Luku 6 - Koppa

Euklidiset avaruudet, syksy 2007Anu Kähkönen6 Avaruuden R n jonoista6.1 Määritelmä. Avaruuden R n jono on kuvaus ϕ : N → R n . Käytännössä merkitäänx k := ϕ(k) = jonon (x k ) k:s alkio tai termi,ja jonolle käytetään yleensä seuraavia merkintöjä:x 1 , x 2 , x 3 , . . .x k , k ∈ N(x k )(x k ) k(x k ) ∞ k=1Jono (x k ) on joukon A ⊂ R n jono (eli jono joukossa A), jos x k ∈ A kaikilla k ∈ N.6.2 Esimerkki. Jono x k = ( 1, ) 1k k , k ∈ N, on kuvaus ϕ : N → R 2 ,2( 1ϕ(k) = x k =k , 1 ).k 26.3 Määritelmä. Avaruuden R n jono (x k ) suppenee kohti pistettä a ∈ R n , joslim ||x k − a|| = 0.k→∞Tällöin merkitäänlim x k = a tai x k → a, kun k → ∞,k→∞ja pistettä a sanotaan jonon (x k ) raja-arvoksi. Jos jono ei suppene, sitä sanotaan hajaantuvaksi.6.4 Esimerkki. Jonolle x k = ( 1k , 1k 2 ), k ∈ N, onsillälim x k = (0, 0),k→∞||x k − (0, 0)|| =∣ 1∣∣( k , 1 )∣∣ √ (1 ∣∣∣ ∣∣∣ 2 ( ) 2 1= + → 0, kun k → ∞.k k) 2 k 26.5 Huomautus. Suppenevan jonon raja-arvo on yksikäsitteinen. Toisin sanoen jos x k → a jax k → b, kun k → ∞, niin a = b.Avaruuden R n jonoilla on luonnollisella tavalla määritellyt komponenttijonot, jotka ovat reaalilukujonoja:kun (x k ) ⊂ R n , niin jonon jokainen termi on muotoax k = (x k,1 , x k,2 , . . .,x k,n ),jolloin jokaisella i ∈ {1, 2, . . ., n} jonon termien i:nnet koordinaatit muodostavat reaalilukujonon(x k,i ) ∞ k=1 .6.6 Esimerkki. Jonolla x k = ( 1k , 1k 2 ), k ∈ N, on komponenttijonotx k,1 = 1 k , k ∈ N, ja x k,2 = 1 k2, k ∈ N.

Seuraava lause antaa yhteyden avaruuden R n jonon ja sen reaalisten komponenttijonojen suppenemiselle.6.7 Lause. Avaruuden R n jonolle (x k ) on voimassalim x k = ak→∞jos ja vain jos jokaisella i = 1, 2, . . ., n reaaliselle komponenttijonolle (x k,i ) k päteelim x k,i = a i ,k→∞missä x k = (x k,1 , x k,2 , . . .,x k,n ) ja a = (a 1 , a 2 , . . .,a n ). Erityisesti, avaruuden R n jono suppeneejos ja vain jos sen jokainen komponenttijono suppenee.6.8 Esimerkki. Jonolle x k = ( 1, ) 1k k , k ∈ N,2( 1k , 1 )k 2sillälimk→∞1limk→∞ k = 0 ja= (0, 0),limk→∞1k 2 = 0.6.9 Määritelmä. Jono (y j ) ∞ j=1 on jonon (x k ) ∞ k=1 osajono, jos on olemassa kasvava jono luonnollisialukuja k 1 < k 2 < k 3 < . . . siten, ettäy j = x kj kaikilla j ∈ N(toisin sanoen y 1 = x k1 , y 2 = x k2 , y 3 = x k3 ,...). Osajono saadaan siis alkuperäisestä jonostajättämällä pisteitä välistä pois ja indeksoimalla jono uudelleen. Tavallisesti jonon (x k ) k osajonollekäytetään merkintää (x kj ) j .6.10 Esimerkki. Jono x k = (1, (−1) k ), k ∈ N, hajaantuu, sillä sen komponenttijono x k,2 =(−1) k , k ∈ N, hajaantuu. Jonolla (x k ) k on kuitenkin useitakin suppenevia osajonoja, esimerkiksiosajonotx 2k = (1, (−1) 2k ) = (1, 1), k ∈ N,jax 2k−1 = (1, (−1) 2k−1 ) = (1, −1), k ∈ N.6.11 Määritelmä. Jono (x k ) ⊂ R n on rajoitettu, jos joukko {x k : k ∈ N} on rajoitettu, toisinsanoen jos on olemassa M > 0 siten, että ||x k || ≤ M kaikilla k ∈ N.Suppeneva jono on aina rajoitettu (HT), mutta edellä olevan esimerkin 6.10 perusteella rajoitettujono ei ole aina suppeneva. Rajoitetulle jonolle pätee kuitenkin:6.12 Lause. Avaruuden R n rajoitetulla jonolla (x k ) on aina suppeneva osajono (x kj ) j .Todistus: Merkitään A = {x k : k ∈ N}. Jos A on äärellinen, niin jokin joukon A alkiotoistuu jonossa (x k ) äärettömän monta kertaa. Toisin sanoen jollekin alkiolle a ∈ A on x k = aäärettömän monella k ∈ N. Tässä tapauksessa tämä vakiojono käy vaadituksi suppenevaksiosajonoksi.Jos A on ääretön, niin sillä on Bolzano-Weierstrassin lauseen (lause 4.22) nojalla kasautumispistea ∈ R n . Valitaan nyt osajono (x kj ) seuraavasti: Olkoon x k1 = x 1 . Koska a on joukon

A kasautumispiste, on B(a, r) ∩ A ääretön jokaisella r > 0 (lauseen 4.20 kohta (1)). Niinpäjokaisella j = 2, 3, . . . löytyy pisteTällöin (x kj ) on jonon (x k ) osajono jax kj ∈ (B(a, 1/j) \ {a}) ∩ {x i : i > k j−1 }.||x kj − a|| < 1 j→ 0, kun j → ∞,elilim x k j= a.j→∞□Ohjaustehtäviä22. Tutki, suppeneeko tason R 2 jono (x k ) k , kuna) x k = (1/k, (−1) k /k),b) x k = ((k − 1)/k, log k).Onko jonolla suppenevaa tai hajaantuvaa osajonoa?23. Osoita, että suppenevan jonon jokainen osajono on suppeneva.