Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen matriisilaskennan ... - Koppa

Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminenmatriisilaskennan keinoinTarkastellaan yhtälöryhmää, missä on n kpl tuntemattomia muuttujia x 1 , x 2 , . . . , x n ja yhteensäm kpl yhtälöitä:⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2⎪⎨. .. .. .⎪⎩a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b mYhtälöryhmän voi ratkaista kolmella eri matriisilaskennan menetelmällä, jotka käsittelemmeseuraavassa:1. Gaus-Jordanin eliminointimenetelmä.Seuraavat operaatiot ovat sallittuja yhtälöryhmän ratkaisemisessa (vrt. yhtälöparin ratkaiseminen)1. Lineaarisen yhtälöryhmän kaksi yhtälöä voidaan vaihtaa keskenään.2. Yhtälö voidaan kertoa puolittain reaaliluvulla r ≠ 0.3. Lineaarisen yhtälöryhmän yhtälöön voidaan lisätä toisen yhtälön moninkerta (vrt. yhtälöparinyhteenlaskukeino).Ajatellaan yhtälöryhmää matriisi muodossa:⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤a 11 . . . a 1n x 1 b 1 . ..AX = B ts.⎢ . .⎥ ⎢ .⎥⎣ . . ⎦ ⎣ . ⎦ = .⎢ .⎥⎣ . ⎦a m1 . . . a mn x n b mJa laaditaan ns. laajennettu kerroinmatriisi⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1n b 1a 21 a 22 . . . a 2n b 2 . . . .⎢ . . . .⎥⎣ . . . . ⎦a m1 a m2 . . . a mn b m(jokanen rivi kuvaa erikseen kutakin yhtälöryhmän yhtälöä)1.1. Sovitaan edellä esitetyille operaatioille merkinnät:1. R i ←→ R j vaihdetaan i:s ja j:s rivi keskenään.2. R i −→ rR i kerrotaan i:s rivi luvulla r ∈ R, r ≠ 0.3. R i −→ R i + rR j kerrotaan j:s rivi luvulla r ∈ R, r ≠ 0 ja lisätään riviin i.1.2. Idea: Gaus-Jordanin eliminointimenetelmän idea on soveltaa operaatioita 1.-3. kunnes laajennetussakerroinmatriisissa päästään muotoon:⎡⎤1 0 . . . 0c 10 1 . . . 0c 2 . . . .⎢. . . .⎥⎣. . . . ⎦0 0 . . . 1c n1

2Josta saadaan yhtälöryhmän ratkaisut:1.3. Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöryhmät:⎧⎨a)⎩x + 3y − 2z = 11−x + 4y + 2z = 246x − y + 6z = −20⎧⎨b)⎩3x − y + 8z = −1x + y − 6z = 416x − 2y + 2z = 15⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨c)⎩x 1 = c 1x 2 = c 2...x n = c n−3x − 2y + z = −518x − 6z = 66x − y − 2z = 0HUOM1! Jos Gaus-Jordanin eliminointimenetelmä johtaa yhtälöön 0 = 0, lineaarisella yhtälöryhmälläon äärettömän monta ratkaisua (vrt. esimerkin kohta c) )HUOM2! Jos Gaus-Jordanin eliminointimenetelmä johtaa yhtälöön 0 = a, missä a ≠ 0 lineaarisellayhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.2. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen käänteismatriisin avulla.2.1. Käänteismatriisi. Jos luku a ∈ R, sen käänteisluvulla 1 a = a−1 on ominaisuus a · a −1 =a −1 · a = 1. VastaavastiOlkoon A n × n neliömatriisi. Jos on olemassa n × n matriisi B siten, ettäAB = BA = Iniin matriisi A on kääntyvä eli säännöllinen ja B on A:n käänteismatriisi, jota merkitäänB = A −1Milloin matriisi on kääntyvä? Koska determinantti det(AB) = det(A)det(B) niindet(AA −1 ) = det(A)det(A −1 ) = det(I) = 1, jotendet(A −1 ) = 1det(A), missä det(A) ≠ 0voidaan osoittaa, ettäNeliömatriisi A on kääntyvä jos ja vain jos det(A) ≠ 0Käänteismatriisin ominaisuuksia:(A −1 ) −1 = A(A T ) −1 = (A −1 ) T )(AB) −1 = B −1 A −1Käänteismatriisin määrittäminen:Ensin tarkistetaan onko matriisilla A käänteismatriisia eli onkodet(A) ≠ 0? Jos on niin A −1 voidaan määrittää joko1. Määritelmän avulla ts. ratkaista matriisin A −1 alkiot yhtälöstä AA −1 = I2. Gaus-Jordanin menetelmällä. Merkitään pystyviivan vasemmalle puolelle matriisi A ja oikeallepuolelle yksikkömatriisi I:

LINEAARISEN YHTÄLÖRYHMÄN RATKAISEMINEN MATRIISILASKENNAN KEINOIN 3⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1n 1 0 . . . 0a 21 a 22 . . . a 2n 0 1 . . . 0. . . . . .⎢ . . . . . .⎥⎣ . . . . . . ⎦a m1 a m2 . . . a mn 0 0 . . . 1ja ratkaistaa tämä G-J menetelmällä siten, että lopputuloksessa on pystyviivan vasemmalla puolellayksikkömatriisi ja oikealla puolella etsitty matriisi A −1 :⎡⎤1 0 . . . 0 b 11 b 12 . . . b 1n0 1 . . . 0 b 21 b 22 . . . b 2n. . . . . .⎢. . . . . .⎥⎣. . . . . . ⎦0 0 . . . 1b m1 b m2 . . . b mntutustutaan näihin menetelmiin esimerkkien avulla.2.2. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen käänteismatriisin avulla:Jos⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤a 11 . . . a 1n x 1b 1 . .A =⎢ . .⎥⎣ . . ⎦ , X = .⎢ .⎥⎣ . ⎦ ja B = .⎢ .⎥⎣ . ⎦ ,a m1 . . . a mn x n b mniin lineaarinen yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossaAX = BJos A on kääntyvä eli det(A) ≠ 0, matriisiyhtälön ratkaisu on X = A −1 B, silläAX = B ⇔ A −1 AX = A −1 B ⇔ IX = A −1 B ⇔ X = A −1 B3. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Cramerin säännön avulla.Tämä menetelmä sopii n yhtälön ja n tuntemattoman yhtälöryhmälle, jolla on yksikäsitteinenratkaisu eli jonka kerroinmatriisin det(A) ≠ 0.Tällöin yhtälöryhmän⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2⎪⎨. .. .. .⎪⎩a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n = b nratkaisu onx j = det(A j), kun j = 1, 2, . . . ndet(A)Missä matriisi A j on muuten sama kuin matriisi A, mutta sen j:nnes sarake onkin korvattu matriisillaB.Esimerkiksi⎡KunA = ⎣ a ⎤ ⎡11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23⎦ ja B = ⎣ b ⎤⎡1b 2⎦ niin A 2 = ⎣ a ⎤11 b 1 a 13a 21 b 2 a 23⎦a 31 a 32 a 33 b 3 a 31 b 3 a 33

4esimerkki. Ratkaise yhtälöryhmä ⎧⎨⎩3x − y + 8z = −1x + y − 6z = 416x − 2y + 2z = 15