Opiskelumoniste - Lahti

Laskutoimitukset
Kompleksiluvuilla lasketaan vastaavasti kuin polynomeilla muistaen tietenkin, että i 2 = − 1 .
Seuraavassa joitakin esimerkkejä kompleksilukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja
jakolaskuista.
1. Laske kompleksilukujen 2 − 5i ja 3 + 2i summa, erotus, tulo ja osamäärä.
( 2 − 5i ) + ( 3 + 2i)
= 2 + 3 − 5i + 2i = 5 − 3i
( 2 − 5i) − ( 3 + 2i)
= 2 − 3 − 5i − 2i = −1−
7i
2
( 2 − 5i)( 3 + 2i) = 6 + 4i − 15i − 10i = 6 − 11i − 10( − 1)
= 6 − 11i + 10 = 16 − 11i
2 − 5i
lasketaan poistamalla imaginaariyksikkö i nimittäjästä laventamalla nimittäjän
3 + 2i liittoluvulla, siis
2
2 − 5i
( 2 − 5i
)( 3 − 2i)
6 4 15 10 6 19 10 4 19 4 19
=
= − i − i + i
= − i − = − − i
= − − i
2 2
3 + 2i
( 3 + 2i)( 3 − 2i) 3 − ( 2i)
9 + 4 13 13 13
2. Olkoon z = − 2 + 3 i . Mikä on z:n käänteisluku 1 1
z eli z − esitettynä muodossa a + bi ?
3. Osoita, että kompleksiluvun ja sen liittoluvun summa ja tulo ovat aina reaalisia.
2
⎛ 1−
2i⎞
4. Määritä kompleksiluvun z = ⎜ ⎟ reaali- ja imaginaariosat.
⎝ 2 + i ⎠
5. Olkoon z1 , z2
∈ C . Osoita, että z + z = z + z
1 2 1 2
6. Määritä sellainen reaaliluku a, että
a 1
+ on reaalinen.
1− i ai
Kompleksilukuyhtälöitä
Tarkastellaan yhtälöiden ratkaisua parin esimerkin avulla.
1. Ratkaise z yhtälöstä iz( 3 − i)
= z + 3 − i .
2
3iz − i z = z + 3 − i
3iz + z = z + 3 − i
3iz
= 3 − i
3 i i i i
z = − ( 3 − )( − )
= = − 1 − 3
= − 1
− i
3i
3i
( −i)
3 3
2. Ratkaise z yhtälöstä z − z = iz + 4 .
Koska yhtälössä esiintyy sekä kompleksiluku z että sen liittoluku z , on yhtälö
ratkaistava esittämällä z muodossa z = a + bi , jolloin z = a − bi .
a − bi − ( a + bi) = i( a − bi) + 4
2
a − bi − a − bi = ai − bi + 4
− 2 bi = b + 4 + ai Kompleksiluvut samat, joss reaali- ja imaginaariosat samat.
0 = b + 4 ja − 2b = a
Lahden Lyseon lukio 2 HL/2005