Pdf-versio - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

16 Solmu
Q
Q'
S
P'
A
F1
A'
Jos piste Q ′ lähestyy pistettä Q, yhtyvät tangentit ja niiden leikkauspisteestä P ′ tulee verhokäyrän (ellipsin)
piste P .SekantistaSQ ′ tulee ympäri piirretyn ympyrän tangentti QT ;kulmistaF 1 P ′ Q ja F 1 Q ′ Q tulee yhtä
suuret kulmat F 1 PQ ja F 1 QT . Tangentilla QR oleva sivuamispiste määräytyy siis siitä ehdosta, että kulmien
F 1 PQ ja F 1 QT tulee olla yhtä suuret.
Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että kulmatF 2 PR ja F 2 RU ovat yhtä suuret. Kaikki neljä kulmaaovat
keskenään yhtä suuret, sillä tangenttikulman QKR symmetrisyyden takia ovat kulmat KQR ja KRQ yhtä
suuret, jolloin myös F 1 QT ja F 2 RU ovat yhtä suuret.
Määritetään piste W janan F 1 Q jatkeelta siten, että janat F 1 Q ja QW ovat yhtä pitkät. Em. kulmien yhtäsuuruudesta
seuraa, että pisteet W , P ja F 2 ovat samalla suoralla. Koska janat QW ja F 2 Q 1 ovat yhdensuuntaiset
ja yhtä pitkät, on nelikulmio QW F 2 Q 1 suunnikas.
W
Q
P
R
A
F1
F2
A'
R1
Q1
Kolmioiden QF 1 P ja QW P yhtenevyyden takia ovat janat F 1 P ja WP yhtä pitkät, jolloin janojen pituuksille
on
|F 1 P | + |F 2 P | = |WP| + |F 2 P | = |WF 2 | = |QQ 1 | =2a.
Päättely on voimassa riippumatta siitä, miten säteen F 1 Q suunta on alunperin valittu, jolloin on tullut osoitetuksi,
että tangenteilla olevat sivuamispisteet P ovat ellipsillä.
Sivutuotteena on tullut todistetuksi (miten?) ellipsin heijastusominaisuus:Polttopisteestälähtevä ellipsin kehästä
heijastuva säde osuu toiseen polttopisteeseen.
Lukija kiinnittäköön huomiota tangentin käsittelyyn edellä olevassa todistuksessa. Ympyrän tapauksessa tangentin
sivuamispiste on yksinkertaisesti tangenttia vastaan kohtisuoran säteen päätepiste. Ellipsillä ei vastaavaa
yksinkertaista ominaisuutta ole. Tangentin sivuamispiste löytyykin rajaprosessilla pisteen Q ′ lähestyessä pistettä
Q.
Lähde:E. H. Lockwood, A book of curves, Cambridge University Press, 1961.
Simo K. Kivelä