Luku 6 - Koppa

Seuraava lause antaa yhteyden avaruuden R n jonon ja sen reaalisten komponenttijonojen suppenemiselle.6.7 Lause. Avaruuden R n jonolle (x k ) on voimassalim x k = ak→∞jos ja vain jos jokaisella i = 1, 2, . . ., n reaaliselle komponenttijonolle (x k,i ) k päteelim x k,i = a i ,k→∞missä x k = (x k,1 , x k,2 , . . .,x k,n ) ja a = (a 1 , a 2 , . . .,a n ). Erityisesti, avaruuden R n jono suppeneejos ja vain jos sen jokainen komponenttijono suppenee.6.8 Esimerkki. Jonolle x k = ( 1, ) 1k k , k ∈ N,2( 1k , 1 )k 2sillälimk→∞1limk→∞ k = 0 ja= (0, 0),limk→∞1k 2 = 0.6.9 Määritelmä. Jono (y j ) ∞ j=1 on jonon (x k ) ∞ k=1 osajono, jos on olemassa kasvava jono luonnollisialukuja k 1 < k 2 < k 3 < . . . siten, ettäy j = x kj kaikilla j ∈ N(toisin sanoen y 1 = x k1 , y 2 = x k2 , y 3 = x k3 ,...). Osajono saadaan siis alkuperäisestä jonostajättämällä pisteitä välistä pois ja indeksoimalla jono uudelleen. Tavallisesti jonon (x k ) k osajonollekäytetään merkintää (x kj ) j .6.10 Esimerkki. Jono x k = (1, (−1) k ), k ∈ N, hajaantuu, sillä sen komponenttijono x k,2 =(−1) k , k ∈ N, hajaantuu. Jonolla (x k ) k on kuitenkin useitakin suppenevia osajonoja, esimerkiksiosajonotx 2k = (1, (−1) 2k ) = (1, 1), k ∈ N,jax 2k−1 = (1, (−1) 2k−1 ) = (1, −1), k ∈ N.6.11 Määritelmä. Jono (x k ) ⊂ R n on rajoitettu, jos joukko {x k : k ∈ N} on rajoitettu, toisinsanoen jos on olemassa M > 0 siten, että ||x k || ≤ M kaikilla k ∈ N.Suppeneva jono on aina rajoitettu (HT), mutta edellä olevan esimerkin 6.10 perusteella rajoitettujono ei ole aina suppeneva. Rajoitetulle jonolle pätee kuitenkin:6.12 Lause. Avaruuden R n rajoitetulla jonolla (x k ) on aina suppeneva osajono (x kj ) j .Todistus: Merkitään A = {x k : k ∈ N}. Jos A on äärellinen, niin jokin joukon A alkiotoistuu jonossa (x k ) äärettömän monta kertaa. Toisin sanoen jollekin alkiolle a ∈ A on x k = aäärettömän monella k ∈ N. Tässä tapauksessa tämä vakiojono käy vaadituksi suppenevaksiosajonoksi.Jos A on ääretön, niin sillä on Bolzano-Weierstrassin lauseen (lause 4.22) nojalla kasautumispistea ∈ R n . Valitaan nyt osajono (x kj ) seuraavasti: Olkoon x k1 = x 1 . Koska a on joukon