Numeerinen integrointi (kalvot - Lahti

Numeerinen integrointi 

Hannu Lehto 

Lahden Lyseon lukio

Keskipistesääntö 

• Keskipistesääntö 

• Puolisuunnikassääntö 

• 

⋆Puolisuunnikassäännön 

virhe 

• Simpsonin sääntö 

• ⋆Simpsonin sääntö – 

toinen lähestymistapa 

• ⋆ Simpsonin 

säännön virhe 

Esimerkki. Määritä likiarvo integraalille 

∫ 4 

0 

√ xdx. 

Hannu Lehto 13. syyskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9




• 


virhe 







2 

∫ 4 

0 

√ xdx. 

1 

1 2 3 4 





• 


virhe 







2 

∫ 4 

0 

√ xdx. 

1 

1 2 3√ 

4 √ √ √ 

1 

Porrassumma S 4 = 1 · 

2 + 1 · 3 

2 + 1 · 5 

2 + 1 · 7 

2 ≈ 5,384 

on integraalin likiarvo. Miten likiarvoa voidaan parantaa? 





• 


virhe 







2 

∫ 4 

0 

√ xdx. 

1 

1 2 3 4 

Porrassummat (jakovälien lukumäärä on n) 

n S n 

4 5,384 

8 5,352 





• 


virhe 







2 

∫ 4 

0 

√ xdx. 

1 

1 2 3 4 

Porrassummat (jakovälien lukumäärä on n) 

n S n 

4 5,384 

8 5,352 

16 5,340 





• 


virhe 

y = f(x) 






f(x 1 ) f(x 2 ) 

· · · 

f(x n−1 ) f(xn) 

a 

x 1 x 2 x n−1 xn 

b 

x 

∆x 





• 


virhe 

y = f(x) 






f(x 1 ) f(x 2 ) 

· · · 

f(x n−1 ) f(xn) 

a 

x 1 x 2 x n−1 xn 

b 

x 

∆x 

• Funktio f on määritelty välillä [a,b]. 





• 


virhe 

y = f(x) 






f(x 1 ) f(x 2 ) 

· · · 

f(x n−1 ) f(xn) 

a 

x 1 x 2 x n−1 xn 

b 

x 

∆x 


• Väli jaetaan n:ään yhtä pitkään osaan, jolloin ∆x = b − a 

n . 





• 


virhe 

y = f(x) 






f(x 1 ) f(x 2 ) 

· · · 

f(x n−1 ) f(xn) 

a 

x 1 x 2 x n−1 xn 

b 

x 

∆x 



n . 

• x 1 ,x 2 , · · · ,x n−1 ,x n ovat vastaavien jakovälien keskipisteitä. 





• 


virhe 

y = f(x) 






f(x 1 ) f(x 2 ) 

· · · 

f(x n−1 ) f(xn) 

a 

x 1 x 2 x n−1 xn 

∆x 



n . 

• x 1 ,x 2 , · · · ,x n−1 ,x n ovat vastaavien jakovälien keskipisteitä. 

• Porrassumma on 

S n = f(x 1 )∆x + f(x 2 )∆x + ... + f(x n−1 )∆x + f(x n )∆x 

∑ 

= n f(x i )∆x ≈ ∫ b 

a f(x)dx 

i=1 

Hannu Lehto 13. syyskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 9 

b 

x

Puolisuunnikassääntö 



• 


virhe 

y = f(x) 






· · · 

y 0 =f(x 0 ) y 1 y 2 

y n−2 y n−1 yn 

a 

h 

b 

x 





• 


virhe 

y = f(x) 






· · · 

y 0 =f(x 0 ) y 1 y 2 


a 

h 

b 

x 

∫ b 

a 

f(x)dx ≈ 





• 


virhe 

y = f(x) 






· · · 

y 0 =f(x 0 ) y 1 y 2 


a 

b 

x 

h 

∫ b 

a 

f(x)dx ≈ y 0 + y 1 

2 

· h + y 1 + y 2 

2 

· h · · · + y n−1 + y n 

2 

· h 





• 


virhe 

y = f(x) 






· · · 

y 0 =f(x 0 ) y 1 y 2 


a 

h 

b 

x 

∫ b 

a 

f(x)dx ≈ y 0 + y 1 

2 

· h + y 1 + y 2 

2 

· h · · · + y n−1 + y n 

2 

= h 2 (y 0 + 2y 1 + 2y 2 + · · · + 2y n−1 + y n ) 

· h 


⋆Puolisuunnikassäännön virhe 



• 


virhe 






Olkoon L puolisuunnikassäännön antama likiarvo. Jos f on kahdesti 

derivoituva, niin puolisuunnikassäännön virhe on 

Kaavassa 

∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)3 f ′′ (t) 

12n 2 





• 


virhe 








∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)3 f ′′ (t) 

12n 2 

Kaavassa 

• a ja b ovat ala- ja ylärajat, 

• n on jakovälien lukumäärä, 

• t on jokin välin [a,b] tuntematon luku. 





• 


virhe 








∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)3 f ′′ (t) 

12n 2 

Kaavassa 




Käytännössä pystytään arvioimaan vain virheen itseisarvoa 





• 


virhe 








∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)3 f ′′ (t) 

12n 2 

Kaavassa 





∣ 

∫ b 

a 

∣ ∣∣∣ 

f(x)dx − L 

∣ = − (b − a)3 f ′′ ∣ 

(t) ∣∣∣ 

12n 2 = 





• 


virhe 








∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)3 f ′′ (t) 

12n 2 

Kaavassa 





∣ 

∫ b 

a 

∣ ∣∣∣ 

f(x)dx − L 

∣ = − (b − a)3 f ′′ ∣ 

(t) ∣∣∣ 

12n 2 = 

(b − a)2 

12n 2 

|b − a| ∣ ∣f ′′ (t) ∣ ∣ 

laskemalla |f ′′ (t)|:n suurin arvo suljetulla välillä [a,b] 


Puolisuunnikassäännön virhe 



• 


virhe 






Käytännön ohje: Halutun tarkkuuden saamiseksi laske integraalin 

likiarvo kahdella eri jakovälien määrällä. Yhteiset desimaalit ovat 

oikeita. 


Simpsonin sääntö 



• 


virhe 

Osavälien lukumäärä n on parillinen. 










• 


virhe 






Osavälien lukumäärä n on parillinen. Simpsonin sääntö on 

keskipiste- ja puolisuunnikassääntöjen painotettu keskiarvo 

painoarvoina 2/3 ja 1/3. 





• 


virhe 









y = f(x) 

· · · 

y 0 y 1 y 2 


a 

h 

b 

x 





• 


virhe 









y = f(x) 

· · · 

y 0 y 1 y 2 


a 

h 

b 

x 

∫ b 

a f(x)dx ≈ 2 3 [2hy 1 + 2hy 3 + · · · + 2hy n−1 ] 





• 


virhe 









y = f(x) 

· · · 

y 0 y 1 y 2 


a 

h 

b 

x 

∫ b 

a f(x)dx ≈ 2 3 [2hy 1 + 2hy 3 + · · · + 2hy n−1 ] 

+ 1 3 

2h 

2 [y 0 + 2y 2 + · · · + 2y n−2 + y n ] 





• 


virhe 









y = f(x) 

· · · 

y 0 y 1 y 2 


a 

h 

b 

x 

∫ b 

a f(x)dx ≈ 2 3 [2hy 1 + 2hy 3 + · · · + 2hy n−1 ] 

+ 1 2h 

3 2 [y 0 + 2y 2 + · · · + 2y n−2 + y n ] 

= h 3 [y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + · · · + 4y n−1 + y n ] 


⋆Simpsonin sääntö – toinen lähestymistapa 



• 


virhe 






Simpsonin sääntö voidaan johtaa myös korvaamalla funktion kuvaaja 

kullakin 2h-mittaisella välillä paraabelilla, joka kulkee päätepisteiden 

ja keskipisteen kautta (2. asteen interpolointipolynomi). 1 

1 Tarkempi perustelu MT12, sivut 56–57 





• 


virhe 









y = f(x) 

· · · 

y 0 y 1 y 2 


a 

h 

b 

x 






• 


virhe 









y = f(x) 

· · · 

y 0 y 1 y 2 


a 

h 

b 

x 






• 


virhe 









y = f(x) 

· · · 

y 0 y 1 y 2 


a 

h 

b 

x 



⋆ Simpsonin säännön virhe 



• 


virhe 






Olkoon L Simpsonin säännön antama likiarvo. Jos f on neljästi 

derivoituva, niin Simpsonin säännön virhe on 

Kaavassa 

∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)5 f (4) (t) 

180n 4 





• 


virhe 








∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)5 f (4) (t) 

180n 4 

Kaavassa 








• 


virhe 








∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)5 f (4) (t) 

180n 4 

Kaavassa 









• 


virhe 








∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)5 f (4) (t) 

180n 4 

Kaavassa 





∣ 

∫ b 

a 

∣ ∣ ∣∣∣∣ 

f(x)dx − L 

∣ = − (b − a)5 f (4) (t) ∣∣∣∣ 

180n 4 = 





• 


virhe 








∫ b 

a 

f(x)dx − L = E n = − (b − a)5 f (4) (t) 

180n 4 

Kaavassa 





∣ 

∫ b 

a 

∣ ∣ ∣∣∣∣ 

f(x)dx − L 

∣ = − (b − a)5 f (4) (t) ∣∣∣∣ 

180n 4 = 

(b − 

∣ a)4 ∣∣ 

180n 4 |b − a| f (4) (t) ∣ 

laskemalla ∣ ∣f (4) (t) ∣ ∣ :n suurin arvo suljetulla välillä [a,b]

Numeerinen integrointi (kalvot - Lahti

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?