Määrätty integraali - Lahti

Määrätty integraali
Hannu Lehto
Lahden Lyseon lukio
Osa I: Porrassumma ja pinta-ala 2
Esimerkki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Porrassumma yli välin [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Pinta-ala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Osa II: Määrätty integraali 6
Määritelmä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Kertymäfunktio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Kertymäfunktion derivaatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Määrätyn integraalin ja integraalifunktion yhteys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Määrätyn integraalin ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Osa III: Pinta-aloja 15
Käyrän ja x-akselin välinen ala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Kahden käyrän välinen ala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Käyrän ja y-akselin välinen ala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Osa IV: Tilavuuksia 20
Pyörähdysakselina x-akseli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Pyörähdysakselina suora y = h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Pyörähdysakselina y-akseli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1

Osa I: Porrassumma ja pinta-ala 2 / 23
Esimerkki
Esimerkki. Arvioi (approksimoi) käyrän y = √ x, x-akselin ja suoran x = 4 rajoittaman pinnan ala.
2
1
1 2 3 4
Porrassummat (jakovälien lukumäärä on n)
n S n
4 5,384
8 5,352
16 5,340
↓ ↓
∞ Pinta-ala
3 / 23
Porrassumma yli välin [a,b]
y = f(x)
f(x 1 ) f(x 2 )
· · ·
f(x n−1 ) f(xn)
a
x 1 x 2 x n−1 xn
∆x
• Funktio f on määritelty välillä [a, b].
• Väli jaetaan n:ään yhtä pitkään osaan, jolloin ∆x = b − a
n .
• x 1 , x 2 , · · · , x n−1 , x n ovat vastaavien jakovälien pisteitä.
• Porrassumma on
b
x
.
S n = f(x 1 )∆x + f(x 2 )∆x + . . . + f(x n−1 )∆x + f(x n )∆x
∑
= n f(x i )∆x
i=1
4 / 23
2

Pinta-ala
Olkoon funktio f on jatkuva ja epänegatiivinen välillä [a, b].
y = f(x)
a
b
x
Silloin kuvassa olevan pinnan ala on porrassummien raja-arvo, kun jakovälien lukumäärä n lähestyy ääretöntä,
ts.
n∑
A = lim n→∞ f(x i )∆x.
i=1
5 / 23
Osa II: Määrätty integraali 6 / 23
Määritelmä
∫ b
Määritelmä 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b]. Funktion f määrätty integraali f(x)dxvälillä [a, b] on
porrassumman raja-arvo, kun jakovälien lukumäärä lähestyy ääretöntä.
a
∫ b
Mitä voidaan päätellä integraalista f(x)dx seuraavissa tapauksissa?
a
a b a
b
7 / 23
3

Kertymäfunktio
Olkoon f jatkuva. Funktio
K a (x) =
∫ x
on kertymäfunktio kohdassa a. Lisäksi K a (a) =
a
f(t)dt, missä a on vakio ja x > a,
a∫
f(t)dt = 0
a
K a (x)
y = f(t)
a
x
t
8 / 23
Kertymäfunktion derivaatta
Lause 1.
a
Todistus. Katso oppikirjasta MT10 s.59–60.
∫ x
K a(x) ′ = D f(t)dt = f(x)
Kertymäfunktio K a (x) on siis eräs funktion f(x) integraalifunktio.
9 / 23
Määrätyn integraalin ja integraalifunktion yhteys
Lause 2. a Olkoon F(x) jokin välillä [a, b] määritellyn jatkuvan funktion f(x) integraalifunktio. Silloin on
∫ b
a
f(x)dx = F(b) − F(a).
Todistus. K a (x) = F(x) + c
Koska K a (a) = 0,niin F(a) + c = 0,joten −F(a) = c.
K a (b) = F(b) + c, joten
∫ b
Merkintä: f(x)dx =
a
∫ b
a
f(x)dx = K a (b) = F(b) − F(a).
b/
F(x) = F(b) − F(a)
a
10 / 23
a Lauseet 1 ja 2 muodostavat analyysin peruslauseen. Siitä saa lisätietoa esimerkiksi Solmu-lehden artikkelista.
4

Määrätyn integraalin ominaisuuksia
1.
2.
3.
4.
5.
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
cf(x)dx = c f(x)dx (vakion siirtosääntö)
a
(f(x) + g(x)) dx =
a∫
f(x)dx = 0
a
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a∫
f(x)dx = − f(x)dx
f(x)dx =
∫ c
a
b
a
f(x)dx +
∫ b
f(x)dx + g(x)dx
a
∫ b
f(x)dx (paloittain integrointi)
c
a
c
b
11 / 23
Määrätyn integraalin ominaisuuksia
6. Jos f on parillinen, ts. f(−x) = f(x),
−2π
−π
−a
1
a
−1 π 2π
Kuva 1: Funktio y = cosx on esimerkki parillisesta funktiosta
a∫
a∫
niin f(x)dx = 2 f(x)dx.
−a
0
12 / 23
Määrätyn integraalin ominaisuuksia
7. Jos f on pariton, ts. f(−x) = −f(x),
−2π
−π
−a
1
a
−1 π 2π
a∫
niin
−a
Kuva 2: Funktio y = sinx on esimerkki parittomasta funktiosta
f(x)dx = 0.
13 / 23
5

Määrätyn integraalin ominaisuuksia
8. Osittaisintegrointi
∫ 1
Esimerkki. xe x dx
0
∫ b
a
f ′ (x)g(x)dx =
a
b/
∫ b
f(x)g(x) −
a
f(x)g ′ (x)dx
14 / 23
Osa III: Pinta-aloja 15 / 23
Käyrän ja x-akselin välinen ala
y = f(x) ≥ 0
A =
a
∫ b
a
f(x)dx
b
a
∫ b
A = −
a
f(x)dx
b
y = f(x) ≤ 0
16 / 23
6

Kahden käyrän välinen ala
y = f(x)
a
∫ b
A = (f(x) − g(x)) dx
a
b
y = g(x)
17 / 23
Käyrän ja y-akselin välinen ala
b
a
A
x = f(y)
∫ b
A = f(y)dy
a
x = f(y)
A
b
a
∫ b
A = −
a
f(y)dy
18 / 23
Esimerkki
Laske käyrän y = x 3 , y-akselin ja suoran y = 2 rajoittaman pinnan ala.
19 / 23
7

Osa IV: Tilavuuksia 20 / 23
Pyörähdysakselina x-akseli
Funktio f on jatkuva välillä [a, b]. Alue pyörähtää x-akselin ympäri.
y = f(x)
a
b
y = f(x)
a
b
Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus? y = f(x)
a
b
Tilavuuden likiarvo on suorien ympyräpohjaisten lieriöiden tilavuuksien summa. Likiarvo paranee lisäämällä
lieriöiden määrää.
y = f(x)
f(x)
a
x
b
∆x
Lieriön tilavuus on ∆V = πf(x) 2 ∆x. y = f(x)
f(x)
a
x
b
dx
Kun ∆x → 0, saadaan ”äärettömän pieni” pituusalkio dx ja tätä vastaava ”äärettömän pieni” tilavuusalkio
dV = πf(x) 2 dx. Laskemalla yhteen ”äärettömän monta äärettömän pientä” tilavuusalkiota väliltä [a, b]
saadaan pyörähdyskappaleen tilavuus
V = ∫ b
a dV = π ∫ b
a f(x)2 dx
21 / 23
8

Pyörähdysakselina suora y = h
Funktio f on jatkuva välillä [a, b]. Alue pyörähtää suoran y = h ympäri.
y = f(x)
y = h
a
b
y = f(x) − h
y = h
a
b
V = π
∫ b
a
(f(x) − h) 2 dx
22 / 23
Pyörähdysakselina y-akseli
d
c
x=g(y)
V = π
∫ d
c
g(y) 2 dy
Esimerkki. Käyrän y = √ x ja suorien y = 2 ja x = 0 rajaama alue pyörähtää y-akselin ympäri. Laske tilavuus.
2
23 / 23
9