)c322ν a2π332πdνc3a 2ν dν2π28πνVc( ν ) dν= dνN33Dividiendo para el volumen se obtiene la densidad de ondas estacionarias en el intervalo defrecuencia, y multiplicando por la energía media, se obtiene la densidad de energía de laradiación.ρT( ν )Ndν=( ν )dν⋅εVε → energía media de las ondas estacionarias.Figura. Radiancias espectrales: teoría de Rayleigh-Jeans y experimental

55Inicialmente se consideró:ε = k BT k B → constante de Boltzman.k B = 1.38x10 -23 J/ºk = 8.617x10 -5 eV/ºkObtenido como el valor medio de la energía de un “gas clásico de ondas estacionarias”ε=∫∫εPP( ε )( ε )dε= kdεBTdonde ε toma cualquier valor yP(ε )−ε/ k B T= Ae (es la distribución de Boltzmann enenergía, es decir, P ( ε ) dεrepresenta la probabilidad de que la partícula, en este caso laonda estacionaria, tenga un valor de energía en el intervalo entre ε y ε+dε )De esta manera se obtiene que la radiancia espectral, de acuerdo con el modelodesarrollado 7 , diverge cuando la frecuencia aumenta indefinidamente, a lo que se le llamó“la catástrofe ultravioleta”Planck consideró que las ondas estacionarias toman solo ciertos valores discretos deenergía 8 , múltiplos enteros de un cierto valor de energía que depende linealmente de lafrecuencia.Δε∝νε = 0,Δε,2Δε,3Δε,... yΔε= hνε = 0,hν,2hν,3hν,..., nhν,...ε =∞∑n=0∞nhν⋅∑en=0−e−nhνkBTnhνkBT=ehνkBTε →k Bν →0ε → 0hνν →∞−1TρT( ν )28πνdν=3cehνdνhνkBT−1Esta curva teórica se ajusta a los datos experimentales para el valorcomo se muestra en la figura.−34h = 6 .62x10J ⋅ s ,7 Llamada también la ley de Rayleigh Jeans8 En realidad su argumento se basaba en el comportamiento de la entropía de un sistema de osciladores.

56Figura. Radiancias espectrales: teoría de Planck y datos experimentalesLa radiancia espectral será entonces:RT( ν )32πνhdν=2cedνhνkBT−1Al integrar esta expresión se obtiene la ley de Stefan.Note que la radiancia espectral en función de la longitud de onda esta dada por la siguienteexpresión:RT( λ )22πchdλ=5λedλhcλkBT−1El problema del espectro de radiación de cuerpo negro se resuelve entonces considerandoque la emisión de dicha radiación esta cuantizada, es decir se emite y absorbe comopaquetes de energía de valor h ν . Aunque en un principio Planck lo consideró como unartificio matemático, esta es la forma como se comporta la naturaleza y este problemaresuelto se lo considera el nacimiento mismo de la teoría cuántica.Ejercicios.1. Encuentre el valor de la constante de Stefan-Boltzmann utilizando:∞ 3x∫0e x4dx π=−1152. ¿Cómo resolvió Planck el problema de la catástrofe ultravioleta en la modelización teórica delcuerpo negro?3. En una explosión temo-nuclear, la temperatura de la bola de fuego es momentáneamente 10 7 ºK.Encuentre la longitud de onda máxima del espectro de radiación.c=44. Encuentre que R ( ν ) dνρ ( ν ) dνTT

575. Derive la ley de desplazamiento de Wien. Mediante un cálculo numérico, halle el valor de laconstante, tanto para el espectro en frecuencia como en longitud de onda. Note que al valor defrecuencia del máximo no le corresponde la longitud de onda del máximo.6. Un péndulo de una masa 1 kg, suspendida en una cuerda de masa despreciable y longitud 1 m,ejecuta oscilaciones armónicas. Si por fricción la energía del péndulo se va reduciendo lentamente¿cuál es el decrecimiento mínimo que puede sufrir el péndulo en su energía? Compárese con elvalor máximo de se energía potencial si el ángulo máximo que forma el péndulo es 10°.Efecto fotoeléctricoSe llama efecto foto-eléctrico a la emisión de electrones desde la superficie de un materialpor la incidencia de la luz. Si se usa luz mono-cromática de longitud de onda λ (para la cualse produce efecto fotoeléctrico), mediante un circuito como el de la figura a continuación, semide el potencial de frenado, es decir, “Voltaje al cual la corriente en el circuito se hace cero”(en polarización inversa).Figura. Esquema experimental del efecto foto-eléctricoHagamos una serie de experimentos con este circuito 9 .Experimento 1: Se utiliza tan solo una longitud de onda, y dos diferentes intensidades dedicha luz.Figura. Corriente eléctrica en el circuito como función del voltaje (λ fija).Resultado: V o ⇒ potencial de frenado (independiente de la intensidad de la luz)9 Experimentos realizados por Philipp Lenard 1902 y mejorados por Millikan hasta 1915

58El potencial de frenado esta relacionado a la energía máxima con la que salen los electronesdel material por la incidencia de luz. Así:eV o =E KmaxExperimento 2: Se utiliza dos longitudes de onda (para las cuales ocurre emisión deelectrones) y una intensidad de luz.Figura. Corriente eléctrica en el circuito como función del voltaje (varias λ)Resultado: A mayor frecuencia de la luz incidente mayor el módulo de potencial de frenado.Si se utiliza varias luces se observa experimentalmente una relación lineal entre lafrecuencia de la luz incidente y el potencial de frenado para un mismo medio.Figura. Se indica la relación lineal entre el potencial de frenado y la frecuencia de luz para dosmateriales distintosQué nos dice la Teoría clásica:21. I ∝ r ε si aumenta la intensidad de campo eléctrico, r rε , y puesto que F = er ε , laenergía cinética de los electrones aumenta. (falso)2. Debería ocurrir para cualquier frecuencia tomando en cuenta solo la intensidad. (enrealidad hay una frecuencia umbral ν o ).3. Si se incide luz de intensidad débil, habrá un tiempo de retardo hasta que el electrónrecoja suficiente energía y salga. (nunca observado)Einstein 1905: Luz ⇒ paquetes de energía llamados cuantos con E=hν. Entonces el efectofoto-eléctrico se produce cuando un electrón en el material absorbe completamente un fotón.Con esa energía ganada, el electrón es capaz de escapar del material, pagando la energía

59que le tiene ligado al material, y si le sobra energía, el electrón lo usa como energía cinética,E k . Si la energía del fotón es menor a la necesaria para sacar el electrón del material, elelectrón no lo absorbe y el efecto foto-eléctrico simplemente no se produce (procesoumbral).La conservación de la energía nos dirá:E K max= hν −φ φ → función de trabajo (energía necesaria para que un electróneV o= hν −φescape del material)Esta relación nos muestra la linealidad entre el potencial de frenado y la frecuencia de la luzincidente, así como la definición de la frecuencia umbral del proceso.SiE 0 ⇒ hν = φK max=oEste efecto lo podemos extrapolar al caso atómico,Figura. Efecto foto-eléctrico atómico.En este caso atómico, el electrón es sacado del átomo con energía cinéticaE K= hν − B(e) , donde B(e) es la energía de enlace del electrón en el átomo.Producción de Rayos XSe hace incidir electrones energéticos sobre un blanco de alto número atómico.Figura. Tubo de Rayos X.Figura. Espectro de Rayos XLa energía máxima de los fotones será justamente aquella que corresponde al voltajeconectado entre los bornes del tubo, h νmax= eV

60Mecanismo: BremsstrahlungEl electrón (partícula cargada) al ser acelerado o des-acelerado en el campo nuclear, emiteradiación electromagnética en la región de los RX.Figura. Esquema del mecanismo de generación BremsstrahlungEste proceso depende directamente del cuadrado del número atómico del material blanco yes inversamente proporcional al cuadrado de la masa de la partícula cargada incidente.Difracción de rayos X (Bragg): Para observar el comportamiento ondulatorio de los Rayos Xse necesita hacerlos interactuar con objetos de dimensiones del orden de la longitud deonda de la radiación incidente. Así, la condición de difracción es:λ ≈ dimensiones del sistema.Los rayos X incidentes sobre el cristal generan un diagrama de difracciónFigura. Difracción de Bragg2 d cosθ = nλ→ genera la condición de interferencia constructiva (pico de difracción: líneasoscuras en la figura). Esta técnica, difracción de RX, nos permite estudiar la estructuracristalina de muchos cristales, es decir, la red cristalina donde el átomo o un grupo deátomos (base) se ordenan periódicamente. Existen 14 redes de Bravais clasificadas en sietesistemas cristalinos. De hecho, con el espectro de difracción se puede obtener informaciónno solamente de la red sino también de la base misma.

61Efecto ComptonLos fotones de luz se dispersan en el material, se observa un cambio en su longitud de ondade acuerdo con su ángulo de desviación o dispersión.Figura. Arreglo experimental del efecto Compton. El detector tiene la capacidad de medir no solo losRX que llegan sino también su longitud de ondaFigura. Resultados experimentales del Efecto Compton.Resultado: Δ λ = f ( θ )depende del ángulo de dispersión., el cambio de la longitud de onda del RX por la dispersión soloSi se considera a la luz (en este caso RX) como un haz de partículas, el efecto Compton noes más que una colisión entre el fotón de luz y un electrón libre (la energía transferida enuna colisión tipo Compton generalmente es mucho mayor a la energía de enlace del electrónen el átomo)Figura. Efecto Compton

62Si aplicamos las leyes de conservación de energía cantidad de movimiento:Erpkγ= hν− hν´r r= p´+ pγepγ= p´0 = p´γγcosθ+ pcosφsenθ− p senφeep´γsenθ=p senφep´psen θ = psen φ2 2 2 2γe2ecosφ=γ γ( p − p´cosθ) 22p e=p´2γ+ p2γ− 2 pγp´cosθγpp2e2ecc22= E= E22k− E2o+ 2EoEkhν− hν´=( hν)( hν´)1E o( 1 cosθ)( 1−cosθ)λ´ −λ= λc − conp c = Eγ= hνp´ c = E´= hν´γλc=hmcγγNote que esta expresión muestra que el corrimiento en la longitud de onda por la dispersiónsolo depende del ángulo de dispersión como lo muestra el experimento.Creación de paresUn fotón es absorbido en el campo de un núcleo atómico produciendo la generación de unelectrón y un positrón.La conservación de la energía indica:h ν+ E + E2+ EoN= 2mec+ Ek++ Ek−h ν+ E2= 2mec+ Ek++ Ek−oNkNkNcomo: E → 0 (muy pequeña)kNrprrγ= pe−+ pe+r+ pN2hν = 2mc → energía umbraloe

63hνo= 1. 022MeVProducción triple: Es la producción de un par electrón positrón en el campo de un electrón.h ν+ E22+ mec= 3mec+ Ek++ Ek−2h ν = 2mec+ Ek++ Ek−+ Er r r rp p + p +γ=− +hνo=4mco2p ekekeAniquilación de pares:Figura. Aniquilación en vuelo o formando el positronio.h +2m oc = hν + hν2ν1+ hν2= E T 1ET21 2rprp++ −r r= p γ+ p1 γ 2Todos estos efectos nos permiten evidenciar el extraño comportamiento de la luz, estecomportamiento dual. Algunas veces vemos a la luz comportarse como onda y en otrasocasiones se comporta como una partícula (Principio de complementariedad). Como ya semencionó, su comportamiento ondulatorio esta relacionado con su propagación; mientrasque su comportamiento corpuscular con procesos de emisión y absorción. Lo que NOhemos observado es que la luz se comporte como onda y partícula a la vez.

64Ejercicios12. Un milivatio de luz de longitud de onda 4560 A incide sobre una superficie de Cesio. Calcule lacorriente de electrones liberada y el mínimo potencial de frenado necesario para anular lacorriente. La función de trabajo del Cesio es 1.93 eV. Supóngase un rendimiento cuántico del0.5%.13. Demuestre que un electrón libre no puede absorber (completamente) un fotón.14. Cuando fotones de longitud de onda 0.024 Å inciden sobre un blanco, los fotones dispersadosson detectados a un ángulo de 60°. Calcular la energía del electrón dispersado y el ángulo con elcuál éste es dispersado.15. Un fotón entra a una cámara de nubes localizada en un campo magnético de 0.03 Teslas paraproducir un par electrón positrón. Los radios de las trayectorias curvas perpendiculares al campomagnético del electrón y positrón son 2 y 1.5 cm, respectivamente. ¿Cuál es la energía del fotónincidente en MeV?16. Un láser de rubí (longitud de onda 6983 Å) produce un pulso de 50 joules a la razón de 96pulsos/ minuto. ¿Cuántos fotones hay en un solo pulso?17. En una colisión tipo Compton el electrón y el fotón son dispersados formando un ángulo de 70ºy 30º respectivamente, con la dirección del fotón incidente (se supone que el electrón estaba enreposo antes de la colisión) Hallar la energía del fotón incidente.18. Utilizando cuadri-vectores, encuentre la energía umbral del proceso producción de pares yproducción triple.Postulado de De BroglieLuis de Broglie introdujo la siguiente hipótesis: “Si la radiación tenía ese comportamientodual (arriba explicado), también la materia (partículas) podrían tener un comportamientodual. Note que dicha hipótesis es posterior al desarrollo de las teorías atómicas.Luz(fotón ↔ onda de luz que gobierna su movimiento)OndaCorpúsculoMateria(Partícula)(partículas → “ondas de materia”)(¿Qué es una onda de materia? ¿Qué oscila?)Corpúsculo Onda (Principio de complementariedad)Partículas → las describimos mediante magnitudes dinámicas: E,prOndas → las describimos mediante magnitudes ondulatorias: ν ,λ, k rDe Broglie postuló las relaciones entre magnitudes dinámicas y ondulatorias:E = hν→ energía total de la partícula (relación de Einstein)

65hp = (relación de de Broglie)λEjemplo 1:⎛m= 1g⎞−34Bala: ⎜ ⎟ ⇒ λ = 6.6210 m1000m⎝υ= s ⎠∗ En este ejemplo es imposible observar la naturaleza ondulatoria puesto que para ello serequeriría interaccionar con sistemas de dimensiones a ≈ λEjemplo 2:−31⎛m= 9.1x10Kg ⎞−10Electrón: ⎜⎟λ = 1.2 10 m⎝ Ek = 100eV⎠*Para este ejemplo se podría ver el comportamiento ondulatorio: ¡difracción de electronesen cristales!En efecto se puede realizar difracción de electrones en cristales. Esto fue hecho porDavisson y Germer poco antes de que de Broglie lanzase su hipótesis. Posteriormente se hanrealizado experimentos de difracción con neutrones y otras partículas.Figura. Difracción de electrones¡Así se comporta la naturaleza! ¡Es un principio fundamental en la naturaleza! y se loconoce como “principio de complementariedad”Se analiza mejor este comportamiento mediante el siguiente experimento:Comportamiento Cuántico (experimento de las dos rejillas)Experimento con Ondas

66212≠ I1I2I12= h1+ h2= I1+ I2+ 2I1I2+ 2 I1I2I +221= h1I2h2I =Experimento con balasP +12= P1P2Experimento con electrones (son detectados en paquetes)p +12≠ p1p2¿Cómo se explica? ¿Con trayectorias rarísimas? ¡NO!• Incidiendo con electrones, e - , uno a la vez. Se observa el mismo patrón de interferencia.• Espiando a los electrones. ¿Qué pasa si nos inventamos algún mecanismo para poderinferir por qué agujero pasó el electrón? El momento que dicho mecanismo me permiteconocer por cuál agujero paso el electrón, el diagrama de interferencia se pierde y setiene un diagrama como el de balas; si dicho mecanismo pierde la capacidad de conocerpor que agujero pasó el electrón, el diagrama de interferencia se recupera 10 .• Note que al tratar de visualizar lo que se conoce o se denomina onda de materia se tieneun gran problema ¿Qué es lo que ondula u oscila?• La matemática de las ondas puede aplicarse para describir el comportamientoondulatorio de las partículas.10 Wolfgang Ketterle et.al.,Scientific American, 1996

67• Aunque inicialmente este experimento fue solo pensado, varios experimentos han sidollevados a cabo 11 12 13 14 con neutrones, átomos y moléculas tan grandes como el defullerenos C 60 , en los cuales se ha observado este comportamiento cuántico.Paquetes de ondaEl mismo hecho de describir a la partícula como “onda” hace que ésta pierda algunosaspectos de ser localizado.Una partícula generalmente se la representa por un paquete de ondas que forman unaenvolvente que se propaga a una velocidad diferente de la de sus componentes.Consideremos dos ondas:ψ1= Acos( ω1t− k1x)ω 1≈ ω 2= ω( t k x)ψ2= Acos ω2−2k 1≈ k 2= kSuperponiendo las dos ondas:ψ = ψ 1+ ψ 2⎡⎛ ω + ⎞ ⎛ k + k ⎞ ⎤= A Rcos⎢⎜1ω1 2ψ2⎟t− ⎜ ⎟x⎥⎣⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦Donde:⎡⎛ω − ⎞ ⎛ k − k ⎞ ⎤A R= 2Acos⎢⎜1ω 21 2⎟t− ⎜ ⎟x⎥ ⎣⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦Figura. Paquetes de ondaCada componente se propaga con su velocidad de fase.2ω E h E mcυph= = νλ = = = =k h p p mυ2cυ11 K. Eder, M. Gruber, A. Zeilinger, R. Gähler, W. Mampe, Physica B 172 (1991) 32912 U Eichmann et.al. Phys. Rev. Letters, 70, 235913 O. Carnal & J. Mlynek 1991 Phys. Rev. Letter, 66, 268914 M. Arndt, y col., IQEC 2000, Conference Digest, Nice (2000) 115

68Sin embargo el paquete se mueve con “velocidad de grupo”dωdEυg= = ⇒ ¡¡pero ésta es la velocidad de la partícula!!dk dpSegún de Broglie y EinsteinEl hecho de que la luz se comporta de manera dual nos permite considerar la siguienteinterpretación: Si el movimiento de los fotones está regido por la propagación de la ondaelectromagnética al pasar por los dos agujeros, las zonas claras en el espectro deinterferencia observado son aquellas en las que los fotones tienen mayor probabilidad dellegada (o mayor intensidad de luz). Si asociamos una onda de materia al movimiento de laspartículas (electrones) para su propagación, la intensidad (amplitud al cuadrado) de esaonda de materia se podría representar también como una probabilidad de encontrar a loselectrones en un lugar o zona determinada del detector.Principio de incertidumbreDel mismo hecho que las partículas tienen comportamiento ondulatorio.Figura. Paquete de ondaEl paquete 15 que representa a la partícula tiene dimensiones del orden de la incertidumbreen la posición de la partícula.( hν)dωdυg= =dk dphΔνΔxυg= =ΔpΔtΔxΔp= hΔνΔtrr r15 ri(k ⋅−ωt)3Cualquier función puede representarse como: ψ (, t)= ∫ A(k , ω)e d k dω

69Si se va a medir la frecuencia de una onda, el menor tiempo de medición será el tiemporequerido para medir “al menos” un período de oscilación (o el paso de una longitud de ondacompleta por un punto de referencia)Así:1Δt≥ΔνΔtΔν≥ 1por tanto,ΔxΔp≥ hΔEΔt≥ hNOTE que éste NO es un límite de precisión instrumental sino “fundamental”.Debido al valor pequeño de h, esta incertidumbre no es relevante en el mundomacroscópico.EjemploLa velocidad de una bala (30g) y la velocidad de un electrón se miden y resultan igual a1000 m/s con una incertidumbre del 0.01%. ¿Cuál será la exactitud fundamental con que sepodrá determinar la posición de cada partícula, si la posición y la velocidad se midensimultáneamente.a) Para la bala:p = mυ= 0 .03kg⋅1000m/ s = 30kg m / s−3Δp = mΔυ= 0.0001⋅30kg m / s = 3⋅10kg m / shΔx≥ ≈ 1.757 ⋅102Δp−32mb) Para el electrón:−31 −28p = mυ= 9.1⋅10kg ⋅1000m/ s = 9.1⋅10kg m / spuesto que la velocidad es no relativista,−28 −32Δp = mΔυ= 0.0001⋅9.1⋅10kg m / s = 9.1⋅10kg m / shΔx≥ ≈ 5.8⋅102Δp−4mMicroscopio de Heisenberg.Trata de medir la posición del electrón mediante su hipotética observación. Para ello se loilumina con un fotón cuya dispersión permitirá dicha observación pero al mismo tiempo letransferirá una cantidad de movimiento que llevará a la indeterminación de la posición delelectrón por el hecho de tratar de medirlo. Sin embargo el principio de incertidumbre es másfundamental.

70Figura. Esquema del microscopio de HeisenbergSe quiere medir la posición y el momento de un electrón. El poder de resolución delmicroscopio es:λΔ x ≈2senθ(distancia mínima en que podemos decir que dos objetos están separados). Note quemientras más pequeña es λ menor serámás energético.Δ x ; pero menor λ indica que el fotón incidente seráPara ver al electrón el fotón debe entrar con un ángulo dentro de 2θ el fotón tiene unaincertidumbre en su momento (componente x).Δ p x≈ 2 psenθ varía en ( − psen θ,psenθ )De acuerdo con la conservación de la cantidad de movimiento, la ecuación anterior tambiénda la mínima incertidumbre del electrón en retroceso.λ hPor tanto, Δx Δp≥ ( 2 psenθ ) = pλ= λ = h2 senθλUn desarrollo más formal de la teoría ondulatoria muestra a las relaciones de incertidumbrehcomo: ΔxΔpx≥2El hecho de observar perturba el sistema, pero ¿existe el sistema si no se le observa?¿Existe la luna si no la miramos?

71Ejemplo 1Se hace una medida de la coordenada y de un electrón que pertenece a un haz que semueven en la dirección x, haciéndolo pasar por una rendija angosta de tamaño Δ y .Demuestre que como resultado se introduce una indeterminación Δ py. Efectúe el cálculoconsiderando el comportamiento ondulatorio.Ejemplo 2nλλsenθ = = ; n = 1ΔyΔyp yΔ p≈yp yλ= psenθ= pΔyhλΔp y⋅ Δy= pλ= = hλUn haz de láser de radio a con λ se emite horizontalmente. A una distancia R se ubica unapantalla. Determine el radio más pequeño de la mancha de luz que se genera en al pantalla.ΔpΔpyyp Δpx y=R dpxdΔpy=Rh⋅ Δy≥2h⋅ a ≈2

72p d ha x ≈R 2h Rd ≈2ahλRλd ≈4πaEjemplo 3Una bala de rifle de 30g tarda 0.5s en alcanzar el blanco, considerando a la bala como puntomaterial y despreciando cualquier otro efecto. Encontrar el orden de magnitud del área delos sucesivos impactos alrededor del blanco, en condiciones óptimas de puntería.( Δy)Δp y⋅ ΔyΔy =ΔpΔ pp xxy( Δ y)h≥2xyp xpxΔy=x( Δy)2 h≥22 hx≥2 p x2 hxhxh≥ = =2mυmxx2 t 2ht2mtm2−342( Δy) ≥ = 8.8 ⋅10mEjemplo 43La medida del ancho de una línea espectral de λ = 4x10A es 10 − 2 A . Cual es el tiempopromedio durante el cual es sistema atómico permanece en el correspondiente estadoexcitado.hΔEΔt≥2hcΔλE = → ΔE= −hcλ2λoo

73hΔt≥2ΔE2hλ= = 4.4 ⋅102hcΔλ−9sEjemplo 5Estimar el radio y la energía mínima que debe poseer un electrón en el átomo de hidrógeno,usando el principio de incertidumbre.2pkeE = + V () rV () r = − (potencial de Coulomb)2 mrhΔpΔr≥2Δr≈ rhp ⋅ r ≈Δp≈ p2hp ≈2r2 2keE = h −28mrr⎛ dE ⎞⎜ ⎟⎝ dr ⎠r min= 0Emin2 4 2h 16ek m=48mh22 2 2k e e 4m−2h2h0 = −4mrke2r2rke32h=4mr22 h=4mke+2r32Emin4 22ek m= −2hh=4ke2rmin2mEjemplo 6Una partícula que se mueve a lo largo del eje x (no relativista) tiene una incertidumbre en suposición igual a su longitud de onda de De´Broglie. Encuentre el porcentaje de incertidumbreen su velocidad.hΔx = λ =pΔp xΔxmΔυΔxxh≥2h≥2hpΔυx≥2mh

74hmυΔυx≥2mhΔυx 1× 100 = × 100υ 4πxEjemplo 7Un haz de electrones de 1eV inciden sobre una rendija de 10 -3 cm. Calcule la anchura delmáximo (x) de difracción a una distancia D=5m.hΔp yΔy≥2hΔp≈2asenθ=2De esta ecuación encontramos θ y de allí,h2mEΔp= psenθΔp= 2mE⋅ senθh=2a2mE⋅ senθD ⋅ tan θ = xSi conocemos que θ es pequeño entonces: sen θ = tanθCondición de primer mínimo de difracción:λsenθ =aAdemástan θ =xDPor tanto,xDλ=ax =DλaEjercicios1. A qué voltaje se deben acelerar los electrones (en un microscopio electrónico) si se desea resolverun virus de diámetro 12 nm? un átomo de 1.2 A y un protón de 1.2 fm?2. ¿Cuál es la energía de un electrón que para, bajo condiciones de irradiación similares, su primermáximo de difracción de Bragg sobre un cristal coincida con aquel primer máximo producido porun haz de fotones de 40 KeV?

753. Consulte en el modelo atómico de Bohr, las órbitas de dicho modelo. Demuestre que su perímetroes un número entero veces la longitud de onda asociada al electrón en el modelo.4. Mediante la relación de incertidumbre, calcule la energía cinética mínima que tendría un electrónencerrado en: a) en un átomo de dimensión 0.1nm b) un núcleo atómico de dimensiones 10 -14 m.5. ¿Cuál es la vida media aproximada del estado atómico excitado cuya longitud de onda de emisiónes 5000 A si se la conoce ésta con una precisión de 10 -6 .6. Un electrón energía cinética igual a 600 keV, al ingresar a una región con campo magnéticoperpendicular a su movimiento, describe una trayectoria circular de radio 60 cm. Calcular: (a) elcampo magnético donde se encuentra sumergido el electrón. (b) el momento dipolar magnéticoorbital que produce electrón.7. Un electrón con longitud de onda asociada de 0.024 A se mueve en la dirección del eje Yrespecto de un observador inercial. ¿Qué valor longitud de onda asociada para este electrón,medirá un segundo observador moviéndose con relación al primero a velocidad 0.8c y en ladirección X?8. Un núcleo atómico emite un rayo gamma de 1 MeV al producirse una transición de un estado de1.2 ns. ¿Cuál es la indeterminación del rayo gamma?9. Se hace un aparato para preparar un haz atómico calentando un conjunto de átomos a unatemperatura T y permitiendo que el átomo salga por un agujero de diámetro d por un costado delhorno. Al salir el haz viaja entonces en una trayectoria recta de longitud L. Demostrar que eldiámetro del haz al final de la trayectoria es mayor que d. Estime el orden de magnitud de estacantidad.10. ¿Cuál es la longitud de onda de de Broglie asociada a un electrón con energía cinética de 0.511MeV?11. Una red de difracción óptica se usa para mostrar la difracción de los electrones. Para ángulos de2⎛αincidencia rasantes, o sea para θ muy pequeños. Muestre que⎟ ⎞n λ = d⎜ + αθ n=1, 2, 3,⎝ 2 ⎠(Ayuda: encuentre la diferencia de camino óptico recorrido para dos agujeros adyacentes)12. Un niño sobre una escalera de altura H, deja caer canicas de masa m al piso, tratando de pegarle auna fisura en el piso, para apuntar utiliza un equipo de la más alta precisión. (a) demuestre que lascanicas no caerán en la fisura por una distancia del orden deaceleración debida a la gravedad. (b) estime esta distancia.⎛⎜⎝hm⎞⎟⎠1/ 2⎛⎜⎝Hg⎞⎟⎠1/ 4siendo g la

76MECANICA CUANTICA (No relativista)Hasta el momento hemos considerado el comportamiento ondulatorio de la materia en casossimples. Schrödinger 16 propuso una teoría para considerar sistemas más complicados, lohizo postulando una ecuación de onda que describe las leyes del movimiento ondulatorio(no relativista); y su solución describe el comportamiento ondulatorio del sistema.Figura. Descripción de un sistema mecánico cuánticoLa función de onda ( r,t)rψ → describe el sistema (tiene toda la información de sistema) esuna función compleja.En el caso más simple podemos considerar al sistema como una partícula sumergida en uncampo de fuerzas (representado por un potencial V). Esto implica que la formulaciónondulatoria debe ser coherente con la conservación de la energía, es decir,E = E k+ E .2pPara el caso no relativista: E = + V () r donde m es la masa de la partícula.2 mhDebe también ser coherente con las relaciones de de´Broglie y Einstein: λ = , y E = hωλrespectivamente.rAdicionalmente, debe ser lineal en ψ ( r,t), es decir si ψ ,ψ 1 2son soluciones de laecuación, ψ = c1ψ1+ c2ψ2debe también es solución.Note que para un V = cte = 0 , la fuerza es cero y la ley de movimiento de Newton afirmaque p r y E son constantes (Podemos representar, en este caso, a la función de onda comouna onda plana). Sin tratar de que parezca una deducción, usaremos las relaciones dede´Broglie en la ecuación de energía2h k2m2+VPara el caso de V = cte. La partícula es libre y, como se mencionó, puede representarse por( kx−ωt)una onda plana propagándose en una dirección determinada, ψ ≈ de manera quedeberíamos proponer una ecuación del tipo:=hω2∂ ψ ∂ψ+ Vψ= β∂x∂tα2Ae ip16 Paralelamente Heisenberg desarrolló su formulación matricial de la mecánica cuántica.

77Schrödinger postuló:Que en una sola dimensión se escribe como:2h 2∂ψ− ∇ ψ + Vψ= ih2m∂t2 2h ∂ ψ ∂ψ− + Vψ= ih22m∂x∂tLa función ψ ( r , t)es una función compleja que, como otro postulado, al multiplicarse porsu complejo conjugada, define la probabilidad de encontrar a la partícula por unidad devolumen. Entonces la probabilidad de encontrar a la partícula en un elemento de volumendV = dxdydz será:dP( x, y,z,t) = ψ∗ ( x,y,z,t) ⋅ψ( x,y,z,t) ⋅ dxdydz∗ψ → es el complejo conjugado de ψ y es solución deun potencial real.Esta definición deψ ∗2h 2∗− ∇ ψ2m∗+ Vψψ nos lleva a definir la condición de normalización.∫∫∫ψ∗ψ dVV todo= 1∗∂ψ= −ih∂tparadefinición que debe ser reconsiderada para el caso de partícula libre (normalizaciónen una caja de volumen V y condiciones periódicas de borde).Ejercicio. Normalizar la función de Onda de una partícula libre unidimensional.Note que si ψ ( r , t)describe al sistema, esta función tiene que ser de buen comportamiento,es decir, debe ser continua y su primera derivada también debe ser continua. Es una funciónde cuadrado integrable, lo que implica que la función de onda y su primera derivada nodeben divergir en su comportamiento asintótico.Corriente de probabilidadConsideremos una sola dimensión. (¡Haga este desarrollo para 3 dimensiones!)2 2h ∂ ψ ∂ψ− + Vψ= ih22m∂x∂t2 2 ∗∗h ∂ ψ∗ ∂ψEcuación conjugada: − + Vψ= ih22m∂x∂t2h ∗− ψ2m2∂ ψ ∗∗+ Vψψ = ihψ2∂x∂ψ∂t

78Restándoles,2 2 ∗h ∂ ψ− ψ22m∂x2 22 ∗h ⎛∗ ∂ ψ ∂ ψ−⎜ψ−ψ222m⎝ ∂x∂x∗∗ ∂ψ+ Vψψ = ihψ∂t∗⎞ ⎛∗ ∂ψ∂ψ⎟ = ih⎜ψ+ ψ⎠ ⎝ ∂t∂t22 ∗ih⎛∗ ∂ ψ ∂ ψ ⎞ ∂⎜ψ−ψ⎟ =222m⎝ ∂x∂x⎠ ∂t∗( ψ ψ )⎞⎟⎠Integrando entre los puntos a y b.ih2mih2m⎛⎜⎝b 22 ∗∗ ∂∫ ψ ψ−ψ2a∂x2b∫a∂ ⎛∗⎜ψ∂x⎝∂ ψ ⎞ ∂⎟dx=∂x⎠ ∂t∗∂ψ∂ψ⎞−ψ⎟dx=∂x∂x⎠b∗∫ ( ψ ψ )a∂∂tdxb∗∫ ( ψ ψ )adxih⎡∗⎢ψ2m⎣∗∂ψ∂ ψ ⎤−ψ⎥∂x∂x⎦ba= −∂∂tb∗∫ ( ψ ψ )adxSi se define la densidad de corriente (o flujo) de probabilidad como:ih⎡∗= − ⎢ψ2m⎣∂ψ∂ψ⎤−ψ⎥∂x∂x⎦S x*∂Sb − Sa= − P a,∂t[ b]En tres dimensiones−∫V∇ ⋅∗∗ ∂[ ψ ∇ψ−ψ∇ψ] ⋅ dV = ∫−∫∫r rS ⋅ dA =∂∂t∫ρdV∂tρdV∂− ∇ ⋅ S r= ρ → ecuación de continuidad∂t

79Ecuación que permite reforzar la interpretación estadística que se le está dando a la funciónde onda de acuerdo con el segundo postulado.Ejercicio: Considere el caso de partícula libre y calcule su densidad de flujo de probabilidad.Magnitudes dinámicasLas magnitudes dinámicas en mecánica cuántica se representan por operadores (función defunciones) lineales y Hermíticas (sus valores propios son reales).La cantidad de movimiento y la energía total de la partícula tienen asociados los siguientesoperadores:rp = −ih∇EEopopop∂= ih∂t2h= − ∇2m2+ V = HNote que la ecuación de Schrödinger la podemos escribir como:H ψ = EopψEl operador de energía cinética:E k op2= − h2m∇2Valores esperadosConsidere un conjunto de sistemas idénticos, definidos todos por ψ ( x,t). Para un mismovalor de t se registran, por ejemplo, los valores de x que caracterizan la posición de lapartícula, de todo el conjunto de sistemas idénticos. Luego de ello se obtiene la mediaaritmética de dicha magnitud. Este valor se denomina “valor esperado” o “esperanza” de lacoordenada x de la partícula al tiempo t, y se la expresa matemáticamente como:x∞∗= x = ∫ xψ⋅ dx−∞ψ donde ψ → está normalizadaPara cualquier función de x (como el potencial) ó para cualquier operador A op .

80A∞∗= ∫ψAopψdx−∞Así, el valor esperado de la cantidad de movimiento será:Ejercicio. Dada la función de ondaψ ( x,t)=ppxx==∞∫∗ψ p ψ dx−∞∞∗⎛∂ ⎞ψ ⎜−ih⎟ψdx⎝ ∂x⎠∫−∞πxAcosa0exE−ith−a2x ≤ −≤ x ≤a2a2 , x ≥a2Hallar 17 :x , (Nota: Surge una ambigüedad al calcular x p ¿como se22, x , p x, pxresuelve?)Ecuación de Schrödinger independiente del tiempoSi V V ( x,y,z)= no es una función explícita de t, a la ecuación de Schrödinger se aplica elmétodo de separación de variables. Así, si se considera la función de ondaψ x, y,z,t = φ x,y,z ⋅Tt , se logra obtener una expresión al lado izquierdo de la ecuación( ) ( ) ( )que solo depende de la posición, y al lado derecho, otra que solo depende de t.1 2⎡ h ⎤ 1r ⎢−∇ + V ⎥ = i( )2 φ φ hφ ⎣ 2m⎦ TdTdt= cEs decir, dos ecuaciones, una en las variables x, y, z y otra en la t.La ecuación temporal es:1 dTi h = cT dtdTdtc= −iTT(t) → función oscilatorio en el tiempo con frecuencia ω =chhAec−ithT = según los postulados de Einstein-de´Broglie ω =EhT=AeE−ith17 22Relación trigonométrica útil: cos2θ= cos θ − sen θ

81La ecuación restante la llamamos ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:2h 2− ∇ φ + Vφ= Eφ2mNote que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se lo puede escribir como:H ψ = Eψque representa un problema de valores propios del operador Hamiltoneano. Las solucionesde está ecuación (funciones propias) forman una base del espacio de funciones complejasde cuadrado integrable y los valores propios son reales y son los valores medibles(mesurables) del operador de energía.La solución de la ecuación dependiente del tiempo, en este caso, se le puede escribir como:( x t) =ψ ( x)⋅eψ ,Ei th−Antes de profundizar en las propiedades de las funciones propias, resolvemos algunosejemplos simples.Potencial escalón.Partícula de masa m incidiendo de izquierda a derecha sobre un potencial escalón.Región I2 2d φ1− h + Vφ2 1= Eφ12mdx2 2d φ1= Eφ2 12mdx2φ´´ 01+ k1φ1= conSolución: ( ) 1xφ1x = AeRegión II2 2d φ2− h + Vφ2= Eφ222mdxImEhII2 2k1=2−ik1x+ BeCasoE < Vo

822φ´´ 2−k 2φ2= 0 conk222m V=h( E)− o2−k2xk2x−k2xSolución: ( x) = Ce+ De= Ceφ (D=0 función de onda no divergente)2Solución en ambas regiones: φ ( x)=ACeeik1x−k2x+ Be−ik1xx < 0x ≥ 0φ1φ`( 0) = φ2( 0)( 0) = φ`( 0)12A + B = Cik A − ik B = −kC11kA − B = ik212→flujo reflejadoR =flujo incidente⎛ kA i Ck ⎟ ⎞ = ⎜ +22 1⎝ 1 ⎠⎛ k ⎞B = ⎜ −22 1 i Ck⎟⎝ 1 ⎠Rυ BBυ∗1=∗1AA⎛ k⎜1− i⎝ k=⎛ k⎜1+ i⎝ k2121⎞ k⎟⎛⎟⎜1+ i⎠⎝k⎞ k⎟⎛⎟⎜1− i⎠⎝k2121⎟ ⎞⎠= 1⎞⎟⎠Ejercicio:Para el caso: E>V o calcular (R+T) si se define T=flujo transmitflujo incidenteEfecto túnel. Considere una partícula de masa m incidiendo de izquierda a derecha sobreuna barrera de potencial de ancho a y altura V 0 .I II IIId φ2mdx2 21− h 2 22= Eφ2 1+ V2 Oφ2= Eφ22d φ− h 2 2d φ3− h = Eφ2 32mdx2mdxφ´´ 1+ k1φ1= 0φ´´ 2−k 2φ2= 0φ´´ 3+ k3φ3= 02 2mEk1=2hk2222m V=h( E)− o22 2mEk3= = k h2ik1x−ik1x−k2xk2xik1x−ik1xik1xφ ( x) = Ae + Beφ ( x) = Ce Deφ ( x) = Fe+ GeFe12+3=221

83(G=0 no existe onda reflejada desde la región III)Considerando las condiciones de continuidad de la función y su primera derivadaφ1( −a) = φ ( − a )222φ( −a) = φ ( − )1´ 2 2´a2i iA − B = C + Dek1ak1ak2ak2a2222eeeik1AAee− i− iik1ak1ak2ak2a2222− ik1Be= −k2Ce+ k2Deiik=k⎛⎜C⎝k1ak1ak2ak2a22 2 22− Bee − De1−−⎞⎟⎠2Ae− ik1a2⎛ k = ⎜1+ i⎝ k21⎞⎟C⎠ek2a2+⎛ k⎜1− i⎝ k21⎞⎟D⎠e−k2a22(a) φ (a)φ =232(a) φ ( )φ =2´ 2 3´a2A1 ⎛2 ⎜ +⎝kkk1ak2a=2⎜2 21 i ⎟ C +1⎞⎟⎠eeie1 ⎛ k⎜1i2−⎝ k−C + D = Fk2ak2aik1a222ee21⎞⎟⎠eik1a2De−k2a2−− k C=C2ee−2Ck2ak2aik1a222+ k2Deik1Fek2ak2aik1a221 2−− Deik= −kikk ⎟ ⎞2 ⎠2Fek2aik1a⎛21 2e = ⎜1− Fe⎜⎝1 ⎛ ik1⎞C = 12⎜ −k⎟⎝ 2 ⎠Feik1a2+k2a2Reemplazando C y D en A.1 ⎛ ik1⎞D = 12⎜ +k⎟⎝ 2 ⎠Feik1a2−k2a2⎛ k ⎞2 1 ⎛ k ⎞11 ⎛ = ⎜1i ⎟ ⎜1i ⎟2+k12−k+22 ⎜ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝12 1A 1 +kkkke k 2 121⎜1i ⎟ ⎜1i ⎟e( + ik ) a( −kik )a1⎞ ⎛⎟ 2 ⎜ +⎠ ⎝1 ⎡ ⎛ k ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎤= ⎢ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟+2k−1k−2k+1A F α 1 i 1 i + 1 i 1 iβ ⎥4 ⎢⎣⎝ k1⎠⎝k2⎠ ⎝ k1⎠⎝k2⎠ ⎥⎦2⎞⎟⎠

84α =β =eez z1z z1( k + ik )21 aeeik1aeek2a( −k+ ik ) a ik a −ka2221==k1k= 1+k k122⎛ k= 2 + i⎜⎝ k211k−k122⎛ k+ i⎜⎝ k21k−k⎞⎟ = z⎠123⎞⎟⎠zz12k1+ ik2=k1k2+ ik1=kA =A =14214FeF[ α z z + β z z ]ik1a12k2a−k2a[ e z + e z ]2 21 a⎡( k − k ⎤A = Fik2 1)1e ⎢4coshk2a+ 2isenhk2a⎥4 ⎣k1k2⎦3123El coeficiente de transmisión es:y por tanto,T =⎡2⎢Cosh( k⎢⎣2k3FFT =k AA1a)+411**2Senh ( k2⎛ ka)⋅⎜⎝ kNote que para el caso de barreras anchas el coeficiente de transmisión (ver ejercicio 1,página 93) toma la forma:21k−k122⎞ ⎤⎟ ⎥⎠ ⎥⎦T2a− 2m(V )2 0 −E− k2ah≈ e = eEjemplos:• Diodo túnel (transistor resonante de túnel)Juntura n-p altamente dopadaLa altura de la barrera se regula con voltaje, se logra frecuencias de interrupción de10 4 Hz.

85Voltaje directo: hay una región donde la resistencia es negativa.Voltaje inverso: se comporta como un diodo Zener.• Decaimiento α (Similar al modelo de la fusión nuclear)Dos protones y dos neutrones preforman una partícula alfa dentro del núcleo atómico ysobrepasa la barrera de potencial, por efecto túnel, ocasionando el decaimientoradiactivo alfa.Figura. Representación del pozo de potencial nuclear en el decaimiento alfa• Molécula de amoníaco NH 3 (Similar al problema de los kaones neutros)El estado base de la molécula de amoníaco es la superposición de dos estados, unodonde el átomo de N está ubicado como en la figura y el otro en la posición inferiorsimétrica.Consulta. Microscopio de barrido de efecto túnel.Pozo infinitoPartícula de masa m confinada en un pozo de potencial infinito

86→ región con potencial infinito indica φ ∗φ = 0( a) = 0 ⇒ A ≠ 0φφφ12 2h d φ= Eφ2mdx−221=φ``+ k φ02 2mEk1=2hik1x−ik1x( x) = Ae − Be( 0) = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = −B1e 21ik1 x −ik1x( x) = A − Ae= iAsenk xφ Condición de normalización2iAsenk1a = 04A21= ⇒ A =1a2a2 2k a = nπk11nπ=an ∈ ΖA =12aE n2 2 2 2h k h π n=22m2ma2= ( x) = i senkxψ2aSi se toma el potencial simétrico, entonces hay dos familias de soluciones. Note que para elpotencial infinito la condición φ´continua ¡no aplica!Pozo finitoPartícula de masa m confinada en un pozo de potencial infinitoV ( x)=V o0x < −−a2x >a a2 2x ≤a2≤i) E

87k21( E)2m V − o 2 2=22 2hmEk = k3= k1h− xx k x( ) k 1x CeDek 11φ = + Deφ ( ) = Asenk x + B k x1=x222cosφ3− xx k x( ) k 1x FeGek 1 − 1= + = Fe(C=0 y G=0 para que la función de onda no diverja cuando x → ±∞ )Considerando las condiciones de continuidad de la función de onda y su primera derivada:Se tiene:φ ( −a) = φ ( − a ) y φ ' ( −a) = φ ( −a)12221 2 '2φ (a) = φ (a) y φ ' (a) = φ (a)22322 2 '3De = −Asenk2 + B cos k−ka1 2aa22 2k1De = k Acosk + k Bsenk−ka1 2aa2 2 2 2 2 2Asenk2 + B cos kk2Acoska2 2a2− k2Bsenka2 2a2 2=Fe2−ka1 2= −kFSumando y restando tanto la primera con la tercera y la segunda con la cuarta, se tiene:2Asenk2Bcos k2k2 Acosk2kBsenk2a2 2a2 2a2 2a2 2=== k1−ka1 2( F − D) e−ka1 2( F + D) e1= ke−ka1 2( − F + D) e1−ka1 2( D + F ) e2−ka1 2B ≠ 0 F + D ≠ 0Incompatible A ≠ 0 F − D ≠ 0a ak2 tan( k2) = k1k2 cot an( k2) = −k12ksumandoaa( k ) + k tan( k ) 0cot an2 2 2 2 22=ak2( k ) + k 022tan2 2=2

88a( ) = −12tan k2 2!No se satisfacen simultáneamente!Por tanto se tienen dos familias de solucionesA = 0 F − D = 0B = 0 F + D = 0Si consideramos la primera familia con su correspondiente ecuación trascendental:( k2)1ak2 tan = k2⎛( E)a 2mEa 2mEa 2m Vtan⎜⎟− o2222 h=2 h2 h⎝⎞⎠( E)222mEtan⎜a mE ⎟a m Vo −=2222h⎜ 2h⎟ 2ha⎛⎝⎞⎠∈=∈ tan ∈=2a mE22h2a mV o22h− ∈2∈ tan ∈= R2− ∈2Figura. Resolución gráfica de la ecuación trascendentalLas soluciones de la ecuación trascendental nos permiten conocer los valores propios de laenergía (punto de corte en la figura).De igual manera se manera se procede con la segunda familia de soluciones. La primera deestas soluciones se representa en la siguiente figura:Figura. Primera solución de la segunda familia de soluciones

89Con valor propio de energía de la primera raíz de la correspondiente ecuación trascendental.Oscilador armónicoClásico. Considerando que la partícula se encuentra sometido s una fuerza de tipo:F = −CxLa ecuación de movimiento y solución serán:m x = −Cx••••2x+ω x = 02ω=Cmx( t) = Acos( ωt+ φ)E =12⎡m⎢x⎣•2⎤⎥⎦122() t + CxCuántico. Corresponde a plantear la ecuación de Schrödinger en el potencialcorrespondiente a un oscilador armónico.F = −Cx∂F1 Cx2V = − =∂x22 2h d φ 1 2− + Cx φ = Eφ22mdx 222d φ ⎛ 2mEmCx ⎞+ = 02⎜ −22⎟φdx ⎝ h h ⎠2 2( βα − α x ) = 02d φ+ φ2dx2 mC2mEα = αβ =22hh2Eβ =hωξ =α x2( β − ξ ) = 02d φ+ φ2dξ2• Solución asintótica ( ξ → ± ∞) ξ >> βAe12ξ2→ 02d φ 2+ ξ φ = 02dξφ = A e + Be1 21 2ξ − ξ22para que la función no sea divergente

90Planteamos una solución generalφ2−2( ) ( )1 ξξ = Η ξ e en este caso ( ξ )φ = B e2−1 ξ2Η resuelve la ecuación.2d Η dΗ− 2ξ+2dξdξ( β −1) Η = 0→ Η' ' −2ξΗ ' + ( β −1) Η = 0Consideremos una solución de tipo serie:∞∑n=2∞∑n=0nΗΗ'( ξ )Η''( ξ )==∞∑an=0∞∑n=1∞( ξ ) = n( n −1)a∑nn=2∞nξnanξn−1nξn−2n−2n−1n( n −1) a ξ − 2ξna ξ + ( β −1) a ξ = 0n∑n=1n∞∑n=0∞∞n+2 ∑ nn=n=1n=0nnn( n 2)( n + 1) a ξ − 2 na ξ + ( β −1) a ξ 0+ ∑( n 2)( n + 1) a2− 2na+ ( β −1) a = 0+n+ nnn2n− β + 1a n 2= a( n + 2)( n + 1)+ n→relación de recurrenciaSe tiene dos familias de soluciones (unas de potencia pares y otras impares) pero seriesinfinitas.an+2 2n2Si se toma: = = (para n grandes).2n nanSi tomamos el desarrollo en serie de:eξ24 6n2 ξ ξ ξ ξ= 1+ξ + + + ... + +2! 3!n n( )!( + 1! )22n+2+ ...Relacionando dos coeficientes contiguos de este desarrollo para n grande se tiene:1n( + )21n( )21 !=!n( )2! 2=n n( + 1)( )!nse comportan como ( ξ )22(igual que el anterior), de modo que para ξ → ∞ las funciones He2ξξΗ → aC1+ a1C2de manera que:ξe2

91φ( ξ )eee1 2 21 2ξξ2 ξ2≈ − → (y la función de onda diverge). Sin embargo, se pueden obtenervalores aceptables de la solución para ciertos valores de β. Aquellos valores provocan elcorte de la serie, hacen que an+ 2tome el valor cero y las soluciones son polinomios degrado n. Dicha condición es: β = 2 n + 1. La ecuación en este caso viene a ser la ecuaciónde Hermite cuyas soluciones son los polinomios de Hermite 18 .n2n ξ dHn( ξ ) = ( −1)e endξΗΗΗΗ o= 12Η2= 4ξ− 22 4Η4= 12 − 48ξ+ 16ξ......135.......= 2ξ3= −12ξ+ 8ξ2−ξ( )3 5= 120ξ−160ξ+ 32ξLa solución para el oscilador armónico cuántico es entonces:ξ( ξ ) = − 1 22( ξ )φn e Η ndonde ( ξ )Η es un polinomio de grado nnLos polinomios de Hermite son ortogonales, es decir, satisfacen:ξ∫ e− 2Hm( ξ ) ⋅ Hn( ξ ) dξ= 2n⋅ n!π ⋅δmnSiendo δmnel símbolo de Kronecker (igual a 1 cuando m = n, y 0 cuando m ≠ n)Figura. Primeras funciones de onda del oscilador armónico18 Relaciones de recurrenciaHn+ 1( ξ ) = 2ξHn( ξ ) − 2nHn−1( ξ )H ´ ( ξ ) 2nH1(ξ )n=n−

92La condición de no divergencia de la función de onda, obliga entonces a la condición:2E⎛ 1 ⎞β = = 2n+ 1 ⇒ En= ⎜n+ ⎟hωn ∈ Ζhω⎝ 2 ⎠Ejercicios1. De la expresión obtenida en clase para el coeficiente de transmisión en el efecto túnel, de muestreque para alta barrera o gruesa barrera la expresión se reduce a:T2aE E −= ⎜ ⎟h16V0⎛⎜1 −⎝ V0⎞⎟e⎠2m(V0−E)2. Resuelva el oscilador armónico cuántico bi-dimensional de una sola frecuencia.3. Consulte sobre las principales relaciones entre los polinomios de Hermite.4. La constante de la fuerza de restitución para las vibraciones del espaciamiento interatómico de unamolécula di-atómica típica es aproximadamente 10 3 J/m 2 . Estime el valor de la energía del puntocero de las vibraciones moleculares. Estime también la diferencia entre los niveles energéticosvibracionales de ésta molécula.5. Demuestre las siguientes expresiones:d x p=dt md p dV= −dt dxPropiedades matemáticas de la función de onda propias.1. Dado un potencial V(x) independiente del tiempo existen soluciones aceptables a laecuación de Schrödinger solo para ciertos valores de energía E , E2 ,..., E ,... que son losvalores propios del operador Hamiltoniano.1 nFigura. Representación de los niveles energéticos para un potencial arbitrarioA cada valor propio le corresponde una función propia ( x) ,..., φ ( ),...φ y con cada una1 nxde éstas se obtiene una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

93n( x t) = φ ( x)eψ ,nEn−ith2. Puesto que la ecuación de Schrödinger es lineal en ψ , cualquier combinación lineal deéstas, también será solución.( ) = ∑ ∞ ψ x,t anψn( x,t)→ donde anson constantes.n=03. La densidad de probabilidad ψ ∗ ( x , t) ψ ( x,t)será:aa∗ ∗( x) φ ( x) a a φ ( x) ( x)e∑∗ ∗n nφn n+ ∑∑ l n lφnnl nn≠lque en general depende del tiempo.4. Considerando el caso especial de un sistema en ψ ( x t)ψ∗nEEn,−i( E −E) tn ni t −ith h ∗∗( x,t) ψ ( x,t) = e e φ n ( x) φ ( x) = φ n ( x) φ ( x)nLa densidad de probabilidad no depende de t, aun cuando ψ es función de t (decimosque el sistema se encuentra en estado estacionario).nnnlh5. La interpretación probabilística de ψ ∗ ψ hace que ψ sea normalizada.∞∫−∞∗ψSi ( x,t) ( x,t)( x, t) ψ ( x,t) dx = 1= ∑ ∞ ψ anψndefine las constantes adecuadas de an.n=06. Para el caso de un estado estacionario:∞∫∗( x t) ψ ( x,t) dx φ n ( x) φ ( x)∞∗ψ , = ∫ndx = 1 ⇒ las funciones propias φ también son−∞normalizadas.−∞7. El conjunto de funciones propias de la ecuación de Schrödinger posee la propiedad deortogonalidad, es decir,∞∫−∞φ( ) φ ( x)∗l x ndx = δln=10l = nl ≠ n2h− φ ''2mn+ Vφ= E φnnn(1) ⊗φ∗l

94∗lφ n22hc.c.h ∗− φ ''l+ Vφl= Elφl→ − φ ''l+ Vφ2m2m⎛2m⎜⎝222 ∗− h ∗ d φnd φ⎜lφl− φ2 n 2dxPero φ , → 0 cuando x → ±∞Y sidx⎞⎟+⎠∗l= E φl∗l(2) ⊗φ∗∗∗( Vφlφn−Vφnφl) = ( En− El) φlφn∞∞ 22 ∗2m− ⎛ d φ d φ ⎞2 n l ∫ l n ∫ ⎜l 2 nh−∞−∞dx dx ⎟⎝2⎠∗∗ nl( E E ) φ φ dx = ⎜φ−φ⎟dx∞∫−∞En≠ Elentonces: φlφ ndx = 0∗=∞∫−∞⎡= ⎢φ⎣ddx∗l⎛⎜φ⎝∗l∗dφndφ⎞l−φ⎟ndxdx dx⎠∗dφ⎤ndφl−φn⎥dx dx⎦(Si las funciones son degeneradas se puede también demostrar)∞−∞n8. Si ( x,t) = a φ ( x)e∑ ∞n=1nnEn−ithψ ,∞∫−∞∗ψ ψdx = 1 ∑ ∞=n 1an2= 19. Si conocemos la forma de ψ para un tiempo particular t (t=0) (potencial solo V(x)). Sepuede calcular ψ ( x,t)para cualquier tiempo.ψ∞( x,0) = a ψ ( x,0) = a φ ( x)∑nn∞∑n=1∗( x) ψ ( x,0) dx φ ( x) ( x)∫ ∑ ∞∗φn ∫n=1 −∞∞l= alφndxUtilizando la condición de ortogonalidad se tiene:∞∫−∞ψ( x) ψ ( x,)∗l0φ dx y por lo tanto:( ) ∑ ∞ En−ithψ x,t = anen=1⎡∞n∗−ith( x,t) = φ ( x) ψ ( x',0) dx'e φ ( x)∑ ⎢ ∫⎣−∞lφ⎥⎦⎤nnnEn

9510. El valor medio de E para el sistema en el estado ψ ( x,t).E=∑ ∞n=1Ena∗nanSea f op un operador hermético que representa una magnitud dinámica del sistema mecánicocuántico. El valor medio de f que es:f∫∗= fopψ dxψ .f o f especifica parcialmente el comportamiento de f. Se obtiene mayor información alconocer la fluctuación de f sobre su valor medio. Por lo que se evalúa:2Δ f .2[ op ] ψ dx22 ∗( f − f ) = Δf= ψ ( f − f )∫∫2( − f ) ψ dx∗= ψ f op2= f op∫ ψ − 2 fopf +∫( f ) ψ dx∗ 2∫∗ 2∗ 22 ∗= ψ f opψdx − 2 f ψ f opψdx + f ψ ψ dx∫=2f − f f +2 f2en general ( Δf )2 > 0=f2− fNote que si las funciones son propias del operador fop, es decir,Se obtiene que Δf 2 = 0 .f opψ = Fψ donde F es número real2Se concluye entonces que "cuando ψ es propio de f op , la magnitud dinámica f solo puede tener elvalor definido F". O en otras palabras: "Una medida del valor de la cantidad dinámica fsolo puede resultar igual a alguno de los valores propios F, del operadorcorrespondiente f op "EjemploPartícula de masa m confinada en un pozo infinito en tres dimensiones.2h 2− ∇ ψ = Eψ2m→2 2 2 2h ⎛ ∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ ⎞= Eψm⎜ + +x y z⎟2 22 ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠− 2

96Si ψ ( x , y,z) = X ( x) Y ( y) Z( z)2 2 2∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ 2mE+ + + ψ = 02 2 2 2∂x∂y∂zh222∂ X ∂ Y ∂ Z 2mEYZ + XZ + XY = −2222∂x∂y∂zh1 1 1 2mEX '' + Y '' + Z''= −2X Y Z hXYZ-α 2 -β 2 -γ 22 2 2 2mE− α − β − γ = −2h2hE =2 m2 2 2( α + β + γ )121212X '' = −αY '' = −βZ''= −γXYZX '' + Xα 2 = 0Y '' + Yβ 2 = 0Z '' + Zγ2 = 0X( x) = Asenα x + B cos α x = AsenαxY( y) = Csenβ y + D cos β y = CsenβyZ( z) = Fsenγ z + G cos γ z = FsenγzPuesto que: V =Entonces:Z0 < x < a0 → 0 < y < b0 < z < cx > a x < 0∞ → y > b y < 0z > c z < 0XY( x) = Asenαx( y) = Csenβy( z) = Fsenγzψα a = nπnπα = n ∈ Ζaβ b = mπmπβ = m ∈ Ζbγ c = lπlπγ = l ∈ Ζc( x, y,z) = A'sen( α x) sen( β y) sen( γ z)

97E nml2h ⎛ n=2⎜m ⎝ a22m+b22l+c22⎞2⎟ π⎠Si una partícula se encuentra en el estado:ψ = i ψ − +1232ψ111ψ211a) Normalizar la funciónb) Encontrar el valor medio de la energía de la partícula.c) ¿Cuales son los valores mesurables que se obtendrán en una serie de medidas de laenergía y cual el valor más frecuente de energía que salga en dicha serie demedidas?d) Encuentre el valor Δ E2Ejercicios1. ¿Cuál de estas expresiones es la correcta:2pa) E = + V 2 m2pb) E = + V 2 mjustifique su respuesta.2. Demuestre que las funciones seno y coseno no son funciones propias del operador cantidad demovimiento, para una partícula libre, pero cada una de ellas es una combinación lineal defunciones propias.3. Se dice que dos operadores A y B conmutan si AB - BA = [A, B] = 0. ¿Conmutarán los operadoresposición (x) y cantidad de movimiento (p x )?4. Demuestre que [ A ] 2 , B = A⋅[ A,B] + [ A,B]A5. Complete la siguiente tabla para: 1) el caso de una partícula en un pozo de potencial infinito deancho L, y 2) para el caso de un oscilador armónico cuánticon ψ (x)ψ123ψ * 2Δ x2Δ p2 2( Δ x ) ( Δp )

98Modelos AtómicosThomsonDistribución de carga positiva del tamaño del átomo, con los electrones distribuidosuniformemente.La dispersión de rayos α es siempre muy pequeña. El ángulo cuadrático medioaproximadamente es 10 -4 radianes, tanto para la dispersión por electrones como por ladistribución uniforme de carga eléctrica positiva.El experimento mostró algunas dispersiones que se producían en ángulos grandes, aúnmayores a 90º.Rutherford.Llevó a cabo y explicó los resultados del experimento anterior considerando que la cargapositiva y la masa del átomo se encontraban concentradas en un volumen pequeño(descubrimiento del núcleo atómico). Lo que le llevó a sugerir un modelo planetario.Electrones girando alrededor del núcleo. Este modelo, sin embargo, presenta un nuevoproblema: los electrones (partículas cargadas) en movimiento orbital radian energía, portanto, la materia sería inestable. Sin embargo, la materia es estable.Bohr. (Postulados)1. Un electrón en un átomo se mueve en orbita circular alrededor del núcleo debido a lainteracción coulómbica, sujetándose a las leyes de la mecánica clásica.2. Para el electrón solo serán posibles las órbitas para el cual su momento angular orbitales un número entero de la constante de Planck dividida para 2π.3. A pesar de que el electrón se acelera en estas órbitas no irradia energía. Su energíapermanece constante.4. Si un electrón realiza una transición de una órbita con E i a otra con E f , La frecuencia dela radiación emitida esta dada como: (E i -E f )/hLa fuerza entre el electrón y el núcleo será:D2F = donde D = KZe siendo K la constante que depende del sistema de unidades2rutilizado.2μυ DPara órbitas circulares = (multiplicando por μ ) se la puede escribir como:2r r2Lr =D ⋅ u

99La energía potencial será:1 DLa energía total: E = −2 rConsiderando el postulado 2, es decir,permitidas son:h nuZeDV = − y la energía cinéticarE 1 1 D= uυ2 =c2 2 rL = nh, se obtiene que los radios de las órbitas2 22r n= (4πε0)para Z=1 y n=1 se define el radio de Bohr: a20= (4πε0)21la velocidad en cada órbita υn=4πε02Zenh2 4uZ e 1y la energía total E = EK+ V = −2 2 2( 4πε) 2hn0hueNote. Hemos tomado a u como la masa del electrón (aunque realmente es la masa reducidadel sistema átomo de Hidrógeno).Observación. De acuerdo con el modelo de Bohr, la cuantización del momento angular llevaa la cuantización de la energía total del sistema.Líneas espectrales1λ⎛ 1 1⎜ −2⎝ n m= R H2⎞⎟⎠donde R H = 10967757.6 m -1Se definen las series (m>n):Lyman n = 1Balmer n = 2Parchen n = 3Bracket n = 4Pfund n = 5

100Ejercicios1. Calcular la longitud de onda inicial y límite de las tres primeras series del átomo de Hidrógeno.2. Calcule los radios y las energías de las órbitas para a) el positronio; b) un núcleo formado por unprotón y un muón.3. Mostrar que para todas las órbitas de Bohr, en el átomo de Hidrógeno, el cociente entre elmomento bipolar magnético y el momento angular orbital es constante.4. Con qué aproximación se debe medir la longitud de onda de la primera raya de la serie de Lymanpara el ión Li ++ , para distinguir el 6 Li ++ del 7 Li ++ .5. Del espectro del He + establezca la fórmula exacta de la serie n=4 (llamada de Pickering). ¿En quéregión del espectro se encuentra esta serie?Consultar. Experimento de Frank-HertzWilson Sommerfeld.Sommerfeld generalizó la condición de cuantización utilizada por Bohr a cualquier sistemafísico cuyas coordenadas varían periódicamente en el tiempo. Así, toda coordenadageneralizada que oscile en el tiempo deberá satisfacer la condición cuántica:∫ Pq⋅ dq = nqhdonde q es la coordenada generalizada periódica y P q su impulso asociado.Para el caso de un electrón en el átomo de Hidrógeno 19 se asumió órbitas elípticas, en estecaso las reglas de cuantización son:∫ L ⋅ dθ = nθh → L = n θh nθ= 1,2,3, 4,...⎛ a ⎞∫ Pr ⋅ dr = nrh→ L ⎜ −1 ⎟ = n rh nr= 0,1,2,3,4 ,..⎝ b ⎠2 24πε0hn nCon a = y b = a2u Zenθdonde,n = n θ+ n n = 1, 2, 3, 4,...Para un valor dado n , n = 1,2,3,...nrθParanθ= n las orbitas son circulares de radio aLa energía en este caso es:2 4uZ e 1E = −y coincide con el valor obtenido por Bohr.2 2 2( 4πε0) 2hnExiste entonces degeneración para diferentes órbitas (diferentes estados cuánticos) dadospor valores diferentes nθpara n fijo.Sin embargo, si se considera una corrección relativista. Por ejemplo, se incluye el término:19 Ver, por ejemplo, Greiner, Classical Mechanics (Hamiltonean Dynamics), página 411.

101H relse pierde dicha degeneración y se obtiene:2 4uZ eE = −2(4πε) 2h0212n− p=43 28uc2⎡ α Z⎢1+⎣ n2⎛ 1⎜⎝ nθ3 ⎞⎤−⎟⎥4n⎠⎦donde α es la constante de estructura fina definida como:1α =4πε02ehc=1137.036Las transiciones desde los diferentes niveles de energía en este caso deben satisfacer lasiguiente regla de selección:( n ) − ( n ) = ± 1θ iθfEjercicio1. Use las reglas de cuantización de Sommerfeld y Wilson para el caso del oscilador armónicounidimensional y encuentre la expresión de la energía.2. Supóngase que el protón y el electrón se encuentran ligados únicamente por la atraccióngravitacional. Hallar cual sería el radio de la órbita y la energía de ligadura del estado fundamentaldel sistema.3. Un sólido rígido gira libremente alrededor de un eje fijo. Mediante las reglas de cuantificación deS-W determinar las energías posibles del sistema. Se conoce el momento de inercia.Principio de correspondencia.Las predicciones de la teoría cuántica para el comportamiento de cualquier sistema físicodeberían corresponder a las predicciones de la mecánica clásica en el límite de númeroscuánticos grandes.El átomo de Hidrógeno (Schrödinger)La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un sistema de partículas estadada por:2h 2 r r− ∑ ∇ ψ2mi 1 2ir∂∂t( r , r ,..., t) + Vψ( r , r ,..., t) = ihψ ( r , r ,..., t)1r2r1r2El átomo de Hidrógeno es un problema de dos partícula (el protón y el electrón)interaccionando eléctricamente el uno con el otro. En este caso, la función de onda seráψ r ,r , ) Sin embargo, debido a la forma del potencial de interacción se la puede separar(1 2t

102en una componente que describe el movimiento del centro de masa y otra que describe elmovimiento relativo entre las dos partículas:r r r rψ,, t)= ψ ( R ) ⋅ψ( )(1 2CM CMrLa ecuación independiente del tiempo para el movimiento relativo será:22h 2Ze− ∇ ψ + V () r ψ = Eψdonde: V = − (sistema Gaussiano)2urDonde u es la masa reducida del sistema.Puesto que el potencial solo depende de la separación entre las dos partículas, se considerauna solución de tipo:ψ r , θ,φ = R r Y θ , φ2h ⎧ 1⎨ 22u⎩r∂ ⎛⎜r∂r⎝∂ψ⎞⎟ +∂r⎠ r( ) ( ) ( )21 ∂ ψ+2 2sen θ ∂φr2−221senθ∂ ⎛ ∂ψ⎞⎫⎜ senθ⎟⎬+ V∂θ⎝ ∂θ⎠⎭() r ψ = Eψ1ΘΦ2rddr⎛⎜r⎝2dR ⎞⎟ +dr ⎠ r22RΘd Φ RΦ+2 2 2sen θ dφr senθd ⎛ dΘ⎞ 2u⎜ senθ⎟ =2dθ⎝ dθ⎠ h[ V () r − E] RΘΦ1 d ⎛sen θ ⎜rR dr ⎝22 2dR ⎞ 1 d Φ senθd ⎛ dΘ⎞ r sen θ ⋅⎟ + + ⎜ senθ⎟ =2dr ⎠ Φ dφΘ dθ⎝ dθ⎠ h2 22⋅22− m1 Φ( 0) = Φ( 2π)2d Φ= −m2Φ dφ2⇒ Φ =φe imm = 0,1,2,3,...u[ V () r − E]1R1Rddrddr⎛⎜r⎝⎛⎜r⎝22dR ⎞ 1⎟ +dr ⎠ Θsenθ2dR ⎞ r 2μ⎟ −2dr ⎠ h1Rddr2d ⎛ dΘ⎞ r 2u⎜ senθ⎟ −2dθ⎝ dθ⎠ h2m2sen θ2m2sen θ[ V () r − E] − = 01 d ⎛⎜Θsenθdθ⎝dΘ⎞⎟dθ⎠[ V () r − E] = −senθ= l( l + 1)⎛⎜r⎝22dR ⎞ r 2u⎟ −2dr ⎠ h2m 1−2sen θ Θsenθ[ V () r − E] = l( l + 1)d ⎛ dΘ⎞⎜ senθ⎟ = ldθ⎝ dθ⎠( l + 1)ddr⎛⎜r⎝1senθ22dR ⎞ ⎡r2u⎟ + ⎢ 2dr ⎠ ⎣ h⎤⎥⎦( E −V( r)) − l( l + 1) R = 02d ⎛ dΘ⎞ ⎛ m⎜ senθ⎟ −⎜ − l2dθ⎝ dθ⎠ ⎝ sen θPara la ecuación en θ , se cambia la variable,⎞⎟ Θ =⎠( l + 1) ⎟ 0

103ξ = cosθd d dξd= ⋅ = −senθdθdξdθdξCuya solución es:l m−d ⎡dξ⎢⎣d ⎡dξ⎢⎣m( ξ ) = A ⋅ P ( ξ )22 dΘ⎤⎛ m ⎞( ξ − ) + ⎜l( l + 1) − ⎟ 012dξ⎥⎦⎜⎝1−ξ ⎟ Θ =⎠22 dΘ⎤⎛ m ⎞( − ξ ) + ⎜l( l + 1) − ⎟ 0l12dξ⎥⎦⎜⎝1−ξ ⎟ Θ =⎠Θ son las funciones asociadas de LegendrePmlm2≡m( ξ ) Pl⎛ d ⎞⎟⎝ dξ⎠2( ξ ) = ( 1−ξ ) ⎜ P ( ξ )1 ⎛ d ⎞Pl( ξ ) = ⎜ ⎟ ξl2 l!⎝ dξ⎠l( 2 −1) ll = m , m + 1, m + 2, m + 3,...meLa soluciones angulares hasta ahora encontradas forman las conocidas funcionesarmónicas esféricas, las cuales se las escoge normalizadas:Ylm(2l+ 1) ( l − m )!imφ( θ,φ)= ε⋅ e ⋅ Plm(cosθ)4π( l + m )!mdonde ε = (−1) para m ≥ 0 y ε = 1 para m ≤ 0Consideremos ahora la ecuación en la variable r1rd ⎛dr ⎝dR ⎞ ⎡ 2ul(l + 1) ⎤⎟ +⎢ 22dr ⎠ ⎣hr ⎥⎦( E −V( r)) − R 02=2⎜rSi se define la función U(r) = rR(r)La ecuación queda:− h2u22d U2dr2⎡ h l(l + 1) ⎤+ ⎢V( r)+ U ( r)= EU ( r)2 ⎥⎣ 2u⎦Si se cambia de variable y se reemplaza la forma del potencial:ρ = β r2 2uEβ = −2h

104En sus límites asintóticos,22uZe=h βρ0 2( l + 1)2d U ⎡ l− 12 ⎢ +2dρ⎣ ρ2d Uρ → ∞ se tiene la ecuación: = U ( ρ)2dρU= A⋅eρ → 0 el término centrífugo dominaU+ B ⋅ eρ0⎤−ρ⎥U⎦( ρ ) = 0con solución:−ρρ( ρ)(para que no diverja B=0)2d U2dρ= C ⋅ + D ⋅ ρConsiderando una solución de la forma:( l 1)⎡ l +− ⎢ 2⎣ ρ⎤⎥U⎦( ρ) = 0l+1−l( ρ)ρ(para que no diverja D=0)U ( ρ)1= ρl+e− ρ G( ρ)La ecuación para G es:[ ρ − 2( l + 1) ] 0ρ G´´ + 2( l + 1−ρ)G´+0G =GG'( ρ)G''( ρ)==∞∑aii=0∞∑iaii=1∞( ρ) = i( i −1)aReemplazando en la ecuación anterior se encuentra la relación de recurrencia:Para alto iDesarrollando en serie la funcióne2ρ∑i=2iρρi−1iρ( i + l + 1) − ρ20i−2a i i( )( ) a+ 1=i + 2l+ 2 i + 1a(2ρ)(2ρ)= 1++1! 2!i 2 +1 =a2ii(2ρ)+ ......i!ii+1(2ρ)+ + ....( i + 1)!Se ve que los términos consecutivos tienen un mismo comportamiento que esta función porlo que hará que la solución diverja cuando ρ → ∞ . Por tanto, es necesario que esta serie secorte y tan solo sea un polinomio.Para queansea el último coeficiente distinto de cero yn+ 1a sea cero es necesario que:2(i + l + 1) − ρ0= 0

105Si n = i + l + 1ρ = 2n0n = l + 1, l + 2, l + 3,...Escribiendo la solución radialRnle −ρ l( ρ) = ρ G ( ρ)nlnl2l+1( ρ ) = L (2 →G polinomios asociados de Laguerren− l−1 ρ)ConLpq−pqpp d( x)= ( −1)Lq( x)pdxL ( x)= exddxqq−xq( e x )ψnlm( r θ,φ ) = R ( ρ) ⋅ Θ ( cosθ) ⋅ Φ ( φ ),nllmmm = 0,1,2,3,...l = m , m + 1, m + 2,...n = l + 1, l + 2, l + 3,...∫∗ψ ψ dV= 1n = 1, 2,3,...l =0,1, 2,...,n −1m = −l,−l+ 1,..., l −1,l2μzeγ =2 22h βh βE =si:2 22μ2 μ z eβ =4 2h γhE =22μ z⋅2e4 22 22μh γ 2hn4μ z=2e44ψψψψψψn l m10020021−1210211→E n→ E1→ E2Note que la expresión de la energía coincide con la de Bohr.Se ha resuelto el problema de valores propios:Hψ = E ψnlmLas funciones propias están etiquetadas con 3 números cuánticos ( n,l , m)mientras que losvalores propios de energía tan solo de ( n ).nnlm

106Para cada valor n hay n valores posibles de l y para cada l hay (2l+1) valores de m.Así para un valor fijo de n se tienen: ∑ −=Funciones propiasn 1l 02(2l + 1) = n (grado de degeneración)ψnlm( r θ,φ ) = R ( ρ ) ⋅ Θ ( cosθ) ⋅ Φ ( φ ),nllmmψ1003 / 21 ⎛ Z ⎞−Zr/ a0= ⎜π ⎝ a0⎟⎠eψ3 / 21 ⎛ Z ⎞ ⎛ Zr ⎞−Zr/ 2a0200=2 e4 2⎜a⎟⎜ −0a⎟π0⎝⎠⎝⎠ψ210=43 / 21 Zr −Zr/ 2a0⎛ Z ⎞2π⎜a⎟⎝ 0 ⎠a0ecosθψ3/ 21 ⎛ Z ⎞ Zr −Zr/ 2a0± iφ±= e senθ⋅ eπ⎜a⎟21 18 0a0⎝⎠ψ210=43 / 21 Zr −Zr/ 2a0⎛ Z ⎞2π⎜a⎟⎝ 0 ⎠a0ecosθLas funciones propias están normalizadas y son ortogonales∫∫∫ψ*2n l mnl m( r , θ,φ)⋅ψn´l´m´( r,θ,φ)⋅ r senθdr dθdφ= δn´δl´δm´Generalmente se las escribe como el producto de dos funciones: la radial y la angular.ψnlm( r, θ,φ) = R ( r) ⋅Y( θ,φ)nllmLas funciones angulares son las llamadas armónicas esféricas. Son orto-normales.Algunas ondas radiales se muestran en la figura.Se define la densidad de probabilidad radial P nl de acuerdo con:

107Pnl∫∫*2( r)dr = ψ ( r,θ,φ)⋅ψ( r,θ,φ)⋅ r senθdr dθdφ4πnlmn´l´m´La integración es sobre todo el ángulo sólido. La expresión da la probabilidad de encontraral electrón en un cascarón esférico de radio entre r y r+dr.El radio medio de un estado propio se calcula como:rnlDando como resultado=∫∫∫Vψ*nlmr n l( r,θ,φ)⋅ r ⋅ψnlnm( r,θ,φ)⋅ r⎧ 1 ⎡ l(l + 1) ⎤⎫⎨1+ ⎢1− ⎥⎬⎩ 2 ⎣ n ⎦⎭20=2Za2senθdr dθdφEjercicios1. Calcule el radio donde se alcanza el máximo para las primeras densidades de probabilidad radial,en el caso l = n −1.2. Determinar la probabilidad de encontrar al electrón entre 0 y a 0 para los estados ψ200y ψ210.Discuta el resultado.3. Calcule la probabilidad que un electrón en el estado base del átomo de Hidrógeno se encuentredentro del núcleo atómico (sea b el radio del núcleo).Orbitales atómicos*Una densidad de probabilidad angular se define como: Ylm( θ,φ)⋅ Ylm( θ,φ)y esindependiente de φFigura. Primeros orbitales atómicos

108Estas distribuciones angulares están relacionadas directamente con los posibles valores delmomento angular orbital del sistema y su cuantización, que lo estudiamos a continuación.Los estados cuánticos estacionarios están etiquetados por tres números cuánticos( n , ), l m l. De acuerdo con su valor l, se introduce la siguiente notación:Estado: s, p, d, f, g, h,….. para: l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, … respectivamenteEjercicios1. Muestre que el promedio de las funciones de densidad de probabilidad para el conjunto de estadosdegenerados correspondientes a la energía E 2 es esféricamente simétrico.2. Consulte sobre las primeras funciones armónicas esféricas. Haga una tabla para que las tenga a lamano como material didáctico. De igual manera, consulte los orbitales atómicos para n=1, 2, 3, 43. Leer la siguiente referencia: Zuo y col. Nature, 2 Septiembre, 1999.El resultado del ejercicio 1 puede generalizarse aún para cada subconjunto de estados queincluye todos los posibles valores de m para un n y l dados (sub-capa).Momento Angular OrbitalEl momento angular de los electrones en el átomo se lo evalúa mediante el operadorr r rL =× pLopop= y pop− z p= −ix z yh⎛ ∂ ∂ ⎞⎜ y − z ⎟⎝ ∂z∂y⎠⎛ ∂ ∂ ⎞Ly = z px− x pz= −ih⎜ z − x ⎟⎝ ∂x∂z⎠L= x p− y p= −iz y xh2 2 2L = Lx+ Ly+L2zEn coordenadas esféricas⎛ ∂ ∂ ⎞⎜ x − y ⎟⎝ ∂y∂x⎠⎛ ∂∂ ⎞L x= −ih⎜−senφ− cosφcotθ⎟⎝ ∂θ∂φ⎠⎛ ∂∂ ⎞L y= −ih⎜cosφ− senφcotθ⎟⎝ ∂θ∂φ⎠∂L z= −i∂φhhL= −⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎤⎢ ⎜ senθ⎟ +2 2 ⎥⎣ senθ∂θ⎝ ∂θ⎠ sen θ ∂φ⎦2 21Se definen adicionalmente los operadores creación y aniquilación como:

109L±= L x± iL yAl reemplazarL ψz2Lψnlmnlm= mhψ= lnlm2( l +1) h ψnlmSe observa que las funciones propias del operador Hamiltoneano son también funcionespropias de los operadores: componente z y módulo al cuadrado del momento angular orbital.Lo que indica que estos operadores conmutan con el Hamiltoneano.Los operadores creación y aniquilación satisfacen:Lhl l+ψnlm= ( + 1) − m(m + 1) ⋅ψnl(m+1)L ψ−nlmhl l= ( + 1) − m(m −1)⋅ψnl(m−1)Con estas relaciones y la propiedad de ortogonalidad de los armónicos esféricos es simpledemostrar que:Lx= L y= 0El hecho de que del momento angular solo conozcamos su modulo y una de suscomponentes está relacionada directamente con el principio de incertidumbre, es decir, esun resultado directo del comportamiento ondulatorio de la materia. A este hecho se leconoce con el nombre de cuantización espacial.Figura. Cuantización espacialEjercicios:221. Encontrar: [ L , L ],[ L , L ],[ L , L ],[ L , L ],[ L , L ]x y y z z x zx,[ L , x] , [ L , y] , [ L , z] , [ L , p ],[ L , p ],[ L , p ]zzz2. Demuestre que: L L = 0 (consulte)x= yzxzyzz

110Momentos dipolares magnéticosEl electrón, al tener un movimiento orbital alrededor del núcleo y por ser una partículacargada, generará un momento dipolar magnético orbital. Se lo puede evaluar fácilmente sise utiliza el modelo de Bohr. La expresión cuántica se la obtiene considerando el problemaformal del átomo de Hidrógeno en interacción con un campo magnético uniforme. En estecaso en la ecuación de Schrödinger se reemplazar r q rp → p − A (se trabaja en sistema Gaussiano)cDonde A r representa el potencial vectorial magnético.El Hamiltoniano será entonces:21 ⎛ r q r ⎞ rH = ⎜ p − A⎟+ V ()2u⎝ c ⎠Para un campo magnético constante e independiente del tiempo, se tiene:r 1 r rA = B ×2De manera que:2hH = − ∇2uA r 2 = 0∇ ⋅ A r= 0Entonces22q+2uc2rACampo magnético pequeñomedida de Coulomb.2ihqr ihqr r+ ∇ ⋅ A + A ⋅∇ + V ()2ucuc2h 2 ihqr rH = − ∇ + A⋅∇ + V () reemplazando el valor de A r2uuc2h 2 ihqr r rH = − ∇ + B ⋅ (× ∇)+ V ()2u2uc2h 2 r r rH = − ∇ − μ ⋅ B + V ()2uDonde se ha definidor q rμ = L2ucEsta expresión introduce un factorgl(llamado factor de Landé orbital) al cual se le asigna elvalor de uno ( g = 1). Así se tiene que el momento dipolar magnético orbital del electrónesta dado por:l

111r gBLrl⋅ μμl= −hLa razón entre el modulo del momento dipolar magnético y el modulo del momento angularse la conoce como “razón giro-magnética” (en este caso: razón giro-magnética orbital). Noteque la llamada cuantización espacial se extiende también al momento dipolar magnético.Cuando un dipolo magnético se lo coloca en presencia de un campo magnético uniforme,r r raparece un torque T = μ × B , que trata de alinear al dipolo en la dirección del campomagnético, y que en ausencia de fuerzas disipativas, hace que el dipolo precese alrededorrdel campo magnético con frecuencia ω =lgBBr lμ, (¡demuestre esta expresión!).hLa energía potencia de interacción esta dada como:r rU = −μ⋅ BSi el campo no es homogéneo y mantiene un gradiente en una de sus componentes laenergía potencial de interacción producirá una fuerza neta que desplazará al dipolo.Está fuerza está dada por:rr rF = −∇U= ∇( μ ⋅ B)Si el momento bipolar magnético es constante,r r rF = ( μ ⋅ ∇) BEfecto Zeeman Normal (aproximación inicial: energía de interacción mucho mayor ainteracción spin-orbita)La interacción del átomo de H con un campo magnético exterior uniforme producirá unapérdida de degeneración de los estados cuánticos en el átomo (el tratamiento formal se llevaa cabo mediante teoría de perturbaciones). Esta pérdida de degeneración podría ser vistaen la separación de las líneas espectrales del átomo en cuestión por la presencia de dichocampo magnético.Consideramos que la energía total del electrón en el átomo, en este caso, es:Enlmr2 4r uZ e= En− μ ⋅ B = −2 22hn+ m μ BlB

112Para transiciones entre estados, en este caso, se deberán satisfacer las siguientes reglas deselección:Δl= lΔmli− l= ( ml)fi= ± 1− ( ml)f= 0, ± 1Figura. Desdoblamiento de niveles en presencia de campo magnético externoExperimento de Stern-GerlachSe hace pasar un haz de átomos de Plata (Ag) neutros (en su estado base) a través de uncampo magnético no homogéneo (como se muestra en la figura). Si el átomo tiene un dipolomagnético, sobre él se ejercerá una fuerza neta media:Fz∂Bz= μ∂zlzLa cuantización espacial produciría (2l+1) separaciones del haz. Puesto que en el estadobase los átomos de plata no tienen momento dipolar magnético (l=0), se esperaba observarninguna desviación del haz. Sin embargo, al realizarse el experimento el haz se separaba endos haces simétricos con relación a la dirección de incidencia.Se concluía entonces que el átomo debía tener otra contribución a su momento dipolarmagnético para justificar el resultado experimental (el dipolo magnético nuclear esdemasiado pequeño, en tres ordenes de magnitud, así que el núcleo no es el responsable).Por tanto se concluyó que el origen de éste debería ser el electrón mismo.

113Phipps y Taylor realizaron el mismo experimento con átomos de Hidrógeno. Se observó elmismo resultado.El spin del electrónSe llegó a la hipótesis razonable de que el electrón posee un momento magnético intrínsecodebido a un momento angular intrínseco (Uhlenbeck-Goldsmit). Dicho momento angulartiene un módulo y componente z conocidos y dados por:S2= s( s + 1) h2Sz= m shdondem s= −s, −s+ 1,.... s −1,sEl momento dipolar magnético intrínseco o de spin será:r μ rBμs= −gsS siendo g s→ factor de Landé de spinhA partir del experimento (el haz se divide en dos componentes) la componente z de estemomento dipolar magnético intrínseco toma solo dos valores de igual magnitud y signoopuesto. Entonces,1 11ms= − , y por tanto, s =2 22Si se mide la separación de los haces es posible determinar Fzy puesto que se puedemedir también el gradiente de campo magnético, se encuentra que:g sm s= ±1 y de aquí gs= 2El electrón en el átomo de Hidrógeno contribuye entonces con un momento dipolarmagnético debido a su movimiento orbital y otro intrínseco (el del núcleo, como ya semencionó, es 3 ordenes de magnitud más pequeño. Sin embargo tiene su importancia en loque se conoce como “estructura hiper-fina”, ver página 141).

114El formulismo de la teoría cuántica de Schrödinger no describe el spin del electrón 20 (laformulación relativista de Dirac, si lo hace).Interacción spin-órbitaAl mejorar la resolución de los espectrómetros ópticos en el estudio de las líneasespectrales, se observó que algunas líneas del átomo de hidrógeno y de los alcalinos enrealidad eran dos líneas muy juntas entre sí (esto se conoce como: estructura fina).Sommerfeld había justificado estas separaciones al considerar los efectos relativistas en elátomo de Hidrógeno. Sin embargo, se pensaba que en los alcalinos los electrones devalencia deberían tener menor velocidad y el efecto debería ser menor. La observación enrealidad mostraba un efecto mayor.La causa de la estructura fina es (principalmente 21 ) la interacción spin-órbita.Si se considera el observador propio del electrón (pensando clásicamente), éste observaráal núcleo atómico girando a su alrededor y generando un campo magnético (por sercargado); este campo magnético esta dado por:rBint1=euc21 dV ( r)r⋅ Lr dre interaccionará con el momento dipolar magnético intrínseco del electrón.La energía de interacción será:r rE = − ⋅sB intΔ μgsμB 1 dV ( r)r rΔE=S ⋅ L22euch r drFigura. Momentos dipolares magnéticos orbital y de spin del electrón20 La introducción del spin en el formulismo de Schrödinger se le hace mediante el reemplazo del siguienter q r r ⎛ r q r ⎞término en el Hamiltoneano p − A → σ ⋅⎜p − A⎟ c ⎝ c ⎠ 21 La estructura fina proviene de la introducción del spin en el término relativista, además aparece el llamadotérmino de Darwin, sin parangón clásico

115Momento angular totalEl momento angular total se define como:r r rJ = L + SJ2= j( j + 1) h2Jz= m jhdondem j= − j, − j + 1,...., j −1,jConsiderando queJ = L + S → m = m h + m h , tomando sus valores máximos se tiene:zzzjh l s( m j= j = l + s) maxPara determinar el límite inferior se utiliza la siguiente desigualdad:r r r rL + S ≥ L − Sj222( j + 1) h ≥ l(l + 1) h − s(s + 1) hm j min= j = l − sPor tanto, el número cuántico j toma valoresj = l − s ,......,(l + s)(en pasos de uno)Para el caso de una partícula de spin ½ y momento angular orbital l1j = l − , l +212

116ΔE1=2ucr r 1S ⋅ L =222 2 2 h( J − L − S ) = ( j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1) )1 dV ( r)r drr r 2hS ⋅ L =24uc2[ j(j + 1) − l(l + 1) − s(s 1) ]+2 221 dV ( r)r drLa función de onda ψl( r, θ,φ)define el estado cuántico ( n , , ml, m s)n mlm sl sin considerar lainteracción spin-órbita. Si esta interacción se considera, el estado cuántico se etiqueta porn , j,ψ r, θ,φ( ),l con función de onda ( )m jnl jm j.Es usual utilizar la notación espectroscópica para etiquetar cada estado cuántico. Esta es:( 2s+1)LjAdicionalmente si se consideran los términos involucrados en la interacción spin-orbita(incluido el de Darwin), la energía de los estados cuánticos para átomos con un electrónserá 22 :2 4uZ eE = −2(4πε) 2h0212n2⎡ α Z⎢1+⎣ n2⎛⎜⎝j +11/3 ⎞⎤− ⎟⎥2 4n⎠⎦Ejemplo. Considerando la interacción spin-orbita el nivel 3d se separa en dos niveles, comose muestra en la figura.La transición 3p → 2s, que representaría una sola línea espectral en el espectro del átomode hidrógeno, son en realidad dos líneas (estructura fina):3p → s y3 / 221/ 2p1 / 2→ 21/ 23 sNote que las reglas de selección este caso son:Δl= l i− lΔj= j i− jff= ±1= 0 , ± 1Una manera de representar los niveles energéticos en el átomo de hidrógeno se muestra acontinuación. La ordenada, que corresponde a la energía no se encuentra a escala y laseparación entre los niveles correspondiente a la interacción spin órbita es extremadamenteexagerada.22 Esta expresión no considera el desplazamiento de Lamb, ni la interacción hiper-fina.

117Figura. Transiciones permitidasEjercicios1. Un protón de 5 eV viaja en ángulo recto a un campo magnético uniforme cuya inducciónmagnética es 0.0063 T. a) ¿Cuál es momento angular orbital (número l) asociado con el protón?,b) Determine el momento dipolar magnético producido por el protón en magnetones de Bohr.2. Calcular el cambio en la longitud de onda del fotón resultante de la transición 2p→1s en el átomode Hidrógeno al aplica un campo magnético de 2 T.3. Un electrón el átomo de hidrógeno se encuentra en el estado 4f. Determinar los valores posiblesdel momento angular total y sus correspondientes componentes z.4. Calcular las longitudes de onda de las componentes de la primera línea de la serie de Lyman,tomando en cuenta la estructura fina.5. Calcular las energías y las longitudes de onda de la transición 3d→2p tomando en cuenta laestructura fina.

118Partículas IdénticasConsidere un sistema formado por dos partículas idénticas confinadas en una caja. Estaspartículas ocasionalmente se dispersarán entre si. Clásicamente los electrones describentrayectorias bien definidas por lo que si etiquetamos a las partículas siempre las podremosidentificar. En mecánica cuántica el principio de incertidumbre nos impide definir trayectoriaspara las partículas, por lo que no sabremos que partícula es cual, el comportamiento de laspartículas es seriamente afectado con cualquier intento de etiquetarlas o distinguirlas.Decimos también que sus funciones de onda se solapan, lo que no me permite la distinciónentre ellas.La indistinguibilidad de las partículas idénticas se debe tomar en cuenta explícitamente. Losresultados mesurables que se obtengan de cálculos exactos mecánico-cuánticos no debendepender de la asignación de marcas de las partículas idénticas. Esta propiedad conduce aefectos importantes sin analogía clásica.La ecuación de Schrödinger para dos partículas que no interaccionan entre si, la podemosescribir como:2h−2u2 2 r r r r r r[ ∇ + ∇ ] ψ (,) + Vψ(,) = Eψ(,)12121212El hecho de que no interaccionen entre sí nos permite considerar al potencial de la forma:r r r rV,) = V () + V ( )(1 2 1r2De tal manera que la ecuación de Schrödinger la podemos resolver mediante separación devariables,r r r rψ ,) =ψ () ψ ( )(1 2 1r223Cada función de onda es solución de ecuaciones de Schrödinger similares. Las solucionesson funciones propias etiquetadas por un conjunto de números cuánticos que se los notará(al conjunto) con una sola letra griega. Así, ψ r ) ≡ψ(1)representa la función propia deα( 1 αla partícula 1 con un conjunto de números cuánticos determinados (α).Una función de onda del sistema será:ψ r ,r ) =ψ α(1) ψ (2) con valor propio de energía: E = E 1+ E2 . Que representa un estado(1 2βparticular del sistema donde la partícula 1 se halla en el estado α y la partícula 2 en elestado β. Otro estado particular será ψ 1) ψ (2), que representaría el estado donde laβ(α23 En este caso decimos que las partículas no están entrelazadas ( no entaglement)

119partícula 1 se halla en β y la 2 en α. Note que este segundo estado tendrá la misma energíadel primero, es decir, serán estados degenerados.Si consideramos a las dos partículas indistinguibles, debe ser posible intercambiarlas sinalterar una cantidad mesurable del sistema, tal como la densidad de probabilidad.Intercambiemos las partículas para la densidad de probabilidad, así:∗ ∗ψ (1) ψ (2) ⋅ψ(1) ψ (2)αβαβ1⇔2∗ ∗⎯⎯→ψ(2) ψ (1) ⋅ψ(2) ψ (1)αβαβ¡¡Pero se observa que las dos expresiones son diferentes!!Por lo tanto las funciones de onda inicialmente consideradas para describir el sistema departículas idénticas no son las apropiadas.Sin embargo, podemos construir una función de onda que además de (obviamente)satisfacer la ecuación de Schrödinger, mantenga la densidad de probabilidad invarianterespecto de un intercambio de partículas.[ ψ (1) ψ (2) ψ (1) ψ (2)]1ψS=α β+β αfunción de onda simétrica2[ ψ (1) ψ (2) −ψ(1) ψ (2)]1ψA=α ββ αfunción de onda anti-simétrica2Estos dos estados tendrán la energía E = E 1+ E2(se le conoce como degeneración deintercambio).Ahora se tiene que:ψS1⇔2⎯⎯→ψSψ ψ∗SS1⇔2⎯⎯→ψψ∗SS1⇔2ψ ⎯⎯→− ψAA1⇔2ψ ψ ⎯⎯→ψψ∗AA∗AACualquier cantidad mesurable que se pueda obtener con las funciones propias simétrica oanti-simétrica serán invariantes al hacer un intercambio de las partículas idénticas.Principio de Exclusión de PauliEn un sistema mecánico cuántico nunca podrá existir más de un electrón en el mismoestado cuántico.Si, por ejemplo, nuestro sistema está formado por dos electrones, y si tomamos la funciónde onda asimétrica, considerando además a los dos electrones en el mismo estado cuántico(definido por el mismo conjunto de números cuánticos α), entonces:12[ ψ (1) ψ (2) −ψ(1) ψ (2)] = 0ψ A=α αα α

120Por tanto, si el sistema estuviera descrito por funciones anti-simétricas, las partículas nopodrían encontrarse en el mismo estado cuántico. Es decir, cumplirían con el principio deexclusión.Todas las funciones propias anti-simétricas tienen propiedades tales que se sujetan a losrequisitos del principio de exclusión.En base al principio de exclusión se clasifica a las partículas en dos categorías:1.- Los fermiones, partículas que satisfacen el principio de exclusión. Tienen spin semientero.Un sistema de fermiones idénticos esta descrito por funciones de onda antisimétrica.Si los fermiones del sistema no interaccionan entre sí, podemos construir sufunción anti-simétrica mediante el conocido determinante de Slater. Así para un sistema detres fermiones.ψ =Aψα(1)1ψβ(1)3!ψ (1)γψ (2)αψ (2)βψ (2)γψ (3)αψ (3)βψ (3)γ2.- Los bosones, partículas que no satisfacen el principio de exclusión. Tienen spin entero.Un sistema de bosones idénticos esta descrito por funciones de onda simétricas. La funciónsimétrica para un sistema de bosones puede ser construida del mismo determinante deSlater pero todos los términos con signo positivo.Fuerzas de intercambioConsideremos un sistema formado por dos electrones, por ejemplo en el átomo de Helio,donde, por facilidad de análisis, se asume que los electrones no interaccionan entre sí.Su función de onda será anti-simétrica:ψA=12[ ψ (1) ψ (2) −ψ(1) ψ (2)]αβSin embargo, esta función de onda estará formada por una contribución espacial y otra despin, es decir,ψ = ψAesp⋅ψspinβαCada una de esas funciones tendrá una forma simétrica y anti-simétrica con respecto alintercambio de partículas. Así,1ψespS=a b+2ψespA=12[ ψ (1) ψ (2) ψ (1) ψ (2)][ ψ (1) ψ (2) −ψ(1) ψ (2)]abbbaa

121Donde los índices latinos representan el conjunto de números cuánticos asociados a losgrados de libertad espaciales.Las funciones de onda de spin son:ψ spinS[ χ ( ↑)χ ( ↓)− χ ( ↑)( )]1=22χ121↓ψ spinA⎧χ1(↑)χ2( ↑)⎪1= ⎨ 1⎪ 2⎪⎩χ1(↓)χ2( ↓)[ χ ( ↑)χ ( ↓)+ χ ( ↑)χ ( ↓)]221⎫⎪⎬⎪⎪⎭Note que la función de onda de spin, resulta del acople entre los spines de las dospartículas. La anti-simétrica es un estado singlete S=0 (del acople de dos partículas de spin½) y la simétrica es un estado triplete S=1.Regresando al problema inicial, si el acople de spines es singlete, es decir, la función deonda de spin es anti-simétrica, necesariamente la función de onda espacial debe sersimétrica para que la total quede anti-simétrica.Considerando el caso de que las variables espaciales de los electrones tengan casi losmismos valores, es decir,ψespS=ψ 1) ≈ ψ (2) y ψ 1) ≈ ψ (2)entonces,a(a12b(bψ 1) ⋅ ψ (2) ≈ψ(1) ⋅ψ(2) ya(bb a[ ψ (1) ψ (2) + ψ (1) ψ (2)] ≈ 2 ⋅ψ(1) ψ (2)abbEn este caso, la densidad de probabilidad de encontrar a las partículas espacialmentejuntas, es el doble del valor promedio en todo el espacio.Ahora, si el acople de spines es triplete, es decir, la función de onda de spin es simétrica,necesariamente la función de onda espacial debe ser anti-simétrica para que la total quedeanti-simétrica.Haciendo las mismas consideraciones sobre la función de onda espacial, tendremos que:ψ12a1[ ψ (1) ψ (2) −ψ(1) ψ (2)] ≈ [ ψ (1) ψ (2) −ψ(1) ψ (2)] ≈ 0espA=a bb aa aa a2aaEn este caso, la densidad de probabilidad de que las dos partículas estén muy juntas es casinula. Como la probabilidad de encontrarlas juntas es pequeña cuando están acopladasparalelamente, lo interpretamos como si existiera una fuerza que trata de separarlas paracuando sus spines están paralelos. Por el contrario, cuando sus spines estén anti-paralelos,es como si se atrajeran puesto que la probabilidad de encontrarlas juntas es mayor que elcaso intermedio.

122Átomos poli-electrónicosLa resolución del problema mecánico-cuántico de un átomo poli-electrónico se reduceentonces a resolver de la ecuación de Schrödinger para un sistema de partículas. Si seconsidera un potencial independiente del tiempo, la ecuación a resolver es la de Schrödingerindependiente del tiempo.2h− ∑ ∇2mi.2ir rΨ(,...,1Nr r r) + V (...,,....) Ψ(,...,ij1Nr r) = EΨ(,...,1N)Como primera aproximación uno está tentado a resolverla considerando tan solo lainteracción de los electrones con el núcleo atómico y despreciando la interacción entreelectrones. Note que en este caso la ecuación se desacopla en Z ecuaciones similares aaquella del átomo de Hidrógeno pero para una carga nuclear +Ze. En este caso solotendríamos que ir ocupando los niveles energéticos calculados para dicho modelo.Consideremos como ejemplo el átomo de Helio. En este caso el Hamiltoneano del sistemaserá:donde2h−2u2 2 r r r[ ∇ + ∇ ] + V (,,)2 2r r r 2e2eeV (1,2,12) = − − +r r r11222121212(Sistema Gaussiano)que representan los potenciales de interacción del núcleo con los electrones orbitales y lainteracción entre los electrones.Si no se considera el último término del potencial, las soluciones serían aquellas obtenidaspara el caso del átomo de Hidrógeno y los valores propios de la energía del sistema estarándados como:ConE = E n 1+ En22Z ( −13.6)4( −13.6)= eV = eV2nnE n 2Para el estado de menor energía (estado base) del Helio se tendría una energía E = -108.8eV. El primer estado excitado E = -68 eV. Valores que difieren de los observadosexperimentalmente (el estado base del Helio tiene una energía de -79 eV). Por lo tanto, la

123interacción entre electrones orbitales debe ser considerada para tener una descripcióncorrecta de los átomos poli-electrónicos.La siguiente figura muestra la diferencia entre los niveles energéticos de un átomo multielectrónicoal no considerar y considerando la interacción entre los electrones.Figura. Esquema de niveles energéticosComo se puede observar de la estructura de niveles: ¡¡La interacción entre los electrones enel Helio no puede despreciarse!!Una segunda aproximación, donde todavía es posible resolver la ecuación de Schrödinger,considera el uso de un potencial neto sobre un electrón. Este potencial neto incluirá tanto alpotencial de interacción del electrón y su núcleo atómico como también la interacción conlos otros electrones (aproximación de apantallamiento promedio).Figura. Potencial neto de acuerdo con la posición del electrónNote que el potencial neto depende de la distribución de carga de los electrones orbitales yésta distribución a su vez está determinada por la solución de la ecuación de Schrödinger.Se requiere por tanto seguir un procedimiento tal que el potencial sea auto-consistente.

124Si se calcula la distribución de carga a partir del potencial neto, con esta distribución se reevalúael potencial neto para generar un proceso iterativo convergente, es decir, hasta quela re-evaluación del potencial neto produzca la misma distribución de carga anterior. Esteprocedimiento fue desarrollado por Hartree.Procedimiento de Hartree1) Para un sistema de Z electrones se desacopla la ecuación de Schröndinger de 3Zvariables en Z ecuaciones de tres variables cada una. Considerando un potencial netoesféricamente simétrico inicial,2− h ∇2m2Ψ(r,θ,φ)+ Vneto( r)Ψ(r,θ,φ)= EΨ(r,θ,φ)Se hace una estimación inicial del potencial neto en base a:2ZeV ( r)= −4πε0r2eV ( r)= −4πεr0r → 0r → ∞Lo que nos lleva a escribir un potencial neto de la formaDonde la función Z(r) cumple2Z(r)eV ( r)= −4πεrZ(r)→ Z r → 0Z(r)→ 1 r → ∞02) Se resuelve la ecuación de Schrödinger con este potencial2− h ∇2m2Ψ(r,θ,φ)+ Vneto( r)Ψ(r,θ,φ)= EΨ(r,θ,φ)Y se obtiene las correspondientes soluciones (valores y vectores propios).ΨΨΨαβγ→ E→ Eα→ Eβγ...............

125Se determina el estado base del átomo llenando los niveles con los electrones, respetandoel principio de exclusión de Pauli. (El estado base corresponde al estado del átomo demínima energía)3) Se calcula la densidad de carga del átomo, que considera la densidad de carga de loselectrones (Z-1) y una carga Ze puntual.*ρ(r ) = −∑ eΨΨ + δ ( núcleo)4) Con la densidad de carga se re-evalúa el potencial mediante la ecuación de Poisson.2∇ V= ρ / ε05) Si el nuevo potencial neto no es igual al inicial se repite el procedimiento desde el paso(2). Si los dos potenciales coinciden, entonces las funciones propias y valores propioscalculados son los que describen nuestro átomo poli-electrónico.Modificación de Fock. Plantea el uso de la versión más fuerte del principio de exclusión dePauli, es decir trabaja con una función anti-simétrica de Z! términos. Los resultados son losmismos que los de Hartree.Discusión de los resultados.La función de onda se encuentra etiquetada por los mismos números cuánticos con los quese ha venido trabajando.Ψnl m=Rnl( r)Y ( θ,φ)lmdonde la dependencia angular esta descrita por las armónicas esféricas.Se llenan los niveles desde el de menor energía hasta terminar con los Z electrones (estadobase del átomo)La probabilidad radial P(r) corresponde a la suma de densidades de probabilidad radial paracada estado tomado sobre los valores de n y l de los estados ocupados.

126Distribución radial de probabilidadLos picos en la curva P(r) definen lo que hemos llamado estructura de capas.Generalmente restringimos los anchos de los pico para discretizar la función Z(r) definiendoZ = Z r ) y llamándola “Z efectiva de la capa n”.n( nDe los resultados observados para un sin número de átomos vemos que:ZZnn= Z − 2 para n = 1= n para la capa ocupada mas externaEntonces los electrones en cada capa están sometidos a un potencial2ZneVn( r)= −4πεr0De esta forma podemos utilizar las expresiones que caracterizan los átomos con un soloelectrón.Veamos algunos resultados21. El radio medio para átomos con un solo electrón es r = n a / ZPara el caso de los electrones más internos, el apantallamiento de la nube espequeño y la atracción del núcleo con carga Ze es muy fuerte. De acuerdo conHartree r = rH /( Z − 2). Para átomos muy pesados hay que incluir efectosrelativistas.02. Los electrones internos tiene una energía de enlace muy alta, aproximadamente:para n=1EZEZ221= (1)H≅ ( − 2)EH

1273. Los electrones en la última capa tiene un buen apantallamiento del campo nuclearpor la nube electrónica, en este caso:2r = n a / Z y para la última capa Z n = n, asín0nr = na 04. Los electrones más externos estarán menos ligados al átomo y sus energías deenlace serán del orden de las del átomo de Hidrógeno,E =− uZe− un− ue2 42 44n==2 2 22 2 22 2( 4πε0) 2hn (4πε0) 2hn (4πε0) 2heUno de los principales resultados del desarrollo de Hartree es que los valores propios deenergía ya no dependen solo del número cuántico n sino también de l, es decir, E nl esto sedebe a que el potencial es ahora un potencial neto y no Coulómbico (sin considerar lainteracción spin-orbita).Los resultados de Hartree muestran que la energía de un electrón atómico es un poco más2 4− uZnenegativa que la que se esperaría de la burda aproximación: E = ; la diferencia2 2 2( 4πε) 2hnes mayor para l=0 y disminuye progresivamente cuando l aumenta.0En la misma sub-capa todos los electrones tienen la misma energía y P nl (r).Tabla periódica.Las propiedades de los elementos químicos son periódicas en Z. Estas propiedadesdependen de la configuración electrónica de los átomos que, a su vez, se obtienen de cómose ordenan las sub-capas de acuerdo con su energía (referido a su estado base).La energía depende tanto del número cuántico n como del l y presentan el siguienteordenamiento de acuerdo con la energía:1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d …Las sub-capas externas siempre satisfacen la siguiente regla:Dado un n, la sub-capa externa con menor l tendrá la menor energía.Dado un l, la sub-capa externa con menor n tendrá menor energía.La configuración electrónica de los elementos livianos son muy simples, así:H: 1s 1 He: 1s 2 Li: 1s 2 2s 1 Be: 1s 2 2s 2 …etc

128La siguiente gráfica muestra la ordenación de los niveles energéticos para los casos deelectrones internos (parte derecha) y de los electrones externos (parte izquierda).Figura. Niveles electrónicos para electrones externos e internosEjemplos de configuraciones:K 19 : 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 1V 23 : 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 2 3d 3Cr 24 : 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 1 3d 5Cu 29 : 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 1 3d 10En los dos últimos ejemplos se observa que los electrones que podrían estar en 4s seencuentran en 3d. Existen casos similares para las sub-capas 5s y 4d (ejemplo del Rh 45 :…5s 1 4d 8 y el Pd 46 en el que los 2 electrones de 5s van al 4d,así …..5s 0 4d 10 ). El platino Pt 78(…6s 1 5d 9 ) y el oro Au 79 (…6s 1 5d 10 ) muestran el mismo comportamiento pero en los niveles 6sy 5d.Se concluye que estos niveles, es decir, 4s y 3d; 5s y 4d; 6s y 5d tienen una separación deenergía muy pequeña y la configuración que toman es la de menor energía (más estable).Otras configuraciones que no concuerdan con la estándar es, por ejemplo, el Lantano La 57(...6s 2 5d 1 ) y lantánidos (Z=58 a 71) con (…6s 2 5d 0 4f 2 ,……., 6s 2 5d 0 4f 14 , 6s 2 5d 1 4f 14 ) lasdenominadas tierras raras. Algo parecido sucede con los elementos que siguen al ActinioAc 89 actínidos (Z=90 a 103). Estas observaciones se interpretan de igual forma, es decir quela diferencia de energía entre las sub-capas 5d y 4f, lo mismo que la de las sub-capas 6d y 5fson muy pequeñas mientras se están llenando las sub-capas.

129Por otra parte, la configuración estándar siempre se cumple para las columnas laterales dela tabla periódica. El esquema simple de la tabla periódica se muestra a continuación:Figura. Esquema de tabla periódicaSe concluye que cada sub-capa p siempre es de mayor energía que las sub-capas s y dprecedentes. Por lo tanto, deben existir grandes diferencias de energía entre las sub- capasp y la próxima s. Las distancias entre la sub-capa p y las otras es muy distante, lo quemuestra que un elemento que llena su capa p es muy estable (Gases Nobles). Decimostambién que su energía de ionización (energía mínima requerida para sacar un electrón desu nube electrónica) es muy alta, lo que conlleva a que su reactividad sea baja.Figura. Energía de ionización de los elementosPara los alcalinos, primera columna en la tabla, la energía de ionización es pequeña.Para los halógenos, penúltima columna en la tabla, presentan una gran afinidad electrónica,es decir, capacidad de capturar un electrón.Los elementos del primer grupo de transición hasta el Ni 28 tiene llena la capa 4s mientrasse llena la capa 3d (excepto el Cr 24 ) el radio de esta sub-capa es considerablemente menoral radio de la sub-capa 4s. La sub-capa 4s tiende a apantallar los electrones 3d de las

130influencias externas y por lo tanto las propiedades químicas de estos elementos sonsimilares, independientemente de cuantos electrones tienen en la capa 3d.El punto es que las propiedades químicas de los elementos dependen de los electrones delas capas más externas de sus átomos ya que estos electrones son los causantes de loscampos eléctricos y magnéticos que interactúan con los electrones de otros átomos. Laspropiedades del Cu 29 son diferentes de aquellas del grupo de transición.En las tierras raras Ce 58 – Lu 71 la capa 4f es la que se llena y es más interna que la capa 6sque ya se encuentra llena. Por tanto, las propiedades químicas de estos elementos sonparecidas. Lo mismo sucede en los actínidos, Th 90 – Lw 103 , la sub-capa 5f está dentro de la7s.Rayos X fluorescentes.Al observar el espectro de rayos X (obtenidos mediante un tubo de rayos X, página 60) seobserva una serie de líneas delgadas bien definidas superpuestas al espectro continuo.Estas líneas son las llamadas “líneas de rayos X fluorescentes y corresponden atransiciones electrónicas internas. En este caso, el estado excitado del átomo (debido a unproceso determinado: efecto foto-eléctrico atómico, o colisiones knock-on de electronesincidentes con electrones orbitales internos) conlleva a la remoción de un electrón orbitalinterno. El átomo en ese estado es altamente excitado y tiende a relajarse mediante un rearreglode su configuración electrónica por presencia de la vacancia interna. Los procesosde relajación pueden ser:a) La emisión de RX fluorescentes cuyas energías corresponden a las transicioneselectrónicas ocurridas.Así los rayos X fluorescentes se los clasifica mediante series:Serie K. Rayos X debida a transiciones desde capas superiores hacia la capa K (n=1 l=0j=1/2)K α cuando son desde capa LK β cuando son desde capa MSerie L. Desde las capas superiores a LL I (n=2 l=0 j=1/2)L II (n=2 l=1 j=1/2)L III (n=2 l=1 j=3/2)Serie M. Para transiciones desde los niveles superiores a MM I (n=3 l=0 j=1/2)M II (n=3 l=1 j=1/2)M III (n=3 l=1 j=3/2)

131M IV (n=3 l=2 j=3/2)M V (n=3 l=2 j=5/2)El nivel de energía de RX correspondiente a j = l+1/2 es de menor energía que elcorrespondiente a j = l-1/2.Las transiciones permitidas están sujetas a una serie de reglas de selección.Δl = ±1Δj = 0, ± 1Ley de Mosley.En base con los datos experimentales obtenidos, Mosley encontró una relación lineal entreel inverso de la longitud de onda de un tipo de RX emitido (digamos tipo K α ) y el númeroatómico del elemento.1= C −λ( Z a) 2Siendo C y a constantes empíricas.Nota. De esta manera Mosley fue capaz de determinar o encontrar algunos elementos queno se habían descubierto todavía (huecos en la tabla periódica).b) Emisión Auger. En este caso, el átomo con la vacancia electrónica interna producida enla excitación, se relaja mediante un proceso no radiativo (sin emisión de rayos X), sinoque al producirse las transiciones de los electrones de los niveles superiores a lavacancia, otros electrones de los niveles electrónicos superiores son emitidos, dejando elátomo en un estado de múltiple ionización. Los electrones así emitidos se los conocecon el nombre de electrones Auger y tiene un espectro energético discreto.Excitaciones ópticas.Si las excitaciones de los átomos son de baja energía, las transiciones se realizan en losorbitales electrónicos externos, produciendo, como uno de los mecanismos de relajación, laemisión de luz en la región visible del espectro electromagnético. Lo que conlleva a unadescripción completa del estado base del átomo y sus excitaciones más bajas.

132Bajo ese criterio el desarrollo de un electrón en un potencial neto debe ser mejoradointroduciendo las interacciones más débiles que no han sido incluidas hasta el momento.Entre estos tenemos el acoplamiento entre los momentos angulares orbitales, entremomentos angulares intrínsecos, el acoplamiento spin-orbita (debido a los camposmagnéticos internos de los átomos). Si los átomos están en presencia de campos externos:magnéticos (efecto Zeeman) o eléctricos (efecto Stark), el efecto de estos campos en suestructura de niveles energéticos.Átomos alcalinos.Representan el caso más simple puesto que tiene una configuración de tipo:[Gas noble] + un electrónSe considera que los electrones no se excitan en la capa p llena anterior, pues son de bajaenergía. El electrón se encuentra en la sub-capa s subsiguiente y es el único que producirátransiciones al ser excitado. A este electrón se lo llama “óptimamente activo”Figura. Transiciones electrónicas en un elemento alcalinoLas líneas del espectro óptico emitidas por los elementos alcalinos presentan undesdoblamiento de estructura fina, que separa los niveles de energía por la interacción spinorbita(excepto aquellos con l=0).Otros efectos relativistas son generalmente despreciables para los electrones óptimamenteactivos de todos los átomos multi-electrónicos. Esto puede verse fácilmente al generalizar laexpresión de la velocidad de Bohr y aplicarla a los electrones de la última sub-capa:

13322Z e eυ = n =4πεnh 4πε0h0Puesto que Z n =n, se tiene que el orden de la velocidad de los electrones es de la velocidadde Bohr (0.22 cm/ns).El desdoblamiento de los niveles energéticos del elemento alcalino debido a la interacciónspin-orbita se lo estima de manera similar al del átomo de Hidrógeno, por tantoconsideramos un desdoblamiento de niveles dado por:2hΔE=24uc2[ j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1) ]1 dV ( r)r drSin embargo, en este caso, el potencial en la expresión es el potencial neto (de acuerdo conHartree). Note que el comportamiento del gradiente del potencial neto aumenta al aumentarZ del átomo (para elementos de alto Z la energía potencial crece abruptamente al disminuirla distancia r), lo que implica que el desdoblamiento spin-orbita aumenta al aumentar Z,como se ilustra en la siguiente tabla:Elemento Sub-capa ΔE (eV)Li 3 2p 0.42 10 -4Na 11 3p 21 10 -4K 19 4p 72 10 -4Rb 37 5p 295 10 -4Cs 55 6p 685 10 -4Las líneas espectrales de los átomos alcalinos se deben a transiciones electrónicas quesatisfacen las conocidas reglas de selección:Δl = ±1Δj = 0, ± 1Átomos con varios electrones ópticamente activos.Considérese el caso de que la sub-capa exterior esta parcialmente llena con menos de lamitad de su capacidad (para el caso de más de la mitad se procede de igual manera peroconsiderando en este caso las vacancias).Como se ha mencionado en la aproximación de Hartree, la energía de cada electróndepende tanto de n como de l, E nl . La energía total del átomo se la puede considerar como:Energía de todas las capas llenas + energía de los electrones óptimamente activosPuesto que la energía de la coraza será la misma en la aproximación de Hartree, la energíadel átomo queda determinada por la configuración de los electrones óptimamente activos,

134los que se especifican por n y l como ya se ha mencionado. Puesto que por cada l hay(2l+1) valores posibles de m l y 2 componentes de spin, existirán muchos estadosdegenerados asociados con una determinada configuración. Esta degeneración se perderácuando consideremos interacciones más débiles que no han sido tomadas en cuenta en laaproximación de Hartree.Para el tratamiento de excitaciones de baja energía debemos incluir las interacciones másdébiles que experimentan los electrones óptimamente activos. Las más importantes son:1. Interacción residual de Coulomb. Que compensa el hecho de que el potencial neto deHartree que actúa sobre cada electrón óptimamente activo describe solamente un efectopromedio de las interacciones coulombicas entre dicho electrón y los otros óptimamenteactivos.2. Interacción spin-orbita. Que se debe al acoplamiento entre el momento dipolarmagnético intrínseco del electrón con el campo magnético interno generado por elmovimiento orbital de los electrones y del núcleo atómico.3. Correcciones relativistas y otras (interacción hiper-fina, polarización del vacío).Interacción residual de CoulombLa interacción residual de Coulomb se debe a que los otros electrones ópticamente activostienen una distribución de carga que no es esféricamente simétrica, puesto que la capa estáincompleta. Por tanto, el potencial neto no describe adecuadamente la interaccióncoulombica.Se debe considerar que la función de onda de los electrones óptimamente activos debe seranti-simétrica para que un intercambio entre ellas (ya que estamos tratando con partículasidénticas de spin semi-entero, fermiones) no modifique los observables. Sin embargo esterequisito altera en sí la distribución de carga.Note que para el acople triplete de dos electrones, la separación es mayor entre ellos y porlo tanto, su repulsión coulómbica menor (el acople de spines triplete los ubica con mayorprobabilidad a mayor distancia). Por tanto: La energía del átomo será mínima para cuando elacople total de spines de los electrones óptimamente activos sea mayor.r r rS = S + S ...´1 2+Otro aspecto de la interacción residual de Coulomb es la de producir una tendencia de losimpulsos angulares orbitales de los electrones óptimamente activos a acoplarse de modo talque el momento angular orbital total sea constante.Por un análogo clásico y la evidencia de espectros, los momentos angulares orbitales seacoplan de tal forma que el total sea máximo.r r rL = L + L´1 2+....

135Debido a la interacción residual de Coulomb la energía del átomo depende de los valores s´y l´ de modo que los estados cuánticos con la misma configuración pero asociados adiferentes valores de s´ y l´, ya no tendrán la misma energía. El estado con los valoresmáximos s´ y l´ usualmente será el estado de mínima energía (estado base).La interacción residual de Coulomb y la interacción spin-orbita tienden a producir efectosque se oponen entre sí. Para átomos con Z pequeño y mediano, la interacción residual esmayor a la interacción spin-orbita (por lo que en este caso, como se verá mas adelante,usaremos el acoplamiento L-S al considerar la interacción spin-orbita)Interacción spin-orbita.Se tiene en este caso que el momento angular total se lo calcula mediante el acoplamientoL-S o de Russell-Saunders:r r rJ´= L´+ S´J´= j´(j´+ 1) hComo resultado de esta interacción, la energía del átomo depende también de j´. El estadocon mínimo valor posible de j´ es el de menor energía.Para el caso de átomos con Z grande el acople spin-orbita es mayor que la interacciónresidual de Coulomb. En este caso se utiliza el acople j-j que indica que el momento angulartotal se lo calcula de la siguiente manera:r rJ´= ∑ J´ir r rJ´= L´+ S´iiiEn resumen podríamos decir:1) Si una configuración electrónica tiene más de una notación espectroscópica, aquella conel máximo s´ tiene menor energía.2) Si el valor de spin s´ máximo corresponde a varias notaciones espectroscópicas, aquellacon el máximo valor de l´ tiene menor energía.3) Si la sub-capa exterior del átomo esta llena con menos de la mitad, la notaciónespectroscópica con el mínimo valor de j´ tiene la más baja energía. Si la sub-capa estallena más de la mitad, la notación espectroscópica con el máximo j´ tiene menor energía.Estas proposiciones se satisfacen tan solo para el acople L-S. A este conjunto deproposiciones se las conoce con el nombre de “reglas de Hund”.Ejemplo 1. Considere la configuración electrónica 3d 1 4p 1 (o tan solo 3d4p)

136Ejemplo 2. Considere la configuración electrónica 2p 1 2p 1 (o tan solo 2p2p). Note que en estecaso los electrones tienen los números cuánticos n y l iguales. Por lo que los estadospermitidos serán aquellos que satisfagan el principio de exclusión de Pauli. Para el caso dedos electrones en la misma sub-capa el análisis es muy simple. El principio de exclusión dePauli nos dice que la función de onda total asociada a los dos electrones óptimamenteactivos debe ser anti-simétrica.Ψtotal= Ψespacial⋅ ΨspinLa función de onda de spin para el acople singlete es anti-simetrica; y la función de onda despin para el acople triplete es simétrica. La función de onda espacial será simétrica para elcaso l par y anti-simétrica para el caso l impar. Por tanto en el caso de acople de spinsinglete se eliminan los estados P y en el caso de acople de spin triplete los estados S y D.(podríamos simplificar en este caso aún más, diciendo que los niveles permitidos sonaquellos en los que s´+l´ es par)No se puede presentar ecuaciones explícitas para cada uno de los niveles. Sin embargo,para s´=1 (para s´=0, no hay desdoblamiento) y cualquier l´ fijo, podemos aproximar laseparación debida a la interacción spin-orbita mediante la siguiente expresión:

137ΔE= K[ j´( j´+ 1) − l ´( l´+ 1) − s´(s´+ 1) ]Esta ecuación predice los valores medios o esperados de la interacción entre los vectoresJ r ´ , L r ´ y S r ´ siempre que sea válido el acoplamiento L-S.La cantidad K no solo es proporcional a1 dVr drNetosino que tiene el mismo valor para todoslos niveles del multiplete, es decir, niveles con el mismo s´ y l´. Por lo que se puededeterminar los valores de energía de las separaciones entre niveles adyacentes delmultiplete.ε = ΔE´ + 1− ΔE´= 2K(j´+ 1)jjEste resultado es conocido como la regla del intervalo de Landé.Ejemplo 3. Para el Ca 20 que tiene una configuración 3d3d existe el triplete 3 P 0 , 3 P 1 , 3 P 2Los cuales están separados en energía: Compárelos con los valores obtenidos mediante laregla anterior.ε = 16.7 1012−4ε = 33.310−4eVeVEjercicios.1. Utilizando la regla del intervalo de Landé para encontrar los números cuánticos s´ y l´. Para el casode la figura donde, ε2= ( 5/ 3)ε12. Encontrar la configuración L-S del estado base de los siguientes elementos: Mg, Al, Ti, Fe.3. Encontrar la configuración de niveles d 1 f 1

138Efecto ZeemanAún cuando ya se ha bosquejado en qué consiste el efecto Zeeman al estudiar el átomo deHidrógeno, ahora lo estudiaremos con un poco más de detalle.Al analizar las líneas espectrales emitidas por los elementos, cuando éstos se encuentraninmersos en un campo magnético externo, se ha visto que una línea espectral puedesepararse en tres (en este caso lo llamamos efecto Zeeman normal) o en cuatro o máslíneas (efecto Zeeman anómalo). Para campos menores a décimas de Tesla eldesdoblamiento Zeeman es menor al desdoblamiento de estructura fina.Los desdoblamientos se producen debido a los momentos dipolares magnéticos de spin yorbitales de los electrones ópticamente activos (excepto para el estado 1 S 0 ). Los electronesque se encuentran en las sub-capas internas completamente llenas no tienen momentosdipolares magnéticos netos.En presencia de un campo magnético externo:r rΔ E = −μ⋅B extCada nivel del átomo se desdoblará en varias componentes discretas, correspondientes adiferentes valores de energía asociadas con las diferentes orientaciones cuantizadas delmomento dipolar magnético.r g r g r g r g rlμBlμBsμBsμBμ = − L1 − L2− ⋅⋅⋅ − S1− S2− ⋅⋅⋅h hh hdonde g l = 1 y g s = 2,r μμ = −hr rr r μ r rB[ L + L + ⋅⋅⋅)+ 2 ⋅ ( S + S + ⋅⋅⋅)] = − ( L´+ 2 ⋅ ´ )B(1 21 2SSe puede observar que r r r rμ no es paralelo a J´ = L´+ S´hSolo en el caso de que S r ´= 0 entonces r μ es anti-paralelo a J r´y los desdoblamientos deniveles de energía son muy simples (que hasta fueron explicados por la antigua teoría deLorentz) dados de acuerdo con la multiplicidad de l´ (Zeeman normal)Para el caso S r´≠ 0 (que representa el desdoblamiento Zeeman anómalo) escogemos laproyección de r μ en J r ´r μ rBμj= −gjJ´h

139Figura. Suma de momentos angulares y momentos dipolares magnéticos.μjr r r rr r μ ⋅ J´μ ⋅ J´= μ ⋅ cos( μ,J´)= −μr = − rμ J´J´r rr ⋅ J´rμj= −μ J´2J´rr r r μB⋅ J´rμj= −( L´ + 2S´) J´2J´hr r r rrB⋅ L´+ 2S´⋅ L´+ S´μj= −μJ´h( ) ( ) r´2JrμjB= −μhr r r r2 2( L´+ 2S´+ 3L´⋅S´) r´rμ = −gjjJ´μBh2rJ´Jg j= 1+j´(j´+ 1) + s´(s´+ 1) − l´(l´+ 1)2 j´(j´+ 1)Entonces, en presencia de un campo magnéticor rΔ E = −μ⋅Δ E = μ gBjB extjmjBextEjercicio. En la configuración 2p3s calcule el g de Landé correspondiente al estado 3 P 1 ydesdoble el sistema por la presencia de un campo magnético externo.

140Ejemplo. El desdoblamiento Zeeman para Sodio (configuración 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 ). El electrónópticamente activo puede producir transiciones desde los estados 3p al estado 3s, como semuestra en la figura:Las reglas de selección para las transiciones las podemos resumir:ΔJ= 0, ± 1 cuando Ji≠ 0 Jf≠ 0ΔJ= ± 1 cuando J = 0 ó J = 0ifΔmj= 0 , ± 1Interacción Hiper-fina.Se la denomina a la interacción entre el momento dipolar magnético nuclear con el momentodipolar magnético de la nube electrónica. Esta interacción produce el desdoblamiento de losniveles atómicos por el acoplamiento de los momentos angulares nuclear I r y orbital total J r .Debido a que los electrones tipo s tienen una probabilidad finita de ser encontrados en elvolumen nuclear, este efecto es mucho más evidente para ese tipo de electrones.El acoplamiento entre I r y J r define un momento angular total:r r rF = I + JLa energía de interacción estará dada:r rΔE= −μ⋅ BjnucC=2Dondeg jμ B⋅ BC =i( i +1)[ f ( f + 1) − i(i + 1) − j(j + 1) ]nucLos niveles caracterizados por j se desdoblan en multiplotes hiper-finos cuyos estadosestarán representados por los números cuánticos (j, i, f)El orden de magnitud del desdoblamiento es:

141m 4≈ α ( mecme 2−7p) ≅ 7.810eVEjercicio. Dibuje el diagrama de niveles del estado base del Hidrógeno considerando lainteracción hiper-fina. (¡Hágalo!)Ejemplo. El núcleo del O 17 8 tiene un spin de 5/2. Dibuje el diagrama de niveles de interacciónhiper-fina de los niveles 3 POtras correccionesAdicionalmente a la interacción spin-orbita, a la que hemos hecho responsable de laestructura fina, debemos mencionar que hay otros efectos que aportan a la susodichaestructura fina que no les consideramos en este estudio y que ya fueron mencionadas:i) Una corrección relativista dada por el movimiento del electrón, que se refleja en lamasa del mismo. Esta corrección, para el átomo de Hidrógeno, esta dada como:2 4α Z ⎛ 4n⎞E rel= − ⎜ ⎟ 64n2 ⎝ l + 1/ 2 − 3 ⎠( 13. ) eVii)El término de Darwin que aparece debido a la no-distribución espacial del electrón.Para el caso del átomo de Hidrógeno se tiene:2 4α Z 0E D= δ ⋅ 63 ln( 13. ) eVSiendo α la constante de estructura fina y δ el usual delta de Kronecker.Consulta. Desplazamiento de Lamb. Efecto relativista debido a la polarización del vacío.

142Moléculas.Podemos decir que son arreglos estables de átomos (o sistemas de núcleos y electrones)formados por la interacción de fuerzas electromagnéticas, regidas por las leyes de lamecánica cuántica.El sistema “molécula” se caracteriza por que tiene una energía menor a la que tiene losátomos componentes separados (sin interacción).Los electrones que juegan un papel importante en los enlaces son los más externos, puestoque al acercarse los átomos, son las funciones de onda de estos electrones las que varíanprovocando la interacción inter-atómica que genera los enlaces y la cual es de origenelectromagnético.Enlace iónico.Generalmente se presenta formando una molécula, cuando uno de sus átomoscomponentes tiene una gran facilidad de ceder electrones (caso de los alcalinos); mientrasque otro de sus átomos tiene gran afinidad para ganarlos (caso de los haluros), esto se debea que al completar su capa, ya sea cediendo o ganando electrones, el átomo tendrá mayorestabilidad. El electrón del átomo alcalino es transferido al haluro, quedando el alcalinocargado positivamente, y el haluro negativamente.Figura. Transferencia de un electrón. Enlace iónicoPara el caso del Cloruro de Sodio (NaCl), se necesita 5.1 eV para ionizar el Na y al dárseloal Cl se gana 3.8 eV. Se necesita entonces 1.3 eV para formar Na + y Cl - . Pero éstos seatraen coulombicamente, y la energía de atracción es mayor a 1.3 eV.Figura. Energía de enlace iónico

143Cuando los iones se encuentran aún más próximos. Sus distribuciones de carga empiezan asolaparse. Esto conlleva a dos efectos que aumentan la energía potencial (detienen eldecrecimiento de la energía potencial): a) repulsión entre núcleos atómicos; y b) Principio deexclusión.La molécula así formada de NaCl tiene las distribuciones de carga de diferente signoseparadas por lo que forma un dipolo eléctrico permanente (en ese caso se dice que lamolécula iónica es polar)Los enlaces iónicos no son direccionados puesto que cada configuración de capa cerrada esesféricamente simétrica.Forman sólidos.Enlace covalenteSi se consideran dos átomos de Hidrógeno y los queremos enlazar iónicamente,deberíamos arrancar el electrón del un átomo dejándolo H + y ponerlo al otro, dejándolo H - .Sin embargo la atracción coulómbica entre estos dos iones formados no encontrará unadistancia tal, en la que la energía del sistema sea menor que aquella de los dos átomos porseparado. Es decir, el enlace iónico no ocurre con estos dos átomos. El hecho de querealmente existe la molécula H 2 se debe a un efecto cuántico dado por el comportamiento delas funciones de onda electrónicas de los átomos, que describen la distribución de carga delsistema. La distribución de carga resultante conduce, en efecto, a una atracciónelectrostática (se lo puede interpretar como compartimiento de electrones entre ambosátomos)Orbitales moleculares.Figura. Representación de una molécula di-atómicaConsiderando el nivel base para un electrón en el átomo de Hidrógeno escribimos:3 / 2r r 1 ⎛ 1 ⎞ r r−1 / a0ψ1( −1)== ψ1π⎜⎟se⎝ a0⎠3 / 2r r 1 ⎛ 1 ⎞ r r−2 / a0ψ2( −2) == ψ2π⎜⎟se⎝ a0⎠

144que representan los orbitales atómicos, cada uno normalizado:22∫ ψ1dV = ∫ ψ2dV = 1Pero no son ortogonales entre sí,∫*= ψ dVS12 1ψ2Se definen los orbitales moleculares como una superposición de los orbitales atómicos:ϕm1mψ1c2mψ2= c +dondecmc2m1, son constantes desconocidas,Si se desprecia el movimiento de los protones (aproximación de Born-Openheimer) y seconsidera tan solo un electrón (o los electrones sin interacción, en tal caso se desacopla elproblema y cada electrón tiene la misma ecuación), el Hamiltoniano del sistema estará dadopor:2h 2 − e − eH = − ∇ + r r + r r2m−−12Así, el problema a resolver es:Hϕ =mE mϕm( H − ) ϕ = 0E m( H − E )( c + c ψ ) 0mmmψm1 1 2 2=Multiplicando individualmente por los conjugados al lado izquierdo e integrando,donde( Ea− Em) ⋅ c1m+ ( H12− S12Em) ⋅ c2m= 0( H − S E ) ⋅ c + ( E − E ) ⋅ c = 01212m1m=∫∫ 1 1ψ2 2**ψ H ψ dV ψ H dV =am2mE a*∫ ψ1Hψ2dV=∫*H12 ≡ψ2Hψ1dVPara que haya una solución no trivial, el determinante debe ser cero.

145( Ea− Em) ( H12− S12Em)( H − S E ) ( E − E )1212mam= 0dando dos soluciones para E m y ϕ m :ϕ =1E1Ea+ H=1+S1212ψ1ψ2+2(1+ S12) 2(1 + S12)ϕ =2E2Ea− H=1−S1212ψ1ψ2−2(1− S12) 2(1 − S12)Los orbitales moleculares se grafican a continuación y se observa que la primera soluciónrepresenta una función par con relación al eje central del sistema; mientras que la segundauna solución impar:Figura. Orbitales moleculares de enlace y anti-enlaceDado que para la solución impar, el electrón evita la región central puesto que la densidadde probabilidad decrece en esa zona, la densidad de probabilidad en las regiones externas alos núcleos será mayor donde el potencial es menos ligante y el electrón estará en realidadmenos ligado. Para el caso de la función de onda par, el electrón tiene alta probabilidad dehallarse en la zona central, se encuentra más ligado.La suma de la energía del electrón con la repulsión de Coulomb para los estados más bajosde energía de H + 2 se muestra en la figura:

146Figura. Energía de enlace covalenteSi se agrega un electrón más para formar la molécula H 2 , la energía del sistema disminuyemás. La energía de enlace es 4.7 eV y el radio óptimo de separación también disminuye. Elsegundo electrón se coloca en un estado cuántico cuya función propia tiene las mismaspropiedades espaciales de la función de onda del primer electrón (estado de energía másbajo, función par). Así, la densidad de probabilidad electrónica muestra un pico en la regiónentre los núcleos. El principio de exclusión demanda que el acople de spin sea singlete. Loselectrones compartidos causantes del enlace covalente son anti-paralelos.No más de dos electrones forman un enlace covalente, se dice que un electrón de un átomose apareja con otro electrón anti-paralelo del otro átomo.Si el átomo tiene varios electrones en la sub-capa exterior, cada uno trata de formar unenlace covalente con un electrón de valencia del átomo vecino.Si un átomo tiene dos electrones de valencia anti-paralelos, un electrón de valenciaadicional no podrá enlazarse.Nitrógeno: 2p 3Oxígeno: 2p 4El enlace covalente se satura al igual que el iónico. Un átomo dado solo interactúa con unnúmero limitado de otros átomos.

147A diferencia del enlace iónico, el enlace covalente es direccional. No en el caso de H 2 puestoque los electrones son tipo s (esféricamente simétricos). En el caso general, la densidad deprobabilidad de un electrón de valencia tiene su propia dependencia direccional. Laspropiedades direccionales de los enlaces covalentes se manifiestan en las propiedadesestructurales de las moléculas covalentemente ligadas.La distribución de carga de los electrones de enlace tiene simetría respecto al centro de lamolécula.Espectros molecularesLos sistemas ligados (moléculas) tienen una estructura discreta de niveles (es decirpermanecen ligadas en el estado base o en un estado excitado (de menor energía que la deseparación).Por otra parte los átomos que componen las moléculas pueden moverse entre sí. Por tanto,pueden vibrar respecto de la posición de equilibrio o rotar respecto de su centro de masa o aalguno de sus ejes. Tanto el movimiento vibracional como el rotacional producen unadistribución de niveles de energía discreta contenidas dentro de la estructura de los niveleselectrónicos.La vibración de una molécula di-atómica la podemos analizar considerando los modosnormales de vibración del sistema, cada uno de los cuales lo consideramos como unoscilador armónico. Los niveles energéticos estarán dados por:E n⎛ 1 ⎞= ⎜n + ⎟ ⋅ hω0⎝ 2 ⎠Así para la molécula ClNa h ω0tiene un valor 0.04 eV. Ciertamente al ir aumentando laenergía de excitación el potencial es inarmónico y los niveles ya no están igualmenteseparados. Si las moléculas tienen dipolos eléctricos permanentes a la separación deequilibrio presentaran espectros vibracionales de emisión y absorción debido a lasoscilaciones del momento dipolar eléctrico. La regla de selección para transiciones deldipolo es: Δn = ± 1 (líneas espectrales en el IR 8000 Å - 50000 Å). Las moléculas diatómicascon núcleos idénticos no presentan espectros vibracionales.En una transición vibracional la molécula puede cambiar su estado rotacional.Para la rotación molecular se tiene que la energía de los niveles rotacionales está dado por:2LEl=2Il(l + 1) h=2I2

148donde I representa el momento de inercia de la molécula.2hLa separación entre niveles rotacionales es del orden de Ique tiene un valor aproximadode 10 -4 eV. Si las moléculas poseen un momento dipolar eléctrico, se pueden observarespectros rotacionales de emisión y absorción. Las transiciones permitidas están dadas porla regla de selección: Δl = ± 1Las moléculas di-atómicas con núcleos idénticos no presentan espectros rotacionales.Si el estado electrónico no cambia, las reglas de selección en este caso son: Δl = 0 , ± 1;Δn = ±1 (para oscilador armónico) son permitidas transiciones con Δn = 2,3,...(parapotenciales anarmónicos).Si existe un cambio en el nivel electrónico, las reglas de selección quedan determinadas porel principio de Franck-Condon.Figura. Niveles electrónicos, vibracionales y rotacionalesLas diferentes transiciones llevan a la generación de espectros moleculares muycaracterísticos que muestran ramas roto-vibracionales. El espectro del O 2 se presenta en lasiguiente figura:

149Figura. Espectro de absorción del Oxigeno en el IR cercanoDispersión RamanEn 1928 se observó que el espectro de difusión de luz que se obtenía al hacerla pasar porun medio (gaseoso, líquido o sólido transparente) consistía de una serie de líneas defrecuencia mayores y menores a aquella de la luz incidente, que resultaron ser unacombinación de la frecuencia de luz incidente y aquellas correspondientes a las detransiciones vibro-rotatorias de las moléculas difusoras.ω = ω e± ω iA temperaturas habituales las líneas satélites de mayor frecuencia tienen menor intensidadde aquellas de menor frecuencia, sin embargo al incrementarse la temperatura, suintensidad crece rápidamente.Según la teoría cuántica el proceso de dispersión de luz puede ser considerado como unchoque no elástico de los fotones con la molécula. Al chocar con la molécula el fotón puededarle o quitarle una porción de energía igual a la diferencia de energía de dos de susniveles. Si el fotón le quita energía, el fotón saliente (anti-Stokes) tendrá una frecuenciamayor. Si, por el contrario, le da energía, el fotón emitido (Stokes) será de menor frecuencia.Note que puesto que la dispersión anti-Stokes requiere que la molécula, al momento de lacolisión con el fotón, se encuentre en un estado excitado vibracional o rotacional, laradiación Stokes es más intensa que la anti-Stokes. Aunque en general las dos son muypequeñas con relación a la elástica.En teoría clásica, los osciladores cargados que constituyen la materia realizan oscilacionesforzadas no resonantes cuando se les somete a fuerzas periódicas de frecuencias diferentesa la del sistema. Estas oscilaciones son pequeñas comparadas con aquellas sometidas afuerzas con frecuencias cercanas a la de resonancia.Cuando el campo electromagnético sinusoidal actúa sobre una molécula en una frecuenciadiferente a todas las posibles transiciones permitidas en dicha molécula, las cargas que laconstituyen efectúan oscilaciones forzadas en la frecuencia del campo. El momento dipolareléctrico es proporcional al campo eléctrico

150rD= α ⋅rEdonde α es un parámetro propio de la molécula llamado polarizabilidad.Para una molécula di-atómica, desarrollando la polarizabilidad en serie de potenciasalrededor de la posición de equilibrio,⎛ ∂α⎞α ( r)= α(r0) + ⎜ ⎟ r0⎝ ∂r⎠r0( r − ) + ...Como los núcleos están vibrandoy considerando( − r ) = Δr)cos( ω t + )r0(0 eϕr rE = E0cosωtEl momento dipolar forzado de la molécula será:r rr ⎛ ∂α⎞D = E0α( r0)cosωt + E0⎜ ⎟ ( Δr)0eet⎝ ∂r⎠r0{ cos[ ( ω + ω)t + ϕ] + cos[ ( ω − ω)−ϕ]}La suma de tres contribuciones. El primero representa una oscilación con frecuencia igual ala del campo de excitación (dispersión Rayleigh). La segunda emite radiación con frecuenciamayor (línea anti-Stokes) y la tercera con menor frecuencia (línea Stokes). A estas dosúltimas se le conoce como “dispersión Raman”.LáseresSi un campo de radiación con energía por unidad de volumen ρ (ν ) puede generartransiciones entre dos niveles i y j, la tasa de transición del nivel inicial al final es igual a latasa de transición desde el nivel final al inicial más un término independiente de ρ(ν) que dala tasa de decaimiento espontáneo:ρ ( ν ) N B = ρ(ν ) N B + NiijjjijAjiEl término de la izquierda representa la absorción de la radiación del sistema en su estado i;el primer término del lado derecho, término introducido por Einstein, representa la emisióninducida del estado j al i; mientras que el segundo término del lado derecho, representa laemisión espontánea de dicha transición.

151La probabilidad de que el sistema pase del estado inicial al final es igual a que pase delestado final al inicial3Bij= Bji; mientras que AjiB3 jifundamental entre la emisión espontánea y la estimulada.8πh= ν , la cual representa la relacióncFigura. Esquema de un láser de tres nivelesExisten varios métodos de bombeo, denominados así por el hecho de llevar al sistemadesde un estado de menor energía a otro de mayor energía, entre ellos el más usado es elbombeo óptico. El bombeo óptico genera lo que conocemos como la inversión de poblaciónen el sistema mediante la incidencia de luz de excitación. Por ejemplo, la luz de una lámparade mercurio, en uno de los focos de una cavidad resonante en forma de elipse, es utilizadapara la excitación de niveles en un láser Nd-YAG (iones de Nd +3 ). Este tipo de bombeo seusa también para obtener la inversión de población en los láseres de Rubí (iones de Cr +3 ),con una lámpara de Xenón.Entre otros procedimientos para lograr la inversión de población están: a) El bombeo porcolisiones en el interior de mezclas gaseosas; b) La excitación por disociación de moléculasen el seno de una descarga; c) la foto-desintegración; d) La excitación vibracional en lasreacciones químicas; e) El bombeo por el paso de corriente en un diodo.

152Aplicaciones básicasMetales (gas de electrones libre)Una red cristalina es un arreglo periódico de átomos (o moléculas) ligados entre sí pormedio de algún tipo de enlace (generalmente iónico o covalente). Existen 14 tipos deestructuras cristalinas donde la base (átomos o moléculas) de dichos cristales observan unmedio circundante igual, se las denomina redes de Bravais. Para el caso de un metal, seconsidera que sus electrones de valencia son casi libres. Por tanto se lo modela como ungas de electrones libres. Con un número de electrones del orden del número de átomos en23la muestra, es decir, del orden del número de Avogadro: NatA= 6.02310 x .Si se considera un sistema de N electrones libres (no interaccionan con los átomos de la redni entre ellos) la ecuación de Schrödinger del sistema se reduce a N ecuaciones deSchrödinger para una sola partícula libre. Estas soluciones las utilizamos para todas lasdemás partículas del sistema.molFigura. Relación entre la energía y el vector de onda2h 2− ∇ ψ = Eψ2mψ =Ae−ik⋅rrh k =rp2 2mEk =2h2 2h kE =2mLa condición de normalización es:∗∗∗ 3∫ψψdV = AA ∫ dV = A AL =1A =L321y además ψ → condiciones periódicas de borde.

153ψψψ( 0, y,z) = ψ ( L,y,z)( x,0,z) = ψ ( x,L,z)( x,y,0) = ψ ( x,y,L)⇒kkkxyz2π= nL2π= nL2π= nLxyznnnxyz∈ Ζ∈ Ζ∈ Ζ2π2 2 2 21 −i( n1x+ n2y+n3z)h k hL⎛ 2π⎞ 2 2 2ψ = eE = = ⎜ ⎟ ( n + n )L32n 1 n 2 n 31 2+ n32m2m⎝ L ⎠El estado del electrón de conducción se define por el valor del vector de ondark = k , k , k , es decir, por tres números cuánticos. Sin embargo hay que introducir( )xyzadicionalmente el número cuántico spin. Así ( n n n )del electrón. Note que ( n )1 2n31 2 3m s→ describen un estado cuánticon definen la energía del electrón en ese estado.2 2 21+ n2n3n = n +Un estado en un cubo unidad2h ⎛ 2π⎞E = ⎜ ⎟2m⎝ L ⎠22( n )4 3 8El número de estados con energía menor o igual a E es: νE= 2 ⋅ π n = π n3 3El factor dos se debe a los dos posibles estados de spin de los electrones. Cambiando a E3νE328 ⎛ 2m⎞= π ⎜2⎟3 ⎝ h ⎠3⎛ L ⎞⎜ ⎟ E⎝ 2π⎠328νE= πV3( 2m)( 2πh)323E32El número de estados cuánticos electrónicos con energía entre E y E+dE se lo obtienediferenciando esta expresión:

154La densidad de estados 24 es:la cual se muestra en la figura.dνE= g(E)dE( 2m)( 2πh)32dνEg( E)= = 4πV E3dE12Figura. Densidad de estados de electrones no relativistasDistribución de FermiLos electrones son partículas de spin 1/2 (pertenece a la familia de los Fermiones) que secaracterizan porque "satisfacen el principio de exclusión de Pauli 25 ".o0A T = K los electrones ocupan los estados cuánticos desde aquellos de menor energía,cumpliendo estrictamente el principio de exclusión (gas completamente degenerado), hastael nivel en el cual se agotan el número de electrones. A este nivel se lo conoce con elnombre de “el nivel de Fermi”.La ocupación o (probabilidad de ocupación) ase muestra en la figura.To0= K está dada por la función f ( ) que0E24 Una forma rápida para determinar el número de estados de una partícula con cantidad de movimiento entre p y2V 4πpdpp+dp, es mediante la relación: dν E= γdonde γ es la multiplicidad de spin de la partícula y V3hel volumen espacial.25 Un estado cuántico no puede ser ocupado por más de un fermión.

155El número de electrones con energía entre E y E+dE será:N E)dE = f ( E)g(E)dE(0y el número de electrones en el gas completamente degenerado es:∞∫0( E) f ( E)nV = godEIntegrando esta ecuación se obtiene:E2h0) =2m2( 3πn ) 2 / 3F(eEjercicio. Determinar la energía de Fermi a 0 ºK para Na, Ag. Asocie a estos valorestemperaturas (temperatura de Fermi) y compare con la temperaturas de fusión de dichosmetales.Deducción simplificada de la función de Fermi-Dirac.Choque inelástico del gas electrónico con una impureza que puede encontrarse en dosestados 0 y ε .De la gran cantidad de choque se examina aquel donde el electrón pasa del estado K r conE al K r ´ con E + ε , mientras la impureza va de ε a 0.r rK E → K´E + ε . Esto será proporcional a:Sea P KK' la probabilidad de dicho proceso ( ) ( )• La probabilidad f(E) de que el estado K r ( E)este ocupado por un e - .r• La probabilidad de que [ 1 − f ( E + ε )]de que el estado K´ ( E + ε )• La probabilidad p ( ε ) de que la impureza se encuentra en el estado de energía ε .note que:Pk( E) [ f ( E ε )] p( ε )k≈ f 1− +'Pk ' k( E + )[ 1−f ( E)] p( 0)≈ f εeste desocupado.Considerando que existe equilibrio es decir que el número de transiciones de K r a K r´igual al número de transiciones de K r ´ a K r .f( E) [ 1−f ( E + ε )] p( ε ) = f ( E + ε )[ 1−f ( E)] p( 0)esf1−( E + ε )f ( E + ε )1−⋅ff ( E)( E)=pp( ε )( 0)=e−εkT

156Donde se ha considerado que la probabilidad de localizarse la impureza en los estados ceroy ε esta regida por la distribución de Boltzmann.La ecuación se cumple para cualquier T y ocurrirá solo si:f ( E)( E)1−fdonde μ es el potencial químico. Note que,=e( E−μ)E+f ( E + ε ) −= e1−f ( E + ε )resolviendo la primera ecuación para f ( E)se tiene:( E) =[ ]→E−kBTe + 1kBT[( ε ) −μ]kBT1f distribución de Fermi-DiracμFigura. Función de distribución de Fermi-DiracPara el caso de un gas de electrones libre el potencial químico es definido como la energíade Fermi.Si n → es el número de electrones libres por volumen, entonces nV → es el número deelectrones en el metal.4πV∞∫0( E) g( E) dE nVf =3 ∞12( 2m)2 E[ ]dE = nV3 E EF( ) ∫ −2πh0kBTe + 1Resolviendo la integral 26 y considerandok T

157Ejercicio. Encontrar la energía media del gas de Fermi a T = 0 ºK. y a T ≠ 0 °K.Ejercicio. Determina la capacidad calorífica del gas de electrones libres.dEC V=dTEfectos Termo-eléctricos1) Conductor no homogéneo a temperatura uniforme (Efecto Volta)Sus niveles de Fermi tienden a igualarse para alcanzar el equilibrio.E > E 1 pasan los electrones de 2 a 1. Lo que motiva la existencia de un campo2FSi ( ) ( )Feléctrico y una corriente que tiende a eliminar el campo cuando se iguala las corrientes deconducción y difusión y se crea un potencial estacionario.e( V 2− V 1) = EF( T ) 2− EF( T ) 1( V −V) = [ E ( T ) − E ( T ) ] = [ E ( 0) − E ( 0)]211eF2F11eF2F12π kB−12e2T2⎡⎢⎣ EF10−10⎤( ) ( ) ⎥ 2EF1 ⎦2) Conductor homogéneo a temperatura no uniforme. (Efecto Thomson)Los electrones más energéticos viajarán a la zona de menor T generándose una diferenciade potencial.− eEn condición estacionaria se tiene:( V −V) = E ( T ) − E ( )( V −V)22 1 F 2 FT112π k=12eEBF2( ) ( )2 2T − T02 13) Efecto simultáneo de los dos anteriores. (Efecto Seebeck)Figura. Termocupla. Efecto Seeback o termo-eléctrico

1582 2π kB⎡ 1 1 ⎤2 2Ejercicio. Demuestre que: V −V=− ( T − T )616e⎢⎣ EF(0)1EF(0)2⎥⎦ab4) Efecto Peltier: flujo de corriente por la juntura de dos metales o semiconductoresproducen un desprendimiento u absorción de calor. (Consulte sobre este efecto)Gas de BosonesLas partículas que tienen spin entero son llamadas “bosones” y no satisfacen el principio deexclusión de Pauli. Varias partículas (sin restricción en su número) pueden ocupar un mismoestado cuántico. Estas partículas siguen otro tipo de estadística llamada estadística deBose-Einstein, y cuya función de distribución (o de ocupación) es:1( E) =[ E−]ef μkBTPara el caso de que el número de bosones no permanezca constante en el sistema, lafunción de distribución viene a ser:f( E)A la que le llamamos distribución de Planck.=eEk1BT−1−1Ejercicio. Encuentre la energía media de un Gas de fotones y de un gas de fonones(vibraciones en redes cristalinas en la aproximación de Debye 27 ). Encuentre además, paraeste último caso, la capacidad calorífica del gas.Limite de alta temperatura y baja concentraciónTanto la distribución de Fermi-Dirac como la de Bose-Einstein, tienden a:f2N ⎛ h ⎞2V⎜ 2 mkBT⎟⎝ π ⎠3 / 2μ / k TB −E/ kBT−E/ kBT( E) = e e = ⎜ ⎟ eEl número de partículas con energía entre E y E+dE se lo obtiene multiplicando por ladensidad de estados.Ejercicio. Determine el número de electrones con energía entre E y E+dE para estadistribución. Utilizando las propiedades de las funciones gamma (consulte), determine laenergía media del gas de partículas y su capacidad calorífica.27 El número total de estados es 3N (el número de oscilaciones normales).

159Electrones en potenciales periódicosComo se mencionó anteriormente, los cristales están formados por celdas cristalinasidénticas. Los átomos están ubicados en posiciones periódicas que definen esta celda.r r rEl conjunto de vectores a, b,c que define todos los puntos de la red mediante la relaciónr r r rR = n1 a + n2b+ n3csiendo n1 , n2, n3enteros, se los llama vectores generadores y unparalelepípedo formado por ellos y que su traslación genera todo el cristal, una celdaunitaria. La celda unitaria de menor volumen se la conoce como celda primitiva. Se puededemostrar que existen 14 formas de acomodar los puntos en las redes cristalinas de talmodo que todos los puntos de dichas redes tengan el mismo medio circundante. Las 14redes (llamadas de Bravais) se asocian en 7 sistemas cristalinos: cúbico, hexagonal,tetragonal, trigonal, ortorrómbico, monoclínico y triclínico.Un electrón en un cristal puede modelarse como una partícula en un potencial periódico,cada celda del cristal será equivalente para el electrón.Teorema de BlochSi se considera al sistema cuántico como una partícula en presencia de un potencialperiódico, entonces la ecuación de Schrödinger será:Vrrr( r ) = V ( r + R)→2h 2− ∇ ψ + V2m() r ψ = Eψperiódico en el parámetro de la red R r ,entonces, la función de onda tendrá la forma de ondas planas moduladas, es decir:rrr−ik⋅rr r rψk( ) = e μk( ) → por μky μk( ) = μk( + R).Note que en este caso:ψ ∗ψ → es la misma en cada celda unitaria.Lo que indica que la densidad de probabilidad de encontrar al electrón es la misma paracada una de las celdas unitaria.El buen comportamiento de la función de onda y el hecho de que el valor de k sea real,genera una estructura de bandas para los niveles energéticos electrónicos permitidos, asípor ejemplo, la siguiente figura representa una ecuación trascendental donde los valorespermitidos de k(E) son aquellos en donde la curva graficada solo toma valores entre -1 y +1.

160Figura. Estructura de bandas de los niveles energéticos electrónicos en una red cristalina.Ejercicio. Estudie el modelo de Kroning-Penney.La estructura de bandas de energía permite explicar la existencia de metales (banda devalencia incompleta o solapamiento de bandas), dieléctricos (banda prohibida grande, esdecir, varios eV) y semiconductores (banda prohibida menor a 1 eV)La energía del movimiento térmico ( ~ k BT ) lleva a los electrones a niveles más altos, loselectrones tendrán gran movilidad (en el caso de metal o semiconductor a alta T).Figura. Teoría de bandas. Materiales de acuerdo con sus propiedades eléctricasDinámica de los electrones en la red cristalinaEl comportamiento ondulatorio de un electrón en un cristal indicaΔkΔx≥ 1Δx≥ 1Δk

161Decimos que el electrón estará representado por un paquete de onda y su velocidad será:υgd 1 dE= ω =dk h dkSi sobre el electrón, dentro del cristal, actúa una fuerza externa (digamos, debida a lapresencia de un campo eléctrico r ε ). En este caso, sobre el electrón actuará además de lasfuerzas cristalinas (creadas por el campo de red), esta fuerza externa de tipo - er ε . Duranteel tiempo dt esta fuerza realizará un trabajo.dW = FυdtgdW=FhdEdkdtEste trabajo incrementa la energía del electrón en el cristal.dW = dEdEdkdEdE =dkFdk =hdk =dtdkdEdkFhdtDiferenciando la velocidad de grupo respecto al tiempo.υdtd g21 d ⎛ dE ⎞ 1 d E dk⎜ ⎟ =2h dt ⎝ dk ⎠ h dk dt21 d E F= ⋅h dk h= 2⎛⎜F = ⎜⎜ d⎝22hEdk2⎞⎟ d⎟⎟ dt⎠υ gFυ gd∗= m donde:dtm∗=d22hEdk2toma el nombre de masa efectiva.

162Ejercicio. Demuestre que la masa efectivade la masa del electrón.∗m para el electrón libre coincide con el valor realNote los valores de m ∗ en A, B, C. En el punto A la relación de dispersión es parecida a la delos electrones libres por lo tanto, la masa efectiva de los electrones es positiva. En el puntoB la masa efectiva tenderá a un valor infinito, puesto que al ser un punto de inflexión lasegunda derivada es cero. Esto quiere decir que la inercia de estos electrones en el materialserá muy grande por lo que no serán afectados de ningún modo por la presencia de unafuerza externa. En el punto C, la segunda derivada es negativa, por lo que la masa efectivaes negativa. Esto indicará que el electrón responderá a la fuerza externa con movimiento enla dirección opuesta.Conductividad eléctricaEl cálculo mecánico cuántico correspondiente a una red cristalina ideal muestra que loselectrones de conducción (caso de metal) no tendrán ninguna resistencia en su movimientoy uno esperaría superconductividad. Sin embargo la red no es perfecta y posee defectos,impurezas, dislocaciones etc. y también la red sufrirá vibraciones térmicas. Estos son losorígenes de la resistencia eléctrica.La resistividad de los metales se la puede escribir como:ρ = ρ V+ ρ imρV→ resistividad debida a vibraciones térmicas (depende de T)ρim→ resistividad debida a impurezas (no depende de T)Si se tiene n electrones por unidad de volumen, se define la velocidad de deriva de losmismos cómo:r 1υDn∑rυ=iEn ausencia de campo eléctrico externo, ésta es cero. Si se aplica un campo eléctricoexterno r ε , su ecuación de movimiento será:r* dυDr rm = −eε− γυDdtDonde se ha considerado un término de rozamiento debido a la resistencia eléctrica.Si en un tiempo referencial t=0 se desconecta el campo externo, la ecuación quedar* dυDrm = −γυDdtcuya solución es:

163−t/ τυD( t)= υD(0) ⋅ e con τ =γla velocidad de deriva decaerá hasta hacerse cero, con un tiempo de relajación τ (tambiénconocido como tiempo medio entre colisiones 28 ).El valor estacionario de la velocidad de deriva se la puede encontrar de:r r0 = − eε− γυ Dv eτvυD= − ε*mrLa densidad de corriente será: J ner = υDr 2ne τ rDe donde se obtiene: J = ε es decir,*mrJ = σ ⋅r ε (Ecuación que representa la ley de Ohm)*msiendo σ la conductividad eléctrica., que está dada por:σ =2ne τm*El inverso de la conductividad eléctrica se define como la resistividad.La movilidad de los portadores de carga se suele definir como la razón entre la velocidad dederiva y el módulo del campo eléctrico aplicado,υdμ = =εeτ*mSemiconductoresGeneralmente son redes cristalinas de átomos de Silicio o Germanio (o compuestos: Ga-As,Al-Sb, In-Sb, etc.). Se caracteriza por una banda de valencia llena y una de conducciónvacía, separadas por una banda prohibida de menos de 1 eV. Se los puede clasificar comointrínsecos y extrínsecos.Intrínsecos.No contienen muchas impurezas (químicamente puro). La banda de valencia estátotalmente ocupada y la banda prohibida es pequeña (menor a 1 eV). La conductividadcrece al incrementarse con T (en los metales disminuye σ ∝ 1/ T ).oKA T= 0 → el semiconductor se comporta como dieléctrico.28 El tiempo medio entre colisiones se lo puede estimar mediante: l = υ ⋅τsi se conoce el camino libre mediol y la velocidad media de las partículas en el gas. En metales, la velocidad media se la toma como la develocidad de Fermi.

164Figura. Semiconductor intrínsecoA temperatura diferente de cero, debido a la excitación térmica, los electrones en los nivelessuperiores de la banda de valencia pasan a los niveles bajos de la banda de conducción,dejando un nivel vacante en la de valencia. La ausencia de carga –e y masa∗m negativa es∗equivalente a la presencia de una partícula de carga +e y masa m positiva.En la banda de valencia llena se tiene que r υ = 0 , si saca de la sumatoria la velocidad∑i≠kk∑ir rdel k-ésimo electrón, υ i+ υ = 0 y por tantouna corriente igual a: ( )(k)kir r−υ k= υ i. Todos los electrones crean∑i≠kr r− e −υ= eυlos niveles vacantes se forman en el techo de la zona∗de valencia. En esta región m es negativo para el electrón. Lo que equivale a la corrientede una carga positiva y masa efectiva positiva, como ya se mencionó anteriormente.En el caso de los semiconductores intrínsecos las concentraciones de portadores de carganegativos y positivos son iguales,ne= nh⎡2π= 2 ⎢⎢⎣La energía de Fermi esta dada como:2* *( m m ) 1/ 2k T ⎤3 /E / 2kTehh2B⎥⎥⎦e−ΔBEF=123ΔE+ k4BmT lnm∗n∗eSiendo ΔΕ el ancho de la banda prohibida.El segundo término de la expresión es pequeño, por lo que en la banda de conducción,−ΔE/ 2kBTE − EF ≈ ΔE / 2 , de tal manera que en la cola de la curva se tiene que f ( E)≈ e .Figura. Semiconductor intrínseco

165Tanto los electrones como los huecos son portadores de carga, y puesto que laconductividad es igual al número de portadores de carga se tiene que la conductividadtendrá la misma dependencia, es decir:σ = σ ⋅ e0−ΔE/ 2kBTCon una dependencia de la conductividad en la temperatura de la forma:lnσ∝ 1/TConsulta. 1) Detectores semiconductores de Ge-HP para radiación γ y X.Extrínsecos.Los semiconductores extrínsecos están dopados con impurezas (concentraciones del ordende 10 13 -10 19 impurezas por cm 3 ).Se les llama “tipo n” cuando las impurezas son pentavalentes (ejemplo: fósforo P). En estecaso incrementamos el número de portadores negativos. Se introducen estados de energíaen la banda prohibida (estados donores) cerca de la banda de conducción donde también seencuentra el nivel de Fermi.Se les llama “tipo p” cuando las impurezas son trivalentes (ejemplo: Litio Li). En este caso seincrementa el número de portadores positivos. Se introducen estados de energía en labanda prohibida (estados aceptores) cerca de la banda de valencia donde también seencuentra el nivel de Fermi.Figura. Semiconductores tipo n y p y nivel de Fermi.Al aumentar la temperatura la energía de Fermi E F tiende hacia el centro de la bandaprohibida en ambos tipos de semiconductores.

166Los electrones y los huecos en los semiconductores se comportan como partículas clásicas,sus concentraciones en las correspondientes bandas es pequeña. El ancho de la bandaprohibida es más grande que la térmica, por tanto la distribución de Fermi se la aproxima porla de Boltzmann. La concentración de electrones 29 en la banda de conducción es:nC e−ξ / kBTe=econLa concentración de huecos en la banda de valencia es:Ce*2 ⎛ m ⎞ekBT= ⎜ ⎟3h2⎝ π ⎠3 / 2nhCe−η / kBT=hconCh*2 ⎛ m ⎞hkBT= ⎜ ⎟3h2⎝ π ⎠3 / 2El valorη − ξ =nhkBTlnne3− k2BmT ⋅ lnm*h*eNote que para el caso de semiconductores intrínsecos las masas efectivas de los electronesy huecos no difieren mucho entre si, por tanto, se puede considerar:ξ = ηPor lo quen neh= CnCh⋅ e−ΔE/ kBTEsta relación muestra que la concentración de electrones y huecos no depende de laposición del nivel de Fermi, es decir, de la cantidad de impurezas en el semiconductor, ypara el caso intrínsecone= nh= n =CnCh⋅ e−ΔE/ 2kbTConductividad eléctrica de los semiconductores.Haciendo referencia a lo estudiado en la página 160, la conductividad eléctrica de lossemiconductores queda definida por la concentración de los portadores de carga y sumovilidad:σe⎛ neτe⎜*⎝ men ⎞hτh+ ⎟mh ⎠2=*En los intrínsecos las aportaciones a la conductividad eléctrica son comparables. En losextrínsecos tipo n los portadores mayoritarios son los electrones y en los tipo p los huecos.29 Se la calcula mediante la relación: neV= ∫ dNe( E)⋅ e−(ξ + E)/ kBT

167En los semiconductores intrínsecos, al incrementarse la temperatura el tiempo de relajacióndisminuye mientras que la concentración de portadores crece exponencialmente,observándose un incremento neto de la conductividad con la temperatura. En lossemiconductores extrínsecos la conductividad depende de un modo más complejo con ladensidad de portadores 30 como se muestra en la figura:Figura. Conducción eléctrica de los semiconductores extrínsecosJuntura n-pAl poner dos semiconductores tipo n y p en contacto se produce una difusión de electronesdel tipo n al tipo p y de huecos del tipo p al tipo n. Esto conduce a que en la interfaseaparezca una diferencia de potencial a la cual se la llama barrera de contacto que conduceal equilibrio.Figura. Unión n-pAún después de que se establece el equilibrio, existe un flujo de electrones en ambasdirecciones: la excitación térmica puede ocasionar el salto de un electrón de la banda devalencia a la de conducción del semiconductor p, el cual emigrará hacia la unión y seráacelerado hacia el semiconductor n (corriente térmica); un electrón en la banda deconducción del material n podría ganar un poco de energía en una fluctuación y ser capazde moverse hacia p donde se puede combinar con uno de los muchos agujeros de estaregión (corriente de recombinación). Estas corrientes se eliminan pues la corriente neta através de la unión es nula.La concentración de electrones en los dos lados de la unión es:nen= C e−ξn/ kBTenep= C−ξ p / kBTee30 La segunda derivada de la conductividad respecto de la densidad de electrones es positiva, por lo que ladependencia presenta un mínimo.

168Los electrones que llegan a la unión desde p, la pasan sin obstáculo, ya que el campoeléctrico contribuye a su movimiento. Lo mismo sucede con los huecos que se aproximan ala unión desde n. De modo que la unión es atravesada por los portadores minoritarios (decada semiconductor) sin ningún obstáculo. Se la conoce como corriente de deriva I s . El flujode electrones que llega a la unión desde p es:n epυ υ −ξp kBT= Cee/44Los electrones son los potadores mayoritarios en n, el flujo de estos en la unión será:n en4υ. No todos podrán superar la barrera de potencial que crea la diferencia de potencialde contacto. La fracción de electrones que superan esta barrera, de acuerdo con Boltzmann,será:e−( ξ n −ξp ) / k B T. Así el flujo de electrones que pasan de n a p es:n enυ −(ξn−ξp ) / kBTυ−ξk T ( n p ) kBTn / − ξ −ξBe = Ceee/44Se la llama corriente de difusión I g y coincide, en valor, con la expresión anterior. Un análisissimilar se puede realizar con los huecos. Se concluye entonces que la situación es deequilibrio dinámico.Si se conecta una diferencia de potencial externa en los bordes de los semiconductores(recibe el nombre de diodo)Figura. Conexión en polaridad directa e inversa de un diodo semiconductorNote que en los diagramas de energía, la energía potencial de los electrones crece de abajohacia arriba; mientras que el potencial eléctrico de arriba hacia abajo.Para el caso de los portadores minoritarios (electrones en p y huecos en n), cuando loselectrones se acercan a la unión desde p, la situación nada cambia, la pasan sin obstáculo.Llamemos a esta corriente I np . Los portadores mayoritarios, los electrones en n, al acercarse

169a la unión verán que la barrera de potencial (disminuyó o aumentó). Si antes su magnitudera:ξ − ξ ahora será: ξ − ξ −V, así que la corriente de difusión varía en un factorpexponencialnderiva, podemos escribir:pneV kBTe / . Puesto que en ausencia de potencial ésta corriente es igual a la deIn= Inp( eeV / kBTUna expresión análoga se satisface para los huecos,−1)Ip= Ipn( eeV / kBT−1)Sumando ambas contribuciones y considerandoI = I np+ I0 pnse tiene,I/ k T=0( e eV BI −1)Cuando la tensión externa es positiva el exponencial crece rápidamente. Se facilita lascondiciones de paso de los portadores de carga mayoritarios. Para tensión inversa, el pasomayoritario de los portadores a través de la unión se dificulta, tendiendo en el límite, a lacorriente de los portadores minoritarios.Figura. Corriente-voltaje de la juntura n-pLa característica fundamental de diodo es entonces la de rectificar un voltaje variable.Los dispositivos de juntura semiconductora tienen múltiples aplicaciones, así se tiene:a) El diodo túnel, donde las regiones semiconductoras n y p están fuertementedopadas, lo que reduce el ancho de la región de agotamiento (unión) y genera unacontribución adicional a la corriente por efecto túnel de electrones de la banda deconducción del semiconductor n a la banda de valencia del p, para voltajes directospequeños. Lo que genera un pico en la curva corriente voltaje (ver página 85).b) Los diodos emisores de luz (LED) que han tenido un avance extraordinario(actualmente se cuenta con LEDs con emisión hasta la región UV media). Lastransiciones de los electrones de conducción a la banda de valencia y la posteriorrecombinación con los huecos generan la emisión de luz.c) Los diodos láser que de igual manera han alcanzado longitudes de onda en la regiónvioleta. Una alta corriente genera la inversión de población requisito para que elsistema lasée.

170d) Los fotodiodos, en los cuales la incidencia y absorción de luz genera la transición deun electrón de la banda de valencia a la de conducción, y con ello, la generación deuna corriente eléctrica.TransistorSe llama transistor a los dispositivos que tienen más de una juntura n-p. Considere el casode un transistor p-n-p con base común, como se muestra en la figura.Figura. Esquema de un transistor p-n-pA la parte izquierda se la conecta una tensión directa (emisor); mientras que a la derechauna tensión inversa (colector). La parte central (semiconductor tipo n) toma el nombre debase. Si se conecta la tensión E 1 en la unión emisor-colector comienza a fluir una ciertacorriente. Los huecos inyectados a la base aumentan significantemente los portadoresminoritarios en la base. Para estos, la unión n-p a la derecha es aceleradora, así que leatraviesan con facilidad. La corriente que circula por el circuito emisor-base controla lacorriente que fluye por el circuito base-colector.La razón de valores de las resistencias es igual a la razón de voltajes en ellas.Transistor de efecto de campo (MOSFET) 31Una representación gráfica del mosfet se ilustra en la siguiente figura. El semiconductor tipon que está en contacto con la fuente y el dren, se encuentra incrustado en un semiconductortipo p, por lo que se genera una región de agotamiento (o rarefacción), especialmente en laparte del canal n. La compuerta esta separada del canal n por una capa de dióxido de silicio.Figura. n-Mosfet31 MOSFET = Metal-Oxide-Semiconductor-Field-Effect Transistor

171Si se aplica una tensión a los terminales fuente-dren V sd , los electrones fluirán por la regiónsuperior del canal n, porque la región interior esta agotada de portadores de carga. Si seaplica un segundo voltaje V sg , fuente-compuerta, se genera un campo eléctrico que provocael adelgazamiento de la región de agotamiento o el ensanchamiento del canal n,aumentando el valor de la corriente. Si se aplica un voltaje variable a la compuerta, el áreapor la que atraviesa la corriente fuente-dren varía de igual manera: Una pequeña variaciónen el voltaje de la compuerta resulta en una gran variación de corriente y por tanto un granvoltaje en los terminales de la resistencia, en este caso actúa como un amplificador devoltaje.Figura. Mosfet como um amplificador de voltaje.Consulta.1) Celdas Solares.2) Circuitos integrados.3) Detectores de Centelleo de NaI (Tl).FerromagnetismoEl comportamiento magnético de los átomos en los sólidos es algo diferente al del átomolibre.Cuando se aplica un campo magnético a una sustancia paramagnética los momentosdipolares magnéticos atómicos se alinean en dirección al campo magnético. Cuando seretira dicho campo, el movimiento térmico desordena rápidamente los spines temporalmentealineados. En materiales ferromagnéticos, hay una fuerza adicional que les mantienealineados 32 (la fuerza de intercambio 33 ) que está representada por un potencial de la forma:Uijr r= − J S ⋅ Sij32 Esta interacción no es dipolo magnético-dipolo magnético, pues ésta es muy débil para formarferromagnetismo.33 Que aparecen debido a las distribuciones de carga que aparecen como consecuencia del principio de exclusiónde Pauli.

dondeS r iy S rj172son los espines de los átomos i-ésimo y j-ésimo y J un parámetro queproporciona la intensidad de la interacción de intercambio. El hecho de que J puede tomarvalores positivos y negativos depende del espaciamiento entre los átomos del sólido, lasiguiente gráfica muestra esa dependencia. En el cual d representa la distancia interatómica.Solo cuando J es positivo ocurre ferromagnetismo (ejemplo: Fe, Co, Ni). Aúnteniendo el Cromo y el Manganeso estructura similar a la del hierro Fe (3d), tienen Jnegativo.Figura. Dependencia del parámetro J como función de la distancia relativa de los átomosSin embargo se puede cambiar el espaciamiento de estos materiales teniéndolos comocompuestos, ejemplo CrO 2 y MnAs que son materiales ferromagnéticos.La temperatura de Curie se define como aquella a la cual el material deja de serferromagnético y se transforma en paramagnético. (K B T > J). Esta temperatura para el hierro(Fe) es 1043ºK.

173INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA NUCLEARLa física nuclear trata sobre el estudio del núcleo atómico, su estructura y sus propiedades.Reseña históricaRutherford (1911) realizó experimentos de dispersión de partículas alfa con láminas de oroque mostraron la presencia del núcleo atómico donde la masa y la carga positiva del átomose encuentra concentrado en un volumen pequeño. Adicionalmente Rutherford, observó lasreacciones N 14 (α,p)O 17 , es decir, la emisión de protones del núcleo por lo que propuso queéstos deben ser componentes nucleares. En 1913 J.J. Thomson (Aston 1919) descubrió quela masa del núcleo no estaba determinada únicamente por su carga. Había varias masascorrespondiendo a la misma carga (descubrimiento de isótopos). Los métodos químicosmostraron que la masa de los átomos se aproximaba a un número entero veces la masa delhidrógeno,M ≈ entero ⋅ M = A ⋅ llamado número másico A, aproximadamente el doble de laHM Hcarga eléctrica (Z del elemento).Los electrones fueron excluidos de formar parte del núcleo atómico por las siguientesrazones:• El principio de incertidumbre de Heisenberg. Muestra que los electrones tienen energíasmuy altas.• La presencia de un número de electrones dentro del núcleo implicaría momentosmagnéticos nucleares del orden de los magnetones de Bohr, sin embargoexperimentalmente se miden momentos magnéticos nucleares del orden 2000 vecesmás pequeños.Chadwick (1932), mediante colisiones de partículas alfa con Berilo, descubrió el neutrón,cuya masa es muy próxima a la del átomo de Hidrógeno. Sin carga eléctrica, y spin 1/2.Momento dipolar magnético -1.91 μ N . Tiempo de vida media 870 segundos.Nos llevó a proponer el modelo de núcleo atómico formado por:Z protones y (A – Z) = N neutronesLos cuales están unidos mediante la interacción fuerte a distancias nucleares (10 -13 - 10 -12cm). A distancias mayores que las nucleares (distancias atómicas) se desvanececompletamente.Tanto a los protones y neutrones → se los llama nucleones.En realidad los protones y neutrones tienen estructura interna. “partones” (quarks). Lainteracción fuerte, desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos, no es más queintercambio de gluones virtuales entre los quarks “Cromo-dinámica Cuántica”.El siguiente esquema muestra los componentes fundamentales de la materia:

174La energía que se requiere para excitar los quarks que conforman un nucleón individual esde 300 MeV. Trabajamos en aproximación de menor energía. Así que consideramos alsistema núcleo formado por: protones y neutrones.La interacción fuerte.La interacción fuerte es la responsable de mantener a unido los nucleones en núcleoatómico. Algunas propiedades de la fuerza nuclear se pueden inferir directamente, así:• A distancias cortas es más fuerte que la electromagnética• A distancias del orden atómico, es despreciable.• Algunas partículas son inmunes a esta interacción. leptones.Si se empieza a explorar experimentalmente se pueden encontrar otras propiedades de lainteracción fuerte, así:• La fuerza entre nucleones parece ser independiente de si los nucleones sonprotones o neutrones (independencia de carga)• La fuerza nucleón-nucleón depende de las orientaciones relativas de los spines delos nucleones.• La fuerza nucleón-nucleón incluye un término repulsivo, la cual mantiene a losnucleones a una separación promedio.• La fuerza nucleón-nucleón tiene una componente no central o tensorial.• Tiene una componente de interacción spin-orbita de naturaleza nuclear.Propiedades de los núcleosEn núcleos pesados estables hay aproximadamente 40% de protones y 60% de neutrones,esto se muestra en la figura.Figura. Curva de estabilidad de los elementos estables presentes en la naturaleza

175Familia de NúcleosIsótopos (Z 1 = Z 2 )H ; H H1 21 1;13U(Nomenclatura; U U234 23592 92;92AZEN)238Isotonos (N 1 = N 2 )3 41H2; 2He2C; N O F14 15 166 8 7 8;8 8;9178Isóbaros (A 1 = A 2 )3 31H2; 2He1Cl; Ar K Ca Sc40 40 40 4017 23 18 22;19 21;20 20;214019Isodiáferos (N 1 – Z 1 ) = (N 2 – Z 2 )2 4 61H1;2He2;3Li3;5B105... ...U; Th Ra Ra Pc Pb234 230 226 226 21892 142 90 140;86 136;86 136;84 134;82214132Isómeros (núcleos excitados)ZE ,A*NZEANNúcleos EspejoZ 1 = N 2 y N 1 = Z 2Dependiendo de la conformación de los núcleos. Se ha visto que en la naturaleza loselementos estables los podemos clasificar como:A Z N Tipo (Z-N) Nucleidos estables +nucleidos τ grandepar par Par p-p 166 +11impar par Impar p-i 55 + 3impar impar Par i-p 51 + 3par impar Impar i-i 6 + 4Total 278 + 21Tamaño nuclearLa distribución de la carga nuclearSe realiza mediante experimentos de dispersión de electrones.Longitud de onda de De-Broglie menor al tamaño del objeto.p > 100 MeV/c (electrones con energía de 100 MeV a 1 GeV).De datos experimentales de dispersión, se encuentra que la densidad de carga nuclear:ρ( r ) =0( r − a)/ b1+ρe

176dondeρ 0 es un valor constante asignado a la densidad nuclear de carga: 0.165 nucleones/fm 3 .a = 1.07 A 1/3 fm.b = 0.55 fm.Algunas veces(Es el ancho de piel)2a = r es el radio cuadrático medio nuclearEsta función se muestra en la siguiente figuraFigura 2. Distribución de carga nuclear de varios núcleos atómicos.Ejercicio: Hallar2r para una esfera de densidad uniforme y compacta de radio R.Respuesta:r21/ 2=35RConclusión: “la densidad de carga nuclear es la misma para todos los núcleos” (saturaciónnuclear). Por tanto, el número de nucleones por unidad de volumen es constante.A ≈ cte R = radio medio nuclear4 π3R3Por tanto, R = R 0 A 1/3donde R 0 es constante y se la halla experimentalmente (valor típico: R 0 = 1.2 fm).Esta relación es válida para núcleos estables, NO para núcleos excitados.La densidad de carga nuclear se puede estudiar cuidadosamente examinando lastransiciones atómicas (energía de rayos X fluorescentes que reflejen los diferentesdesplazamientos isoméricos de los niveles energéticos electrónicos “tipo s” para dosisótopos determinados).El núcleo atómico es de tamaño finito. La densidad de probabilidad de los electrones tipo ses distinta de cero dentro de la distribución de carga nuclear, este hecho produce pequeñoscambios en el valor de los niveles energéticos de dichos electrones (se lo conoce comodesplazamiento isomérico).Si se grafica esta diferencia para una referencia dada A´, en función de A 2/3 , se obtiene unalínea recta.

177Las energías de los RX de la transición2 p → 1sde dos isótopos A y A´ dan tambiéninformación del valor R 0 .El problema tanto con RX o transiciones ópticas radica en el hecho de que el efecto espequeño.Para amplificar este efecto se utiliza RX provenientes de átomos muónicos (átomos en loscuales los electrones orbitales son reemplazados por muones)La distribución de la materia nuclearLa distribución de materia nuclear requiere un estudio experimental más elaborado:Dispersión de partículas α con núcleos blancos de Oro (Au 197 ).Estudio de átomos piónicos (átomos en los que se ha reemplazado piones negativos porlos electrones orbitales), la interacción de los núcleos con los piones no es solamente denaturaleza electromagnética sino que también interviene la interacción fuerte o nuclear.El resultado fundamental es que la distribución de materia nuclear es casi la mismade la distribución de carga (dentro de 0.1 fm).Energías de enlace NuclearLa energía de enlace nuclear se define como aquella que mantiene unido tanto los protonescomo los neutrones en el núcleo.mnucBE( Z,A)c2= Zmpc2+ ( A − Z)m cn2− BE(Z,A)222( Z,A)= Zmpc+ ( A − Z)mnc− mnuc( Z,A)cBE(Z,A)= ZMHc2+ ( A − Z)m cn2− Mat( Z,A)c2+ { Z ⋅ Be(H ) − Be(Z)}Be(H) → la energía de enlace del electrón en el átomo de Hidrógeno yBe(Z) → la energía de enlace de los Z electrones en el átomo.El término entre corchetes es pequeño en comparación con los otros y no considerarse.BE222( Z,A)= ZMHc + ( A − Z)mnc− Mat( Z,A)cM H = 1.007825 umam n = 1.008665 uma1 uma c 2 = 931.48 MeVSe define el “defecto de masa” por la cantidad:Δ M = Mat( Z,A)− A22 22( 1+ ΔM) c + ( A − Z )( 1− Δm) c − Ac + ΔM( Z,A)BE( Z,A)= ZcH[ ZΔM+ ( A − Z)Δm− ΔM( Z,)]BE( Z,A)=AHSi consideramos la energía de enlace por nucleónnn

178BE(Z,A)⎡ZΔM( Z,A)⎤ 2= ( MHmn) mncA ⎢Δ − Δ + Δ −⎣ AA ⎥ ⎦BE(Z,A)⎡ Z⎤ 2= 0.000840 0.008665 P(Z,A)cA ⎢−+ −⎣ A⎥⎦dondeΔM( Z,A)P(Z,A)=AY toma el nombre de “fracción de empaque”El primer término del lado derecho de la ecuación para la energía de enlace por nucleón lareduce un valor casi constante alrededor de 0.4 MeV (Z/A aprox ½). El segundo término esconstante, aproximadamente 8 MeV/nucleón, y está asociado al defecto de masa delneutrón. La fracción de empaque es positiva para núcleos ligeros hasta A = 15 y A>190, ynegativa para núcleos intermedios 15

179Reacciones nuclearesX + x → W + wX(x, w)WSe conserva la energía, cantidad de movimiento, momento angular total, la carga, es decirZ, y el número de nucleones A (aproximación: bajas energías)Si x, X, w, W tienen masas m 1 , m 2 , m 3 , m 4 respectivamente,Esta ecuación la podemos escribir como:E +1+ E2= E3E4E + E + E + E = E + E + E + E01 02 K1K 2 03 04 K 3 K 4Se define “el valor Q” de la reacción como:Q = E01 + E02− ( E03+ E04) = EK3+ EK4− ( EK1+ EK2)Si Q < 0 la reacción se llama reacción endoérgica.Si Q > 0 la reacción se llama reacción exoérgica.Las reacciones endoérgicas no se produce espontáneamente, se podrían producir sí laenergía cinética de las partículas iniciales es lo suficientemente grande para generar elaumento de masa en reposo requerido. Se define entonces “la energía umbral de lareacción” como aquella mínima que debería tener la partícula incidente para producir dichareacción. Se la encuentra suponiendo que se produce la reacción y los núcleos productotienen una energía cinética cero en el sistema centro de masa.De tal manera que,pero, en primera aproximaciónquedando así,E´Q = −E+ EK 1´K 2E umbK 1= E´K1 −E´K 2umbK1⎛ m2⎜⎝ m1+ m⎛ m1+ m= −Q⋅⎜⎝ m2una consideración exacta de la energía umbral nos lleva aE umbK 12⎞⎟⎠⎛ m3+ m4= −Q⋅⎜⎝ m3+ m4− m21⎞⎟⎠⎞⎟⎠

180Solamente si m 1 , m 3

181De la conservación de la cantidad de movimiento,r r0 = mnuc υN+ mαυ αentonces,mEKN=mQαnucEA= EA − 4Kαα KαPara un mismo decaimiento el valor de Q será siempre el mismo, y por tanto, la energía dela partícula α emitida, es decir, el espectro de energía de la partícula alfa es discreto.Ejemplos.9086ThR223220n→→8884RaPo219216+ α ( Ekα+ α ( Ekα= 7,55 MeV )= 6.282 MeV )ModeloUn análisis experimental de emisores alfa muestra una correlación entre el tiempo de vidamedia y la energía de la partícula alfa emitida. Esto se muestra en la siguiente tabla.Emisor alfa E [MeV] Tiempo de vida mediaPolonio 212 8.8 3 10 -7 secPolonio 214 7.7 1.6 10 -4 secPolonio 210 5.3 1.38 10 2 díasRadio 226 4.7 1.62 10 3 añosUranio 238 4.1 4.5 10 9 añosFigura. Pozo de potencial donde se encuentran confinadas las partículas αDecaimiento beta1.- Beta negativoEl núcleo radiactivo emite un electrón y un anti-neutrino tipo electrón.

182La emisión del anti-neutrino fue propuesta por Pauli para justificar el espectro energéticocontinuo de los electrones emitidos (veinte años más tarde se los pudo detectar).La ecuación de conservación de la energía indica.m nuc (Z,A)c 2 = m nuc (Z+1,A)c 2 + E KN + m e c 2 +E Ke + m ν c 2 + E Kνsi consideramos la masa en reposo del neutrino como cero (mediciones recientes muestranla oscilaciones de neutrinos la que indica que sí poseen masa) y adicionalmente que laenergía de retroceso nuclear es despreciable. Entonces,Q β- = m nuc (Z,A)c 2 - m nuc (Z+1,A)c 2 - m e c 2 = E Ke + E KνEn términos de masas atómicasQ β- = M at (Z,A)c 2 - M at (Z+1,A)c 2 = E Ke + E KνLa energía de la transición es repartida entre el electrón y el neutrino, razón por la cual seobserva el espectro energético continuo de los electrones emitidos.Ejemplos:n →Cu64p++ e→ Zn−64+ νe+ e−+ νeE Kmax = 0.78 MeVE Kmax = 0.573 MeVP32→ S32+ e−+ νeE Kmax = 1.718 MeV2.- Beta positivo.El núcleo radiactivo, en este caso emite positrones y neutrinos tipo electrón. El espectro deenergía de los positrones y neutrinos es contínuo.Ejemplos:NaCu2264→ Ne→ Ni2264+ e+ e+++ ν+ νeeE βmax = 1.8 MeVE βmax = 0.656 MeVEl balance de masa-energía será:m nuc (Z,A)c 2 = m nuc (Z-1,A)c 2 + E KN + m e c 2 +E Ke + m ν c 2 + E Kνsi consideramos la masa en reposo del neutrino como cero igual que la energía cinética delnúcleo en retroceso. El factor Q de la reacción es:

183Q´β+ = m nuc (Z,A)c 2 - m nuc (Z-1,A)c 2 - m e c 2 = E Ke + E KνUbicando las masas atómicas en lugar de la nucleares,Q β+ = M at (Z,A)c 2 - M at (Z-1,A)c 2 = 2m e c 2 + E Ke + E KνLa desintegración beta positiva se produzca solo sí la diferencia entre las masas atómicasde los núcleos padre e hijo es mayor a dos veces la energía en reposo del electrón (2m e c 2 =1.022 MeV)3.- Captura Electrónica (CE)Consiste en el hecho de que electrones orbitales tipo s tienen una probabilidad finita deencontrarse en el volumen nuclear, por lo que el núcleo excitado opta por capturarlo(mediante un proceso de interacción débil), llevando a una transmutación de un protónnuclear en un neutrón nuclear y la correspondiente emisión de un neutrino.pe→ n+ + − 0+ νeEjemplosK+ e− → Ar40 + νeCu40 64 + e− → Ni64 + νeEl balance de energía, en este caso, es:m nuc (Z,A)c 2 + m e c 2 – Be(K) = m nuc (Z-1,A)c 2 + E KN + m ν c 2 + E Kνdonde Be representa la energía de enlace del electrón atómico a capturarse.Si la masa del neutrino y la energía cinética de retroceso de núcleo hijo es despreciable,Q CE = m nuc (Z,A)c 2 + m e c 2 - m nuc (Z-1,A)c 2 = E Kν +Be(K)Q CE = M at (Z,A)c 2 - M at (Z-1,A)c 2 = E Kν +Be(K)(El término Be(K) debe ser discutido cuidadosamente)La energía de desintegración es la misma que la del decaimiento beta positivo y toda ellaescapa como energía cinética del neutrino generado (mono-energético). La diferencia con eldecaimiento beta positivo es que no requiere un mínimo de energía para producirse.El siguiente diagrama de desintegración para el Cu 64 muestra todos los decaimientos betaen un mismo elemento.

184Figura. Esquema de decaimiento del Cu-64La no conservación de la paridad en el decaimiento beta.La inversión de paridad es equivalente a una inversión de espejo, puesto que ellas difierensolo a través de una invariante física que es la rotación de 180º respecto al eje. El siguienteexperimento se realizó para observar la no conservación de la paridad en el decaimiento β.Wu y col. estudiaron la probabilidad de emisión de electrones de núcleos polarizados deCo 60 , los cuales decaen por transiciones Gamow-Teller (ΔJ = 1, Δπ = no) a núcleos Ni 60 ,junto con su imagen espejo. Ellos encontraron que la emisión ocurría en la dirección opuestaa aquella del spin nuclear.Figura. Operación de ParidadFigura. Violación de la paridad del decaimiento beta

185El espejo cambia la dirección del spin pero deja igual la dirección de emisión. Laconservación de la paridad requiere que las probabilidades de decaimiento deben ser lasmismas en los dos casos. Las medidas mostraron una clara asimetría, incompatible con laconservación de la paridad.Figura. Resultados experimentales del experimento de Wu y col.Consulta: Decaimiento β doble.Decaimiento gammaSon transiciones isoméricas de un núcleo que pasa de un estado excitado a otro menosexcitado o al estado base.1. Emisión gammaLa transición isomérica lleva a la emisión de un fotón de alta energía.Ejemplo:Ba137 * → Ba137+ γEl balance de energía es:m nuc (Z,A)*c 2 = m nuc (Z,A)c 2 + E KN + E γEl factor Q de la desintegraciónQ γ = [M at (Z,A)* - M at (Z,A)]c 2 = E KN + E γEl valor de la energía de retroceso del núcleo es pequeño de modo que la energía detransición es muy próxima a la energía del gamma emitido. Sin embargo para el estudio deabsorción resonante es muy importante el papel que juega esta energía de retroceso, la cualla podemos calcular de la conservación de la cantidad de movimiento.r rp = 0p N+ γ

186E22 2p pγc ENγKN= = =222mnuc2mnucc2mnuccque como se puede ver es muy pequeña puesto que la energía gamma es de unos pocosMeV mientras que la energía en reposo del núcleo es de algunos GeV.Eγ2.- Conversión InternaEl núcleo en estado excitado transfiere su energía de excitación a un electrón orbital tipo sque se ha aventurado en el volumen nuclear (es decir, la probabilidad de encontrar aelectrones tipo s en el volumen nuclear es finita). El electrón es emitido entonces del átomocon una energía cinética igual a la energía transferida por el núcleo excitado menos laenergía de enlace del electrón en su orbita.El balance energético conduce a:de manera quem nuc (Z,A)*c 2 + m e c 2 - Be = m nuc (Z,A)c 2 + m e c 2 + E KN +E KeQ CI = [M at (Z,A)* - M at (Z,A)]c 2 = E KN + E Ke + BeUna de las fuentes más utilizadas es la de Cobalto 60, su diagrama de decaimiento sepresenta a continuación.Figura. Esquema de decaimiento del Co-60Absorción ResonanteLa resonancia atómica fue predicha por Rayleigh a fin del siglo XIX y descubierta por Wooden 1904. La resonancia nuclear empezó en 1929.El proceso de resonancia se puede describir fácilmente, suponiendo un sistema cuántico dedos niveles energéticos. El nivel de menor energía llamado base y el de mayor energíallamado excitado. Si suponemos en un inicio el sistema en el estado excitado y sufre un

187proceso radiativo de des-excitación a su nivel base, se emitirá un fotón de luz. Si este fotóninteracciona con un sistema idéntico al primero que se encuentra en el estado base, y sieste sistema es capaz de absorber dicho fotón y llevar al sistema a su estado excitado, sedice que se ha producido una absorción resonante.Figura. Esquema de la absorción resonanteLos niveles energéticos tienen en realidad un ancho natural que esta dado por:Γ ⋅ τdonde τ es el tiempo de vida media del estado en consideración. Por ejemplo, si τ ∼ 10 -8entonces Γ ∼ 6.5 10 -8 eV.Consecuentemente, cualquier pequeña perturbación es capaz de desplazar el delicadosolapamiento de las líneas de emisión y absorción, y por tanto, destruir la absorciónresonante.Proceso de retroceso nuclear.Si consideramos el núcleo excitado en reposo, la emisión del fotón producirá un retrocesoen el núcleo, de acuerdo con las leyes de conservación de la energía y cantidad demovimiento.r rp + pN = 0γ≈ hr 2 2 2p p EN γγER= = =22M2M2McLa diferencia entre los niveles de energía E 0 será:E − E = E = E +210γE RPor ejemplo,E 0 ∼ E γ ≈10 4 eV (10 keV)M ≈ 100 umaEntoncesE R ≈ 5 10 -4 eVVemos que la energía de retroceso del núcleo es mucho más grande que los anchosnaturales de línea, por lo que un solapamiento entre las líneas de emisión y absorción espoco probable, inhibiendo la absorción resonante a nivel nuclear. Para el caso atómico, laenergía de los fotones emitidos sen del orden de los eV por lo que la energía de retroceso

188es del mismo orden de los anchos naturales de las líneas de emisión y absorción, lo quepermite el solapamiento de ambas líneas y por tanto la absorción resonante se produce conmayor facilidad.Figura. Líneas de emisión y absorción con sus correspondientes anchos naturales y de Doppler.Ensanchamiento Doppler.Tanto en estado gaseoso como sólido, el núcleo no se encuentra en reposo, sino que ser rmueve a una cierta velocidad. Para un núcleo en movimiento con p = Mvr 2 r 2p p´E0+ = Eγ+2M2MNote que se considera la masa del núcleo en el estado base y en el excitado de igual valor.r r rp = p´+p γEEEγγγr r( p − p )2γ2p= E0+ −2M2M2 r rpγ2 p ⋅ pγ= E0− +2M2M2pγp ⋅ pγ= E0− + cosα2MM2pγvEγ= E0 − + Eγcosα2Mcdonde el último término es una medida del ensanchamiento de las líneas de emisión yabsorción por efecto Doppler.vD ≈cE 0

189la altura de la línea se reduce en un factor Γ/D, esto se debe a que Γ γ se mantiene igual,mientras Γ tot se ha incrementado.Si E R < D, las líneas de emisión y absorción se solapan y se obtiene absorción resonante.Por ejemplo,A nivel atómico,M = 100 umaΓ = 10 -7 eVE 0 = 1 eVD ≈ 10 -6 eVE R = 10 -11 eVA nivel nuclear, dos casos.M = 100 umaE 0 = 1 keVD ≈ 10 -3 eVE R = 10 -5 eVE 0 = 300 keVD ≈ 10 -2 eVE R = 10 -3 eVEl solapamiento es pequeño en el caso nuclear y grande en el caso atómico. Elensanchamiento de la línea se puede lograr calentando el emisor y/o el absorbedor.Efecto Mössbauer.Mössbauer estaba interesado en reducir la absorción resonante del Ir 191 para el cual,E γ = 129 keVE R = 0.047 eVD ∼ 0.1 eV (a temperatura ambiente)mediante un enfriamiento del emisor y del absorbedor (con aire líquido). Sin embargo,observó que en lugar de reducirse la absorción resonante aumentaba.Figura. Aumento de la absorción resonante cuando se disminuye la temperatura de la fuente

190La explicación yace en el hecho de que el núcleo emisor se encuentra fuertemente ligadodentro del cristal. Como ente cuántico el cristal tiene niveles discretos de energía, entreellos sus niveles de vibración y rotación. Para el caso de vibraciones en cristales. Si laenergía mínima que acepta un sólido para excitarse (o excitar un fonón) es E m y si laenergía de retroceso nuclear es menor a ese valor, es decir, E R < E m , el sólido no aceptarádicha energía y el gamma que emite el núcleo tiene una energía E 0 (sin retroceso) y anchonatural, puesto que el ensanchamiento Doppler proviene de la excitación térmica (siempreexiste una probabilidad finita de que la emisión del fotón excite la red, sin tener energía paraello, por efecto túnel).De acuerdo con el modelo de Debye, los cristales pueden considerarse un sistema deosciladores acoplados con sus correspondientes modos normales de vibración, que sonoscilaciones independientes cuyos niveles de energía están cuantizados y cuya energíamedia esta condicionada por el número de modos normales.Si consideramos el sistema de dos niveles,La des-excitación isomérica se puede realizar ya sea por la emisión de rayos gamma o víaelectrones de conversión.Para el Co 57 que es una fuente radiactiva beta tipo captura electrónica, con diagrama dedecaimiento siguiente:Γ ∼ 4.6 10 -9 eVτ ∼ 10 -7 seg.α = 9E e = 14.4 keVΓ = Γ/(1+α) = 4.6 10 -10 eV

191Series radiactivas naturalesLos elementos pesados naturales son generados en las estrellas (explosiones supernovas)algunos de estos materiales son radiactivos. Estos materiales radiactivos naturalesempiezan desde Z = 84 a Z = 92 y están clasificados en familias. Las familias agrupanelementos radiactivos que difieren en cuatro nucleones y provienen un núcleo radiactivopadre natural.SERIE ELEMENTO TIEMPO DE VIDA MEDIA(4n) Serie del Torio Th 232 1.39 10 9 años(4n+1) (Np 237 ) 2.2 10 6 años(4n+2) Serie del Uranio U 238 4.5 10 9 años(4n+3) Serie del Actino-Uranio U 235 7.13 10 8 añosLa serie 4n+1 (o serie del neptunio237) ya desapareció.Consulta. Las Series radiactivasAdicionalmente a los elementos radiactivos naturales que pertenecen a las series, hay otroselementos radiactivos naturales debido a su tiempo de vida media grandes.Ejemplos. (Consulte sus respectivos tiempos de vida media)Elemento T 1/2 (años)K 40Rb 87Sm 147Lu 176Re 187Ley del decaimiento radiactivo.Un sistema aislado inestable permanecerá en su estado de elevada energía un cierto tiempoantes de decaer. La probabilidad de que cualquier núcleo decaiga dentro de un intervalo detiempo pequeño es independiente de cualquier influencia externa, incluyendo el decaimientode otro núcleo. Sea P(dt) la probabilidad de que un núcleo decaiga en un tiempo dt.P(dt)∝ dtP(dt)= λdtSiendo λ la constante de decaimiento radiactivo del radioisótopo en cuestión.Si al tiempo t se tienen N núcleos radiactivos, el número de núcleos que decaen en unintervalo dt será la probabilidad de decaimiento multiplicado por N. Así,− dN = P(dt)N− dN = λNdtdN− = λ N ≡ Adt

192Se define la “Actividad A” de la muestra radiactiva como el número de desintegraciones (odecaimientos) que ocurren por unidad de tiempo.La unidad más comúnmente usada para medir la actividad es el “Curie”, el cual se definecomo la actividad de una muestra en la que ocurren 3.7 10 10 desintegraciones/ segundo(basada originalmente en la actividad de 1 gramo de Ra 226 )El sistema internacional de medidas define al Bequerel como la unidad de actividad y1 Bequerel = 1 desintegración/ segundo.Nota:KiloBequerel (kBq)10 3 BqMegaBequerel (MBq)10 6 BqGigaBequerel (GBq)10 9 BqTetra (tera)bequerel (TBq) 10 12 BqPetaBequerel (PBq)10 15 BqExaBequerel (EBq)10 18 BqSe define también la actividad específica de una muestra radiactiva como su actividad porunidad de masa.Ley exponencial.Si resolvemos la ecuación diferencial anterior tendremos que el número de núcleosradiactivos N(t) decrece en el tiempo:N(t)= N0e−λ⋅tSiendo N 0 el número de átomos en tiempo inicial.Si multiplicamos por λ los dos lados de la ecuación, se tiene:A(t)= A e0−λ⋅tSiendo A 0 la actividad de la muestra en un tiempo inicial.Se define el tiempo de vida media τ del elemento radiactivo, como aquel tiempo en el cual laactividad de la muestra se reduce en la mitad. Así,A20 −λ⋅τA( τ ) = = A0ede dondeln 2τ =λFigura. Ley exponencial del decaimiento radiactivo

193Este tiempo no hay que confundirlo con el tiempo medio de decaimiento de un núcleoradiactivo que esta definido como:t=∫ t∫⋅ dNdN1=N0∞∫t ⋅ N e00−λt1λdt=λNote que la actividad en muchos casos no coincide con el número de partículas emitidas porunidad de tiempo. Esto se debe a que algunos decaimientos emiten más de una partícula, ypor otra parte, por que se habla de decaimiento como la transición de su estado inicial a suestado final estable (pasando por varios estados excitados intermedios).Filiación radiactiva.Se denomina así al proceso de decaimiento de un núcleo radiactivo (padre) a otro quetambién es radiactivo (hijo) el cual a su vez decae en un núcleo (nieto) que puede serestable o radiactivo.Si en t = 0 solo hay N 01 núcleos radiactivos del padre pero sin núcleos hijos ni nietos, sedesea determinar la cantidad de núcleos hijo que tendremos al transcurrir el tiempo.Para el padre:dN−dtNt1= λ NN−λ1⋅t1( ) =011e1AtAe−λ1⋅t1( ) =01Para el hijo:dNdt2= λ N − λ N11dN + λ N = λ N e1dt2 −λt2 2 1 0122la solución de esta ecuación diferencial es:λ1N2( t)= N011exp λ2λ − λmultiplicando ambos lados de la ecuación por λ 2 ,21[ exp( − λ t) − ( − t)]

194λ2A2 ( t)= A01[ exp( − λ1t) − exp( − λ2t)]λ2− λ1Podríamos calcular el tiempo donde la actividad del hijo es máxima, esta es:tm( λ λ )ln / 1 2=λ − λ12Equilibrio secular. Se presenta cuando λ 2 >> λ 1En este caso el exponencial de λ 2 es muy pequeño y−λ1tA2 ( t)= A01eA 2 = A 1Equilibrio transitorio. Se presenta cuando λ 2 > λ 1En este caso, el exponencial de λ 2 también es pequeño yλ2 −λ1tA2 ( t)= A01eλ2− λ1Aλ22( t)= A1λ2− λ1Caso de no equilibrio. Si λ 1 > λ 2e−λ1t −λ 2

195Producción de radio-isótopos (Activación neutrónica)Cuando un núcleo estable es irradiado con un haz de neutrones, este núcleo tiene lacapacidad de capturar dicho neutrón y como consecuencia se transforma en un núcleoexcitado, (es decir radiactivo) el cual en un tiempo posterior se transformará mediante algúnproceso de decaimiento radiactivo.Sea N el número de núcleos activados. Note que N(t=0) = 0. El número de núcleosactivados por unidad de tiempo seguirán una ecuación de balance,dNdt= Q − λNdonde Q es la taza de producción de los núcleos activados. Para el caso en estudio elnúmero de átomos activados es muy pequeño en comparación con el número de núcleosblanco, por tanto Q se lo considera constante.Q = Φ N b σdonde Φ es el flujo del haz de neutrones, N b es el número de los núcleos blanco que seestán activando, y σ es la sección eficaz de captura neutrónica.dN = dtQ − λNd(Q − λN)= −λdtQ − λNt[ ln( Q λN)] = −λt−0( Q − λN)t= ( Q − λN)0⋅ exp( −λt)QN(t)= 1−λ−λt( e )Recuerde que la actividad no es más que:A( t)= λN(t)

196Note que la actividad del radio-nuclído generado crece hasta un valor de saturación dadopor Q para tiempo de irradiación bastante largos (varias veces el tiempo de vida media delradio-nuclído activado). De hecho la taza de crecimiento del radio-nuclído depende de sutiempo de vida media.Una vez que se desconecta la irradiación, la cantidad de material irradiado comenzará adecaer mediante la ley del decaimiento radiactivo.Fisión nuclearDespués del descubrimiento del neutrón en 1932 por medio de Chadwick, se comenzaron airradiar materiales con neutrones y se produjo lo que hoy se llama la activación neutrónica(Nobel 1938 Fermi). Se dirigió luego la investigación hacia la formación de elementostransuránicos, donde por separación química se encontró un elemento con propiedades delbario y se pensó que era el radio, sin embargo la producción del radio a partir del Uranio esmuy poco probable. Hahn y Strassmann en 1939 probaron que efectivamente era Bario.Otros trabajos mostraron la presencia de núcleos con masas intermedias formadas albombardear Uranio con neutrones. Adicionalmente experimentos con cámaras de ionizaciónmostraron que estos procesos liberaban una gran cantidad de energía, 100 MeV (muchomás grandes que la energía liberada, por ejemplo en el decaimiento alfa). Meitner y Frish en1939 propusieron que el núcleo de Uranio, después de la captura neutrónica, era altamenteinestable y se fraccionaba o dividía (proceso que lo llamaron fisión). La fisión no es más quela competición entre la fuerza nuclear y la coulómbica en núcleos pesados. Se sabe que laenergía de enlace nuclear crece al aumentar A, mientras que la repulsión coulómbica crececon Z 2Si se plantea un modelo parecido al del decaimiento alfa para la fisión, diríamos que laemisión se produciría si los fragmentos están cerca del tope de la barrera (donde la pared esmuy fina y fácil de tunelizar). La fisión puede ocurrir espontáneamente como un decaimientonatural o puede inducirse por la absorción de alguna partícula como neutrón o fotón,llevando al núcleo a un estado excitado de mayor energía con mayor probabilidad deescape.El proceso de fisión es solo importante para núcleos pesados (más allá del Th)

197Figura. Esquema del núcleo como un pozo y una barrera.Como se mencionó el proceso de fisión tiene dos características muy importantes: Hay unaalta energía liberada, además de los fragmentos de fisión se liberan varios neutrones lo quepermite reacciones en cadena.Un análisis sencillo de la energía de enlace por nucleón permite ver que si un núcleo pesadose divide en dos fragmentos lleva a un sistema más ligado con liberación de energía:238x 7.6 =1809 MeV2 (119x8.5) = 2033 MeVSe liberan 214 MeV (en forma de n 0 y gammas de los fragmentos)Pero el 80% se libera como energía de retroceso de los fragmentos por la alta repulsióncoulómbica de los fragmentos en el proceso.En el cálculo de la probabilidad de decaimiento hay un término que depende de la energíaliberada (mientras mas energía es liberada hay mayor forma de compartir la energía entrelos productos y por tanto, mayor cantidad de estados finales, es decir mayor probabilidad)El decaimiento por fisión para el Uranio 238 existe pero es poco probable: T 1/2 (alfa) 4.5 10 9años; T 1/2 (fisión espontánea) 10 16 años. Este último proceso aparece con mayorprobabilidad para núcleos con A>250. Ejemplo Cf 252 4% (fisión) 96% (alfa). Lo que inhibe elproceso de fisión espontánea es la barrera de Coulomb (como inhibe al decaimiento alfadiscutido anteriormente).La barrera de los fragmentos podemos estimar como:R = R 1 + R 2z1z2eV =Rque es igual a 250 MeV e impide la separación de los fragmentos lo que hace que eldecaimiento sea poco probable.2

198Aunque se ha puesto cifras en estos estimados, no se pueden tomar muy en serio a estosnúmeros.Lo que si es cierto es que el alto de la barrera es aproximadamente igual a la energíaliberada en la fisión de los núcleos pesados y hay ciertos núcleos para los cuales la energíaliberada pone apenas a los fragmentos abajo del tope de la barrera dándoles buenaposibilidad para penetrar la barrera (fisión espontánea). Los núcleos que ponen a losfragmentos arriba de la barrera son A>300 y no existen.Otros núcleos pueden estar abajo del tope, pero al absorber un neutrón o un fotón puedenformar un estado intermedio que esté arriba de la barrera (fisión inducida). Si el estadointermedio esta abajo de la barrera, la fisión es inhibida y ocurre otro tipo de decaimiento. Lahabilidad de que un núcleo sufra una fisión inducida depende críticamente de la energía delsistema intermedio. Para algunos núcleos la captura de un neutrón térmico es suficiente.Una aproximación instructiva para el entendimiento de la fisión espontánea es a partir de lafórmula semi-empírica de masa.Si se parte de un núcleo esférico que se deforma en un elipsoide de revolución de igualvolumen4πV = ab3donde a y b son el semi-eje mayor y menor respectivamente.a = R(1+ ε )Rb =1+εsiendo ε la excentricidad de la elipse2y β el parámetro de deformación.Note queε = β54π

199R 3 = ab 2Puesto que V permanece constante.Mientras la esfera se deforma, la superficie crece como:2 ⎛ 2 2 ⎞S = 4πR⎜1+ε + ..... ⎟⎝ 5 ⎠y el término de la energía de superficie crece.El término de la energía de coulomb se modifica por un factorla diferencia de energíaesta dada como:ΔE= −aAs2 / 3⎛ 2 2 ⎞⎜1+ε + ..... ⎟ − acZ⎝ 5 ⎠⎛ 1 2 ⎞⎜1− ε + ...... ⎟⎝ 5 ⎠ΔE= BE( ε ) − BE(ε = 0)⎛ 2ΔE≈ ⎜−asA⎝ 52A2 / 3−1/3⎛ 1 2 ⎞⎜1−ε + ... ⎟ + asA⎝ 5 ⎠1+ acZ52A−1/3⎞ 2⎟ε⎠2 / 3+ a Zc2A−1/3Si el segundo término es más grande que el primero, la diferencia en energía es positiva.Entonces se gana energía por la deformación y el núcleo se deformará más hasta fisionarse(el núcleo es inestable por la deformación y sufrirá una fisión). Para la fisión espontánea secumple:1a Z5A2 −1/3c>2asA52Z> 47AEste estimado se debería modificar para considerar la barrera de penetración la cual permitela fisión espontánea aún cuando la energía de deformación es negativa.Además para núcleos en la región del Uranio su forma es deformada hasta en el estadobase.2 / 3La distribución de masa de fragmentos de la fisión del Uranio 235235 0 93 141U + n → Rb + Cs +no es única sino que hay una distribución como la que se muestra en la figura.2n0

200Figura. Distribución de masa de los fragmentos de la fisión del U 236La distribución muestra dos picos a los que se les conoce con el nombre de rama defragmentos livianos y pesados respectivamente. Para distintos materiales fisionables losfragmentos de fisión pesados son casi los mismos mientras que los livianos se incrementanlinealmente al crecer A del elemento fisionable, es decir, el pico de los fragmentos livianosse corre hacia el de pesados al incrementarse la masa del núcleo fisionable.Aunque la fisión se lo trata como un fenómeno colectivo y de hecho se utiliza el modelo de lagota líquida para la descripción de sus parámetros, la forma de la distribución de masa delos fragmentos se puede justificar mediante los números mágicos y nucleones de valenciadel modelo de capas.Fusión NuclearEl proceso que combina dos núcleos ligeros dando lugar a uno más pesado es lo que seconoce con el nombre de fusión nuclear. Este proceso libera una cierta cantidad de energía.El control de esta energía llevaría al desarrollo de lo que se conoce como reactor de fusiónnuclear. Que sería una fuente casi ilimitada de energía para el planeta. La energía obtenidapor fusión tiene varias ventajas con aquella producida por fisión, especialmente con el hechode que los productos de la fusión son núcleos livianos y no radiactivos. Sin embargo hay unagran desventaja que ha impedido hasta el momento el desarrollo de los reactores de fusióny esta es que puesto que dos núcleos livianos deben fusionarse deben sobrepasar susrespectivas repulsiones coulombicas. Este problema puede ser sobrepasado calentando elcontenedor de los núcleos a fusionarse a temperaturas tales que se venza dicha repulsión(1011 ºK), proceso llamado fusión termo-nuclear.Reacciones básicasAunque en principio la reacción de fusión más eficiente seríaH2+ H2→ He4+ γ

201puesto que el Q de la reacción es 23.8 MeV. Sin embargo, no se observaexperimentalmente, puesto que el Helio no puede acomodar este valor de energíainternamente (no tiene estados excitados) y además esta energía es mayor a la energía deseparación de los nucleones en el Helio.Las reacciones que ocurren son:2 2 3H + H → He + n (Q = 3.3 MeV)2 2 3H + H → H + p (Q = 4.0 MeV)las cuales son llamadas reacciones D-D (Deuterio-Deuterio).Una reacción importante también es la DT (Deuterio-Tritio).2 3 4H + H → He + n (Q = 17.6 MeV)A causa de que la energía liberada en esta reacción es mayor, ésta es la escogida para elestudio de reacciones de fusión controladas. Una desventaja de esta reacción es que lamayoría de energía es cedida al neutrón (14.1 MeV)La fusión de cuatro protones lleva en últimas a la formación de He 4 proceso presente en lasestrellas y en particular en el sol.Características de la fusión.Si consideramos que la reacción de fusión es A(a,b)B. La energía liberada en la fusión escompartida por las partículas producto. Es decir, considerando que las energías cinéticas delas partículas incidentes son pequeñas con relación al valor de Q,1 2 1 2Q = m bυb+ mBυB2 2La barrera de Coulomb para las partículas incidentes toma la forma,VcZaZAe=R + Rsiendo los R´s los radios de las partículas iniciales.La barrera de potencial depende exponencialmente de Z a Z A por tanto, la probabilidad defusión decrece rápidamente con Z a Z A . Para la reacción DT V c =0.4 MeVLa sección eficaz de fusión se la puede adaptar de la consideración general hecha enreacciones nuclearesa2A1 −e 2G2σ ∝ υsiendo G el factor de Gamow definido anteriormente.

202Figura. Secciones eficaces de fusión.Reactores de Fusión.1. Confinamiento magnético del plasma (Tokamak)- Campo magnético toroidal.- Campo Poloidal. Mantiene alejado al plasma de las paredes.Tres parámetros (que deben tomar valores críticos simultáneamente) son claves paraalcanzar y sustentar la fusión en un plasma:1. Temperatura. Sobre los 100 a 200 millones K para DT y mayores para DD2. Densidad. El número de reacciones de fusión por unidad de volumen es proporcionala la densidad al cuadrado. 1-2 10 20 partículas /m 3 .3. El tiempo de confinamiento de energía. El tiempo en que la energía es retenida en elplasma antes de (fugarse) perderse. O la razón de la energía térmica contenida en elplasma sobre la potencia entrante requerida para mantener esta condición.(t = 4-6s)El calentamiento del plasma se lo puede realizar mediante:- Calentamiento ohmico y control de corriente- Calentamiento con haces neutros- Calentamiento por radiofrecuencia (25-55 MHz)- Auto calentamiento del plasma (Ignition, condiciones mas demandantes quebreakeven)2. Confinamiento InercialHaz láser o de iones es enfocado en una muestra de hielo de DT cuyas primeras capasimplosionan sobre las interiores generando presiones que le aumentan su densidad miles deveces y sube su temperatura hasta los 100 millones de K. La reacción termonuclear seexpande a través del combustible comprimido produciendo varias veces más energía que lausada para bombardear la capsula. El tiempo que se requiere para que se produzca estareacción es limitado por la inercia del combustible (de ahí el nombre)

203PARTÍCULAS ELEMENTALESEl descubrimiento del neutrón permitió completar nuestro modelo atómico. Se pensóinicialmente que, al parecer, toda la materia estaría formada por electrones (en la nubeatómica), protones y neutrones (en el núcleo atómico). Además, estas partículasinteraccionaban entre ellas mediante las interacciones conocidas: la electromagnética, lafuerte (responsable de mantener en el núcleo atómico a los protones y neutrones), la débil(causante del decaimiento beta de algunos elementos) y la gravitatoria. Sin embargo, elestudio de los rayos cósmicos mostró la presencia de varias partículas tales como el muón(que se la confundió con la partícula de Yukawa, pión). Con el advenimiento de losaceleradores de partículas se hizo evidente una proliferación de partículas y tuvimos queclasificarlas de la siguiente manera:• Fotón. Media la interacción electromagnética.• Leptones. Partículas de spin ½ que no interaccionan fuertemente:• Hadrones (bariones y mesones). Partículas que interaccionan fuertemente. Los barionestienen spin semi-entero y los mesones spines enteros.Propiedades de las interacciones• Interacción GravitatoriaV ( r)= GNmr2G N = 6.7 10 -39 hc (GeV/c 2 ) -2• Interacción Electromagnética2eV ( r)=re2= 1. 44 MeV ⋅ fmτ ≈1.6 10−16sTanto la interacción fuerte como la débil son de rango corto y las podemos representar porpotenciales de la forma de Yukawa• Interacción FuerteV ( r)= g2sha ≈m cπ−rer/ aEnergía aproximada a 1 fm: 100 MeV

2042g sDel experimento = 15hcτ ≈0.12 10−22s• Interacción DébilV ( r)= gha ≈m cw2w−rer/ a2g wDel experimento = 0. 004hcτ ≈ 0.07sSus vidas medias son largas por la debilidad de la interacción y por que la densidad deestados finales es mucho menorPropiedades de las partículas y números cuánticosLas partículas de acuerdo con su spin se clasifican en:Fermiones. Partículas de spin semi-entero que satisfacen el principio de exclusión de Pauli(un estado cuántico solo puede ocuparse por una partícula). Si se tiene un sistema defermiones idénticos, su función de onda debe ser anti-simétrica al intercambio entre dos deellos.Bosones. Partículas de spin entero que no satisfacen el principio de exclusión de Pauli (unestado cuántico puede ocuparse por cualquier número de partículas). Si se tiene un sistemade bosones idénticos, su función de onda debe ser simétrica al intercambio entre dos deellos.Toda partícula tiene su correspondiente antipartícula. La antipartícula tiene igual masa quesu correspondiente partícula pero sus números cuánticos opuestos. Algunas partículas sonsu misma antipartícula (π 0 ).Ejercicio. ¿Será el neutrón su propia antipartícula?Cuando se estudia un tipo de reacción entre partículas, éste debe cumplir con ciertosrequisitos o leyes de conservación que a lo largo de años de experimentación las hemosllegado a conocer. Así por ejemplo, no hemos observado nunca una reacción donde la cargaeléctrica no se conserve. Creemos que hay una serie de principios de conservación en eldominio subatómico sino que en este caso no conocemos todas las leyes relevantes pornuestra falta de comprensión teórica de las interacciones. Consecuentemente debemos

205deducir del experimento el tipo de números cuánticos que se conservan y las leyes deconservación que son apropiadas para cada interacción entre partículas.Se ha visto que si a los fermiones les asignamos un número y a las anti-partículas de losfermiones el mismo número pero negativo. Este número fermionico se conserva.Número Bariónico.Si se examina la siguiente reacción:0p+ → e+ + πSe ve que es energéticamente posible y conserva la carga eléctrica, sin embargo nunca seha observado. Esto sugiere que cierto principio de conservación la prohibe. Podemos definirel “número bariónico” B=1 que llevan todos los bariones. B=-1 se asigna a los antibariones yB=0para los leptones mesones y fotones. Por tanto el número bariónico se conserva entodos los procesos físicos. Sinedo el protón el más liviano de los bariones, éste nuncadecaerá.Números LeptónicosComo en el caso anterior podríamos asignar a los leptones un número cuántico. Sinembargo, reacciones como:μ →− + γ− eNunca se han observado. Por lo que se llega a la conclusión de que debe haber diferentesnúmeros leptónicos. Así, el electrón y su neutrino tienen número leptónico tipo electrón L e =1,el muón y su neutrino tienen número leptónico muónico L μ =1; y el tau y su neutrino tienennúmero leptónico L τ =1. Sus antipartículas tienen los valores negativos.ExtrañezaEste número cuántico se introdujo para explicar el hecho de que algunos hadrones ( Κ , Λ,Σ)tenían vidas medias relativamente grandes (tiempos de vida media del orden de 10 -10segundos) característicos de la interacción débil, es decir, se creaban en procesos fuertes(los experimentos mostraban que sus secciones eficaces eran consistentes con estainteracción, secciones eficaces grandes, del orden de los milibarn); pero decaían porprocesos débiles.Estas partículas siempre se producen en pares. Así,−π + p → Κ0+ ΛPosteriormente decaen como:ΛΚ00−→ π→ π+ p+ +−π0

206Se observa queque se produce conDe igual manera+π+ p → Κ++ Σ0Λ se produce conjuntamente con++Κ pero no conLas cuales se desintegran como:ΣΚ+++→ π + n+ 0→ π + π+Σ siempre se produce asociado concon0Κ (y un+ p → Σ+π adicional).+ Κ−Κ .+Κ pero nunca con−Σ se produce asociado con−− +π pero no se observa−π0Κ pero no con+ p → Σ0π ; se observa también+π . Se produce también asociadoA estas partículas se las llamó extrañas y se les asignó un nuevo número cuántico llamadoextrañeza S, el cual debía ser conservado para el caso de interacción fuerte y podía noconservarse para el caso de la interacción débil. Todos los bariones y mesones ordinarios(así como el fotón) se asumían como partículas no extrañas, es decir, S=0.De las reacciones de producción de estas partículas se podía inferir la extrañeza de lasmismas para que este número cuántico se conserve. Así:S=1+Κ0Κ+Κ++ Κ−S=-1−Κ0ΚtambiénS=-1Λ0Σ+Σ−Σ0De igual manera de las siguientes reacciones fuertes:−Κ + pΚ0asigna→ Ξ+ p → Ξ−0+ Κ+++ ΚS=-2Ξ −0ΞIsospinEl protón y el neutrón son bariones de spin ½ y tienen aproximadamente la misma masa(degeneración en masa). Desde el punto de vista de la interacción fuerte podemos decir quese comportan igual (independencia de carga) estados distintos de una misma partícula“llamada nucleón”. Decimos que el protón y neutrón son dos estados ortogonales de lamisma partícula. El lenguaje es similar de aquel discutido para el spin de una partícula despin ½, por lo que se lo conoce como “isospin o spin isotópico” el protón sería cuando elnucleón tiene componente de isospin “hacia arriba”, y el neutrón cuando la tiene “haciaabajo”.

207Las diferentes hadrones forman multipletes isospínicos. Así,+⎛π⎞⎜ ⎟0⎜π⎟⎜ − ⎟⎝π⎠⎛⎜⎝ ΚΚ + 0⎞⎟⎠⎛Κ⎜⎝Κ0−⎟ ⎞⎠⎛Σ⎜⎜ Σ⎜⎝Σ+0−⎞⎟⎟⎟⎠η 0 , Λ 0 , Ω - son singletes isospínicosRelación de Gell Mann Nishijima.La asignación de la extrañeza inicialmente fue realizada de una manera ad-hoc, de hecho,fue llevada a cabo con la observación fenomenológica en mente de que la carga de loshadrones puede estar relacionada con los otros números cuánticos a través de la siguienterelación:Y B + SQ = I3+ = I3+2 2Donde Y = B + S y se le conoce como la “hipercarga fuerte”Figura Octetos de mesones bariones y decaeto de bariones

208Leyes de conservaciónCuando una ley física es invariante respecto de una operación de simetría generalmenteexiste un principio de conservación correspondiente.En realidad lo ponemos usar en los dos sentidos, es decir,A) Si se encuentra o sospecha una simetría, se busca la cantidad conservada.B) Si una cantidad se conserva se busca la correspondiente simetría.Invariancia en traslación de tiempo (tiempo homogéneo, se conserva E)Invariancia en traslación del espacio (espacio homogéneo, se conserva p r )Invariancia de la rotación espacial (espacio isotrópico, se conserva J r )La descripción mecánico cuántica de un sistema se realiza mediante la función de onda delsistema, que a su vez resuelve una ecuación de movimiento.Modelo EstandarLa física de partículas, hoy en día, esta descrita por el “Modelo Estándar”. Este modeloclasifica a las partículas elementales en dos grandes familias: los leptones y los quarks.Cada familia esta formada por tres pares (generaciones) de partículas.Tanto los leptones como los quarks son partículas de spin ½, es decir, son fermiones 34Tabla 1. Familia de leptones y quarks.LEPTONESQUARKSTipo o Sabor Masa GeV/c 2 Carga eléctrica Tipo o Sabor35 Masa GeV/c 2 Carga eléctricaElectrón e 0.000511 -1 Up u 0.005 2/3Neutrino ν e

209Sin carga, sin masaDébil Sabor 10 -5 W + , W - (80.22 GeV/c 2 )Z 0 (91.187 GeV/c 2 )Fuerte Carga de color 1-10 Gluones g (sin masa)En la antigua teoría de las partículas elementales se clasificaban a las partículas como:Leptones y Hadrones. Siendo los hadrones las partículas que responden a la interacciónfuerte (hoy decimos que están formadas por quarks). Los hadrones a su vez se clasifican,de acuerdo con su spin, en bariones (partículas con spin semi-entero) y mesones (partículascon spin entero). Actualmente, el modelo estándar considera a los bariones como sistemasformados por tres quarks y los mesones como formados por quarks y antiquarks. Tanto losbariones como los mesones deben tener una carga de color total blanca.Tabla3. Algunos BarionesPartícula Masa (MeV/c 2 ) Vida media (seg) Composición en quarks Carga eléctricap 938.24 ---------- uud 1n 939.57 887 udd 0Λ 0 1115.7 2.6 10 -10 uds 0Σ + 1189.4 0.8 10 -10 uus 1Σ 0 1192.5 7.4 10 -10 uds 0Σ - 1197.4 1.5 10 -10 dds -1Ξ 0 1314.9 2.9 10 -10 uss 0Ξ - 1321.3 1.6 10 -10 dss -137 Ω - 1672.4 0.8 10 -10 sss -1+Λ c 2284.9 0.2 10 -12 udc 1El barión Δ ++ esta formado por tres quarks u con momento orbital relativo l = 0 y j =3/2 sucomponente j z corresponde a los tres quarks (up), siendo su función de onda simétricadando lugar a una estadística equivocada (de bosones). Fue por tanto necesario introducirun nuevo número cuántico, el “color”. Cada sabor de quark tiene tres posibles colores (rojo,verde, azul). Note que diferentes cargas de color en estado j z = 3/2 impiden la violación delprincipio de exclusión de Pauli. Las mezclas de los tres colores dan un color blanco (quedescribe la carga de todos los hadrones existentes ya que la separación de los quarks oaislamiento de quarks esta prohibido, a este hecho se le conoce como confinamiento).Adicionalmente, los quarks que forman un hadrón se comportan como partículas cuasi-libres(libertad asintótica). No existe contradicción entre esta propiedad y la anterior, puesto que elconfinamiento solo se activa a largas distancias (del orden del radio del hadrón).La demostración experimental de la existencia física de la carga de color se basa en laproducción electromagnética de hadrones, mediante la colisión:el número de estados finales producidos.+e e−→ γ →qqy contandoTabla 4. Algunos MesonesPartícula Masa38 (antipartícula) (MeV/c 2 )ComposiciónEn quarksVida media(segundos)Cargaeléctrica37 Ω - tiene spin 3/2, el resto tiene spin ½. El número bariónico de todas ellas es 1 (sus antipartículas tienennúmero bariónico –1). La paridad intrínseca de todas ellas es positiva (sus antipartículas tienen negativas).

210π + (π - ) 139.57 u( ud)d 2.6 10 -8 1 (-1)π 0 134.97 u u / dd0.8 10 -16 0u s us 1.2 10 -8 -1 (1)0d s ds 0.9 10 -10 (K S ) 05.2 10 -8 (K L )η 547.4 u u / dd / ss0.5 10 -18 0Κ - (Κ + ) 439.6 ( )Κ (Κ 0 ) 497.6 ( )Estamos a las puertas de que el acelerador LHC (Large Hadron Collider) empiece suoperación, y entre uno de sus objetivos esta el observar la partícula de Higgs. Esta partícula,de acuerdo con el modelo estándar, es la que proporciona masa a todas las de máspartículas.38 Las partículas π 0 y η coinciden con sus anti-partículas (partículas de Majorana). Los mesones tienen númerobariónico cero y su paridad intrínseca negativa.