Luvut 8-9 - Koppa

Euklidiset avaruudet, syksy 2007
Anu Kähkönen
8 Kompaktius
Analyysi 1:llä on todistettu seuraava lukiostakin tuttu tulos:
Suljetulla ja rajoitetulla välillä määritelty jatkuva kuvaus f : [a, b] → R saavuttaa
suurimman ja pienimmän arvonsa.
Tässä luvussa yleistetään edellä oleva todistamalla, että suljetussa ja rajoitetussa joukossa A ⊂
R n määritelty jatkuva kuvaus f : A → R saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa. Tähän
tarvitaan kompaktin joukon käsite.
8.1 Määritelmä. Joukkoperhe {U α } α∈I , missä U α ⊂ R n , on joukon A ⊂ R n peite, jos
A ⊂ ⋃ α∈I
U α .
Peite {U α } α∈I on avoin peite, jos jokainen U α on avoin, ja äärellinen peite, jos indeksijoukko I
on äärellinen. Edelleen, jos J ⊂ I ja jos {U α } α∈J on joukon A peite, niin {U α } α∈J on peitteen
{U α } α∈I alipeite.
Toisin sanoen joukot U α , α ∈ I, muodostavat joukon A peitteen, jos A sisältyy joukkojen U α
yhdisteeseen eli joukot U α peittävät joukon A. Peitettä sanotaan avoimeksi peitteeksi, jos sen
kaikki joukot ovat avoimia, ja äärelliseksi peitteeksi, jos siinä on vain äärellisen monta joukkoa.
Joukon A peitteen {U α } α∈I alipeite on sellainen osakokoelma joukkoja U α , että ne edelleen
peittävät joukon A.
8.2 Esimerkkejä. 1) Olkoon U i = (i − 1, i + 1) ⊂ R kaikilla i ∈ Z. Joukot U i ovat avoimia ja
⋃
U i = R,
i∈Z
joten joukkoperhe {U i } i∈Z on reaalilukujen joukon R eräs avoin peite. Joukkoperhe {U i } i∈Z on
myös välin [0, 1] avoin peite, ja sillä on esimerkiksi alipeite {U 0 , U 1 }.
2) Reaalilukujoukon R avoimeksi peitteeksi käy myös avoimien välien V i = (−i, i) ⊂ R, i ∈ N,
kokoelma {V i } i∈N .
3) Avoimien pallojen B(0, i), i ∈ N, muodostama joukkoperhe on minkä tahansa joukon A ⊂ R n
avoin peite, sillä
⋃
B(0, i) = R n .
i∈N
8.3 Määritelmä. Joukko K ⊂ R n on kompakti, jos sen jokaisesta avoimesta peitteestä löytyy
äärellinen alipeite.
Siis jos K ⊂ R n on kompakti, niin sen jokaisesta avoimesta peitteestä {U α } α∈I löytyy äärellisen
monta joukkoa U α1 , U α2 ,..., U αp , jotka riittävät peittämään joukon K.
8.4 Esimerkkejä. 1) R ei ole kompakti, sillä avoimet välit (−i, i) ⊂ R, i ∈ N, muodostavat
R:n peitteen ja mikään äärellinen osakokoelma näitä välejä ei peitä reaaliakselia kokonaan.

2) Pallot B k := B(0, 1 − 1/k), k ∈ N, muodostavat joukon B(0, 1) ⊂ R n avoimen peitteen, sillä
⋃
B k = B(0, 1).
k∈N
Mikään äärellinen osakokoelma palloja B k ei riitä peittämään yksikköpalloa B(0, 1), joten
B(0, 1) ei ole kompakti.
Joukon osoittaminen kompaktiksi suoraan määritelmän avulla on yleensä vaikeaa. Onko esimerkiksi
[0, 1] × [0, 1] ⊂ R 2 kompakti vai ei Se, ettei löydä avointa peitettä, jolla ei olisi äärellistä
alipeitettä, ei käy kompaktiuden perusteluksi, vaan pitäisi osoittaa, että millä tahansa joukon
[0, 1]×[0, 1] ⊂ R 2 avoimella peitteellä on äärellinen alipeite. Ei riitä tutkia edes kaikkia avoimia
pallopeitteitä (ts. peitteitä, jonka kaikki joukot ovat avoimia palloja).
Yleensä joukko osoitetaan kompaktiksi seuraavan lauseen avulla:
8.5 Lause (Heine-Borel). Joukko K ⊂ R n on kompakti jos ja vain jos se on suljettu ja
rajoitettu.
Todistus: ”=⇒” K on rajoitettu: Olkoon U i = B(0, i) kaikilla i ∈ N, jolloin {U i } i∈N on
joukon K avoin peite. Joukon K kompaktiudesta seuraa, että tällä peitteellä on äärellinen
alipeite. Toisin sanoen on olemassa joukot U i1 ,U i2 ,...,U ip siten, että
p⋃
K ⊂ U ij .
Kun asetetaan r = max{i 1 , i 2 , . . .,i p }, niin K ⊂ B(0, r). Niinpä K on rajoitettu joukko.
j=1
K on suljettu: Osoitetaan, että K sisältää kasautumispisteensä, jolloin K on lauseen 4.20
kohdan (2) nojalla suljettu.
Antiteesi: joukolla K on kasautumispiste a, joka ei ole joukossa K.
Määritellään nyt kaikilla i ∈ N joukot
jolloin jokainen U i on avoin ja
U i = R n \ B(a, 1/i),
⋃
U i = R n \ {a} ⊃ K.
i∈N
Niinpä {U i } i∈N on joukon K avoin peite, ja joukon K kompaktiuden nojalla tällä peitteellä on
äärellinen alipeite {U ij } p j=1 . Kun valitaan r = min{1/i 1, 1/i 2 , . . .,1/i p }, niin
K ⊂
p⋃
U ij = R n \ B(a, r).
j=1
Nyt B(a, r) ∩ K = ∅, joten a ei voi olla joukon K kasautumispiste, mikä on ristiriita.
”⇐=” Oletetaan, että joukko K on suljettu ja rajoitettu.
Antiteesi: K ei ole kompakti.
On siis olemassa joukon K avoin peite {U α } α∈J , jolla ei ole äärellistä alipeitettä. Tehdään nyt
samantapainen päättely kuin Bolzano-Weierstrassin lauseen (lause 4.22) todistuksessa: Koska
K on rajoitettu, niin jollekin r > 0
K ⊂ I := [−r, r] n .

Puolitetaan välin I jokainen sivu, jolloin I jakautuu 2 n osaväliin. Valitaan näistä sellainen
osaväli I 1 , jolla I 1 ∩ K ei peity äärellisen monella U α . Näin käy ainakin yhdellä osavälillä.
Jatketaan samaan tapaan, jolloin saadaan jono
n-välejä siten, että
I ⊂ I 1 ⊂ I 2 ⊂ . . .
1) I k ∩ K ei peity äärellisen monella U α , ja
2) välien I k sivujen pituudet lähestyvät nollaa, kun k → ∞.
Valitaan nyt jokaisella k ∈ N piste x k ∈ I k ∩ K. Tällöin saadaan rajoitettu jono (x k ), jolla on
lauseen 6.12 nojalla suppeneva osajono (x kj ) j . Merkitään
jolloin
a := lim
j→∞
x kj ,
∞⋂
(I k ∩ K) = {a} :
k=1
Ensinnäkin kaikilla k ∈ N on x kj ∈ I k ∩ K, kun k j > k (sillä I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . .). Lisäksi joukot
I k ∩ K ovat suljettuja, joten
a = lim
j→∞
x kj ∈ I k ∩ K kaikilla k ∈ N.
Toisaalta joukkojen I k ∩ K leikkauksessa voi olla korkeintaan yksi piste, koska n-välien I k
sivujen pituudet lähestyvät nollaa.
Nyt erityisesti
a ∈ K ⊂ ⋃ α∈J
U α ,
joten a ∈ U α0 jollakin α 0 ∈ J. Niinpä on olemassa s > 0 siten, että B(a, s) ⊂ U α0 . Välien I k
sivujen pituudet lähestyvät nollaa, kun k → ∞, joten valitsemalla k riittävän suureksi
I k ∩ K ⊂ B(a, s) ⊂ U α0 .
Tämä on kuitenkin ristiriita, sillä välit I k valittiin siten, että I k ∩K ei peity äärellisen monella
U α .
□
Seuraavan lauseen mukaan kompaktius säilyy jatkuvassa kuvauksessa:
8.6 Lause. Jos K ⊂ R n on kompakti ja f : K → R m on jatkuva, niin myös kuvajoukko
f(K) ⊂ R m on kompakti.
8.7 Seuraus. Kompaktissa joukossa K ⊂ R n jatkuva reaaliarvoinen kuvaus f : K → R
saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa.
Seuraavan lauseen mukaan kompaktissa joukossa jatkuva kuvaus on tasaisesti jatkuva:
8.8 Lause. Olkoon K ⊂ R n kompakti ja f : K → R m jatkuva. Tällöin f on tasaisesti jatkuva.
Todistus: Olkoon ε > 0. Koska f on jatkuva, jokaiselle x ∈ K löytyy δ x > 0 siten, että
||f(x) − f(y)|| < ε 2 , kun y ∈ K ja ||x − y|| < δ x.

Tarkastellaan nyt palloja B(x, δ x /2), missä x ∈ K. Ne peittävät joukon K, ja koska K on
kompakti, jo äärellisen monta niistä riittää peittämään joukon K. Olkoot ne
B(x 1 , δ x1 /2), . . ., B(x p , δ xp /2).
Valitaan nyt
δ = min{δ x1 /2, . . ., δ xp /2},
ja osoitetaan, että tämä δ kelpaa. Olkoot x, y ∈ K siten, että ||x−y|| < δ. Tällöin x on jossakin
edellä mainituista palloista B(x i , δ xi /2). Edelleen
Nyt
||y − x i || = ||y − x + x − x i || △-ey
≤ ||y − x|| + ||x − x i || < δ + δ x i
2 ≤ δ x i
2 + δ x i
2 = δ x i
.
||f(x) − f(y)|| △-ey
≤ ||f(x) − f(x i )|| + ||f(x i ) − f(y)|| < ε 2 + ε 2 = ε.
8.9 Seuraus. Joukossa A ⊂ R n jatkuva kuvaus f : A → R m on tasaisesti jatkuva jokaisessa
rajoitetussa joukossa B ⊂ A, jolle B ⊂ A.
□
Ohjaustehtäviä
31. Oletetaan, että joukot K 1 , K 2 ⊂ R n ovat kompakteja. Osoita, että K 1 ∩ K 2 on kompakti.
32. Anna esimerkki joukoista A ja B, joista kumpikaan ei ole kompakti, mutta A ∩ B on
kompakti.
33. Tarkastellaan funktiota f : [−1, 1] 2 → R, f(x, y) = x 2 + y 2 .
a) Osoita, että f saavuttaa sekä suurimman että pienimmän arvonsa.
b) Missä pisteissä suurin ja pienin arvo saavutetaan ja mitkä ne ovat
c) Saavuttaako f suurimman ja pienimmän arvonsa joukossa (−1, 1) 2

Euklidiset avaruudet, syksy 2007
Anu Kähkönen
9 Yhtenäisyys
Edellisen luvun perusteella suljetussa ja rajoitetussa joukossa A ⊂ R n jatkuva funktio f : A →
R saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa. Mitä muuta voimme sanoa funktion f arvoista
Analyysi 1:llä on todistettu seuraava lukiostakin tuttu reaalifunktioita koskeva tulos:
Suljetulla ja rajoitetulla välillä jatkuva funktio f : [a, b] → R saavuttaa suurimman
ja pienimmän arvonsa sekä kaikki niiden välissä olevat arvot.
Karkeasti sanoen edellä oleva lause on totta siksi, että väli [a, b] koostuu vain yhdestä palasta,
jolloin myös sen kuvajoukko jatkuvassa kuvauksessa f on koostuu vain yhdestä palasta.
Täsmällisemmin tämä ilmaistaan yhtenäisyyden käsitteen avulla. Osoitamme tässä luvussa,
että yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen.
Intuitiivisesti ajatellen joukko on epäyhtenäinen, jos siinä on ainakin kaksi erillistä osaa, ja
yhtenäinen, jos mitkä tahansa joukon kaksi pistettä voidaan yhdistää toisiinsa joukon sisällä.
Osoittautuu, että jälkimmäinen ominaisuus, ns. polkuyhtenäisyys, on yhtenäisyyttä rajaavampi
käsite.
9.1 Määritelmä. Joukko A ⊂ R n on epäyhtenäinen, jos on olemassa avoimet joukot U ⊂ R n
ja V ⊂ R n siten, että
(i) A ⊂ U ∪ V ,
(ii) A ∩ U ≠ ∅ ≠ A ∩ V ja
(iii) A ∩ U ∩ V = ∅.
Joukko A on yhtenäinen, jos tällaisia joukkoja U ja V ei löydy, toisin sanoen jos A ei ole
epäyhtenäinen.
Seuraavan lauseen mukaan yhtenäisyys säilyy jatkuvassa kuvauksessa:
9.2 Lause. Jos joukko A ⊂ R n on yhtenäinen ja kuvaus f : A → R m on jatkuva, niin myös
kuvajoukko f(A) ⊂ R m on yhtenäinen.
Todistus: Oletetaan, että avoimille joukoille U ′ , V ′ ⊂ R m pätee
f(A) ⊂ U ′ ∪ V ′ ja f(A) ∩ U ′ ∩ V ′ = ∅.
Osoitetaan, että f(A) ∩ U ′ = ∅ tai f(A) ∩ V ′ = ∅, jolloin f(A) on yhtenäinen.
Lauseen 7.30 nojalla alkukuvat f −1 (U ′ ) ja f −1 (V ′ ) ovat joukon A suhteen avoimia, joten on
olemassa avoimet joukot U, V ⊂ R n siten, että
f −1 (U ′ ) = U ∩ A ja f −1 (V ′ ) = V ∩ A.
Koska f(A) ⊂ U ′ ∪ V ′ , on A ⊂ U ∪ V . Toisaalta
A ∩ U ∩ V = (A ∩ U) ∩ (A ∩ V ) = f −1 (U ′ ) ∩ f −1 (V ′ ) = ∅,
sillä
f(A) ∩ U ′ ∩ V ′ = ∅.
Nyt joukon A yhtenäisyydestä seuraa, että A ∩ U = ∅ tai A ∩ V = ∅, jolloin
Niinpä f(A) on yhtenäinen.
f(A) ∩ U ′ = ∅ tai f(A) ∩ V ′ = ∅.
□

9.3 Seuraus (Bolzanon lause). Yhtenäisessä joukossa A ⊂ R n jatkuva reaaliarvoinen kuvaus
f : A → R saa kaikilla a ∈ f(A) ja b ∈ f(A), a < b, jokaisen arvon c ∈ (a, b).
Yksinkertaisenkin joukon toteaminen yhtenäiseksi suoraan yhtenäisyyden määritelmän avulla
on yleensä vaikeaa, joten tarvitsemme lisää keinoja joukon yhtenäisyyden selvittämiseen.
9.4 Määritelmä. Suljetulla välillä [a, b] ⊂ R määritelty jatkuva kuvaus γ : [a, b] → A on
joukon A polku. Kuvauksen γ arvojoukko γ([a, b]) ⊂ A on polun kuva eli käyrä joukossa A.
9.5 Esimerkki. Avaruuden R n pisteet x ja y voidaan yhdistää janakuvauksella
Janakuvauksen kuvajoukko on jana
γ : [0, 1] → R n , γ(t) = x + t(y − x).
J(x, y) := {x + t(y − x) ∈ R n : t ∈ [0, 1]}.
9.6 Määritelmä. Joukko A ⊂ R n on polkuyhtenäinen, jos mitkä tahansa kaksi pistettä x, y ∈ A
voidaan yhdistää polulla joukossa A, toisin sanoen jos on olemassa jatkuva kuvaus γ : [a, b] → A
siten, että γ(a) = x ja γ(b) = y.
9.7 Esimerkki. Esimerkin 9.5 perusteella R n on polkuyhtenäinen: sen mitkä tahansa kaksi
pistettä voidaan yhdistää janakuvauksella joukossa R n .
9.8 Huomautus. 1) Joukkoa A ⊂ R n sanotaan konveksiksi, jos sen jokaiselle pisteparille x
ja y niitä yhdistävä jana J(x, y) ⊂ A. Edellisen esimerkin perusteella avaruus R n on konveksi.
Myös avaruuden R n avoimet ja suljetut pallot B(x, r) ja B(x, r) ovat konvekseja (HT).
2) Konveksi joukko on polkuyhtenäinen.
Kuten yhtenäisyys, myös polkuyhtenäisyys säilyy jatkuvassa kuvauksessa:
9.9 Lause. Jos joukko A ⊂ R n on polkuyhtenäinen ja kuvaus f : A → R m on jatkuva, niin
myös kuvajoukko f(A) ⊂ R m on polkuyhtenäinen.
Miten yhtenäisyys ja polkuyhtenäisyys suhtautuvat toisiinsa
9.10 Lause. Polkuyhtenäinen joukko A ⊂ R n on yhtenäinen.
Todistus: Oletetaan, että A ⊂ R n on polkuyhtenäinen.
Antiteesi: A on epäyhtenäinen.
Tällöin on olemassa avoimet joukot U, V ⊂ R n siten, että
(i) A ⊂ U ∪ V ,
(ii) A ∩ U ≠ ∅ ≠ A ∩ V ja
(iii) A ∩ U ∩ V = ∅.
Olkoon x ∈ A ∩ U ja y ∈ A ∩ V . Olkoon lisäksi γ : [a, b] → A polku, joka yhdistää pisteet x ja
y joukossa A. Tällöin siis γ(a) = x ja γ(b) = y. Koska γ on jatkuva, ovat alkukuvat γ −1 (U) ja
γ −1 (V ) joukon [a, b] suhteen avoimia. Niinpä on avoimet joukot U 0 , V 0 ⊂ R siten, että
Mutta nyt
(i) [a, b] ⊂ U 0 ∪ V 0 ,
γ −1 (U) = U 0 ∩ [a, b]
ja γ −1 (V ) = V 0 ∩ [a, b].

(ii) [a, b] ∩ U 0 ≠ ∅ ≠ [a, b] ∩ V 0 , ja
(iii) [a, b] ∩ U 0 ∩ V 0 = γ −1 (A ∩ U ∩ V ) = ∅,
mikä on ristiriidassa välin [a, b] yhtenäisyyden kanssa.
□
9.11 Huomautus. Edellisen lauseen perusteella joukko voidaan osoittaa yhtenäiseksi toteamalla
se polkuyhtenäiseksi. Toinen käyttökelpoinen tapa osoittaa jokin joukko yhtenäiseksi (vastaavasti
polkuyhtenäiseksi) on esittää se jonkin yhtenäiseksi (vastaavasti polkuyhtenäiseksi)
tiedetyn joukon kuvajoukkona jatkuvassa kuvauksessa.
9.12 Esimerkki. Avaruus R n ja sen pallot B(x, r) ja B(x, r) ovat konvekseina joukkoina
polkuyhtenäisiä ja siten edellisen lauseen perusteella yhtenäisiä.
9.13 Esimerkki. Onko topologin sinikäyrä
polkuyhtenäinen tai yhtenäinen Entä joukko
A = {(x, y) ∈ R 2 : x > 0 ja y = sin(1/x)}
B = A ∪ {(x, y) ∈ R 2 : x = 0 ja y ∈ [−1, 1]}
9.14 Lause. Jokainen avoin yhtenäinen joukko A ⊂ R n on polkuyhtenäinen.
Todistus: Oletetaan, että A on avoin ja yhtenäinen. Osoitetaan, että A on polkuyhtenäinen.
Olkoon a ∈ A. (Jos A = ∅, on väite selvä.) Osoitetaan, että jokainen x ∈ A voidaan yhdistää
pisteeseen a polulla joukossa A.
Tarkastellaan joukkoa
E = {x ∈ A : x voidaan yhdistää pisteeseen a polulla joukossa A}.
Ensinnäkin E ≠ ∅, sillä ainakin a ∈ E. Osoitetaan seuraavaksi, että E on avoin. Jos x ∈ E,
niin joukon A avoimuudesta seuraa, että on olemassa pallo B(x, r) ⊂ A. Jokainen y ∈ B(x, r)
voidaan yhdistää pisteeseen a polulla joukossa A yhdistämällä y ensin janalla pisteeseen x (sillä
B(x, r) on konveksi) ja jatkamalla sitten pisteestä x pisteeseen a joukossa A. Niinpä B(x, r) ⊂ E
ja E on avoin. Vastaavasti osoitetaan, että A \ E on avoin (HT).
Joukot E ja A \ E ovat siis avoimia, niiden leikkaus on tyhjä ja yhdiste on joukko A. Lisäksi
E ≠ ∅. Koska A on oletuksen mukaan yhtenäinen, on nyt oltava A \ E = ∅, jolloin A = E. Siis
kaikki joukon A pisteet voidaan yhdistää pisteeseen a polulla joukossa A. Tästä seuraa, että
mitkä tahansa joukon A kaksi pistettä x ja y voidaan yhdistää joukossa A polulla, joka kulkee
pisteen a kautta.
□
Ohjaustehtäviä
34. Olkoon x = (−1, 1) ja y = (5, −1). Muodosta pisteitä x ja y yhdistävä janakuvaus γ.
Määritä γ(0), γ(1/4), γ(1/2) ja γ(1). Piirrä myös kuva.
35. Mitkä seuraavista joukoista ovat yhtenäisiä Entä polkuyhtenäisiä Entä konvekseja
a) B 2 (0, 1) \ {0},
b) B 2 ((−1, 0), 1) ∪ B 2 ((1, 0), 1),
c) {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : |x 2 | < |x 1 |},
d) {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : x 2 > |x 1 |}.

36. Anna esimerkki pisteet (−1, 1) ja (1, 1) yhdistävästä polusta joukossa
A = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : |x 2 | ≤ |x 1 |}.
(Pelkkä kuva ei riitä, vaan anna polun määrittelyjoukko ja lauseke tarkasti.)