Riemannin hypoteesi

Prime Obsession
Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved
Problem in Mathematics
John Derbyshire

Sisältö
1. Kirjasta
2. Riemannin elämästä
3. Riemannin hypoteesi
4. Loppusanat
– p.1/22

Kommentteja kirjasta
Kertomus Riemannin hypoteesista.
Itse Riemannista tietoa on varsin vähän.
Laajoja historiallisia osuuksia muista Riemannin
aikakauden matemaatikoista.
Sisältää myös kohtalaisesti matematiikkaa.
Toisinaan vähän sekava ja epäloogisesti jäsennelty.
– p.2/22

Esitiedoista
Kirjailija uskoo kirjan olevan luettava myös
“epämatemaattisille” henkilöille.
Yleisemmällä tasolla mahdollista — aiheen parempi
ymmärtäminen vaatinee enemmän esitietoja
Osa tarvittavasta taustatiedosta yritetty selittää
pelkästään sanallisesti.
Omasta mielestäni vaikutti paikoitellen hankalalta.
Vaikeahko aihe esittää kovin yksinkertaisesti.
– p.3/22

Riemannin nuoruus
Bernhard Riemann (1826-1866) syntyi köyhään
perheeseen Quickbornessa 17.9.1826.
Aloitti varsinaisen koulunkäynnin (gymnasium) vasta
14-vuotiaana Hanoverissa, Lüneburgiin 16-vuotiaana.
Ei ollut koskaan kovin hyvä oppilas, oli kiinnostunut
vain harvoista aineista.
Hyväksyttiin Göttingenin yliopistoon teologian
opiskelijaksi vuonna 1846.
– p.4/22

Väitöskirjatyö
“Göttingen seven” 1837.
Yksi professori herätti Riemannin mielenkiinnon —
professori Carl Friedrich Gauss.
Teologista matemaatikoksi ensimmäisenä vuonna.
Akatemiat ja yliopistot.
Berliiniin 1847, takaisin Göttingeniin 1849.
Tutustui toiseen Gaussin oppilaaseen, Richard
Dedekindiin.
– p.5/22

Habilaatio
Aloitti habilaatiotyönsä 25-vuotiaana.
Kirjallinen työ valmistui 1853 ja käsitteli Fourier sarjoja.
Perusta nykyiselle Riemannin integraalille.
Luento: “On the Hypotheses that Lie on the
Foundations of Geometry” vuonna 1854.
Nykyisen n-ulotteisena Riemannin moniston ja
Riemannin tensorin käsitteet.
Dosentuuri ei korjannut rahanpuutetta.
– p.6/22

Yksi suurista
Professuuri Dirichleelle 1855.
Riemannin isän ja siskon kuolemat samana vuonna.
Veljen ja siskon kuolemat vuonna 1858.
Gaussin ja Dirichleen professuuri Riemannille 1859.
Berliinin akatemian jäseneksi samana vuonna.
Riemannin hypoteesi artikelissa “On the Number of
Primes Less Than a Given Quantity”.
Kuoli tuberkuloosiin vuonna 1866.
– p.7/22

Riemannin hypoteesi
Kaikki zeta-funktion
ζ(s) =
∞�
n=1
n −s = 1 + 1 1 1
+ + + · · ·
2s 3s 4s ei-triviaalit nollakohdat sijaitsevat kompleksitason kriittisellä
suoralla ℜ(s) = 1/2.
– p.8/22

Riemannin hypoteesi
Kysymyksiä
Mitä ovat ei-triviaalit nollakohdat?
Mitä ovat triviaalit nollakohdat?
Mikä merkitys zeta-funktiolla ja sen nollakohdilla on?
– p.9/22

Alkuluvuista
Alkuluku on yhtä suurempi luonnollinen luku, joka ei
ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin
yhdellä ja itsellään.
Ensimmäiset alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 19.
Alkulukuja on ääretön määrä (Eukleides, n. 300 eaa).
– p.10/22

Alkulukuteoreema
Alkulukujen esiintymistiheys laskee mitä suurempia
lukuja tarkastellaan.
N π(N) N/π(N) log(N) N/Li(N)
1, 000 168 5.9524 6.9078 5.6306
1, 000, 000 78, 498 12.7392 13.8155 12.7182
1, 000, 000, 000 50, 847, 534 19.6666 20.7233 19.6660
1, 000, 000, 000, 000 37, 607, 912, 018 26.5901 27.6319 26.5901
π(N) ∼ N
log(N)
∼ Li(N) =
� N
0
dx
log(x)
– p.11/22

Alkulukujen oheneminen
Pi[N]
1200
1000
800
600
400
200
0
2000 4000 6000 8000 10000
Kuva 1. Alkulukujen lukumäärä π(N) (punainen, keskellä) ja sen approksimaatiot
N/ log(N) (sininen, alin) sekä Li(N) (vihreä, ylin).
N
– p.12/22

Virhetermi
Voimme kirjoittaa
π(x) = Li(x) + R(x),
missä R(x) antaa approksimointivirheen arvolle x
Virhetermistä R(x) on esitetty asymptoottisia arvioita,
joista tarkimmat nojaavat Riemannin hypoteesiin.
Vuoden 1859 artikkelissaan Riemann johti kaavat
π(x):n tarkan arvon laskemiseen.
– p.13/22

ζ(s)-funktion nollakohdat
Sarjamuodossa
ζ(s) = 1 + 1 1 1
+ + + · · ·
2s 3s 4s zeta-funktio on määritelty, kun C ∋ ℜ(s) > 1.
Seuraavilla kalvoilla toteamme, että tämän funktion
nollakohdat ovat
T>1 = {s ∈ C : ζ(s) = 0, ℜ(s) > 1} = ∅.
Mitä zeta-funktion triviaalit / ei-triviaalit nollakohdat
ovat?
– p.14/22

ζ(s)-funktion nollakohdat
Eräs Riemannin artikkelissa “On the Number of Primes
Less Than a Given Quantity” todistetty tulos oli
ζ(s) = 2 s π s−1 �
πs
�
sin Γ(1 − s)ζ(1 − s), ∀s ∈ C \ {1},
2
missä Γ(x), x ∈ C on nk. gamma-funktio. Luonnollisille
luvuille pätee Γ(n) = (n − 1)! missä n! = 1 · 2 · · · · · n
on luvun n ∈ N kertoma.
Tulos laajentaa zeta-funktion koko kompleksitasolle,
pois lukien kohta s = 1.
– p.15/22

ζ(s)-funktion nollakohdat
ζ(s)
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10 −8 −6 −4 −2 0
s
2 4 6 8 10
Kuva 2. ζ(s)-funktion kuvaaja reaalisella argumentin arvolla.
– p.16/22

ζ(s)-funktion nollakohdat
Olkoon ensin s ∈ R \ {1}. Jos s ∈ {−2, −4, −6, . . . },
niin ζ(s) = 0, koska
sin
�
πs
�
Γ(1 − s) = 0.
2
Muilla s ∈ R zeta-funktio on aina erisuuri kuin nolla,
joten T = {s ∈ R : ζ(s) = 0} = {−2, −4, −6, . . . }..
Nollakohtia ei myöskään ole, jos s ∈ C, ℜ(s) /∈ ]0, 1[.
– p.17/22

Kriittinen suora
Zeta-funktion ei-triviaalit nollakohdat ovat
S = {s ∈ C \ R : ζ(s) = 0, ℜ(s) ∈]0, 1[}.
Riemannin hypoteesi: Jos s ∈ S, niin ℜ(s) = 1/2.
Im(ζ(1/2 + ix))
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Re(ζ(1/2 + ix))
– p.18/22

Todistuksen ongelmia
G. H. Hardy (1914): Nollakohtia, jotka toteuttavat
Riemannin hypoteesin on äärettömän monta.
Laskennallisesti voidaan etsiä vain vastaesimerkkejä.
Riemannin hypoteesin rikkovat nollakohdat (jos niitä
on) voivat olla niin suuria ettemme löydä niitä koskaan.
S-funktion käyttäytyminen suurilla funktion arvoilla
saattaisi aiheuttaa Riemannin oletukselle vaikeuksia.
Kyseistä funktiota pitäisi pystyä tutkimaan argumentin
arvoilla, jotka ovat luokkaa 101010000. – p.19/22

Riemannin hypoteesi ja lukuteoria
Kertaus: π(x) = Li(x) + R(x)
Mitä pienempi R(x) on, sitä tarkemmin tiedämme
funktion Li(x) esittävän funktiota π(x).
Helge von Koch (1901): Jos Riemannin hypoteesi on
tosi, niin π(x) = Li(x) + O ( √ x log(x)).
Myös arvioita, jotka eivät nojaa hypoteesiin on
R(x) = O
�
xe −0.009[log(x) 3/5 /(log(log(x)) 1/5 ] �
– p.20/22

Riemannin hypoteesi ja lukuteoria
Vuoden 1859 artikkelissaan Riemann johti kaavat joilla
voidaan laskea π(x):lle tarkka-arvo
π(x) =
∞�
n=1
µ(n)
n J � n √ x �
J(x) = Li(x) − �
Li (x ρ ) − log 2 +
ρ∈S
� ∞
Yllä oleva on riippumaton hypoteesista!
dt
t (t 2 − 1) log t
�
x
��
−0.694

Loppusanat
Edellisen sivun kaavat olivat Riemannin vuoden 1859
artikkelin päätulokset; eivät riipu hypoteesista!
Hypoteesi ottaa kantaa vain joukon S alkioihin
Tiivistelmästä löytyy tarkemmat kuvaukset Riemannin
hypoteesiin liittyen.
Derbyshiren kirjassa on lisäyksiä joihinkin kohtiin, jotka
myös tiivistelmässä on ohitettu.
– p.22/22