Luvut 8-9 - Koppa

9.3 Seuraus (Bolzanon lause). Yhtenäisessä joukossa A ⊂ R n jatkuva reaaliarvoinen kuvaus
f : A → R saa kaikilla a ∈ f(A) ja b ∈ f(A), a < b, jokaisen arvon c ∈ (a, b).
Yksinkertaisenkin joukon toteaminen yhtenäiseksi suoraan yhtenäisyyden määritelmän avulla
on yleensä vaikeaa, joten tarvitsemme lisää keinoja joukon yhtenäisyyden selvittämiseen.
9.4 Määritelmä. Suljetulla välillä [a, b] ⊂ R määritelty jatkuva kuvaus γ : [a, b] → A on
joukon A polku. Kuvauksen γ arvojoukko γ([a, b]) ⊂ A on polun kuva eli käyrä joukossa A.
9.5 Esimerkki. Avaruuden R n pisteet x ja y voidaan yhdistää janakuvauksella
Janakuvauksen kuvajoukko on jana
γ : [0, 1] → R n , γ(t) = x + t(y − x).
J(x, y) := {x + t(y − x) ∈ R n : t ∈ [0, 1]}.
9.6 Määritelmä. Joukko A ⊂ R n on polkuyhtenäinen, jos mitkä tahansa kaksi pistettä x, y ∈ A
voidaan yhdistää polulla joukossa A, toisin sanoen jos on olemassa jatkuva kuvaus γ : [a, b] → A
siten, että γ(a) = x ja γ(b) = y.
9.7 Esimerkki. Esimerkin 9.5 perusteella R n on polkuyhtenäinen: sen mitkä tahansa kaksi
pistettä voidaan yhdistää janakuvauksella joukossa R n .
9.8 Huomautus. 1) Joukkoa A ⊂ R n sanotaan konveksiksi, jos sen jokaiselle pisteparille x
ja y niitä yhdistävä jana J(x, y) ⊂ A. Edellisen esimerkin perusteella avaruus R n on konveksi.
Myös avaruuden R n avoimet ja suljetut pallot B(x, r) ja B(x, r) ovat konvekseja (HT).
2) Konveksi joukko on polkuyhtenäinen.
Kuten yhtenäisyys, myös polkuyhtenäisyys säilyy jatkuvassa kuvauksessa:
9.9 Lause. Jos joukko A ⊂ R n on polkuyhtenäinen ja kuvaus f : A → R m on jatkuva, niin
myös kuvajoukko f(A) ⊂ R m on polkuyhtenäinen.
Miten yhtenäisyys ja polkuyhtenäisyys suhtautuvat toisiinsa
9.10 Lause. Polkuyhtenäinen joukko A ⊂ R n on yhtenäinen.
Todistus: Oletetaan, että A ⊂ R n on polkuyhtenäinen.
Antiteesi: A on epäyhtenäinen.
Tällöin on olemassa avoimet joukot U, V ⊂ R n siten, että
(i) A ⊂ U ∪ V ,
(ii) A ∩ U ≠ ∅ ≠ A ∩ V ja
(iii) A ∩ U ∩ V = ∅.
Olkoon x ∈ A ∩ U ja y ∈ A ∩ V . Olkoon lisäksi γ : [a, b] → A polku, joka yhdistää pisteet x ja
y joukossa A. Tällöin siis γ(a) = x ja γ(b) = y. Koska γ on jatkuva, ovat alkukuvat γ −1 (U) ja
γ −1 (V ) joukon [a, b] suhteen avoimia. Niinpä on avoimet joukot U 0 , V 0 ⊂ R siten, että
Mutta nyt
(i) [a, b] ⊂ U 0 ∪ V 0 ,
γ −1 (U) = U 0 ∩ [a, b]
ja γ −1 (V ) = V 0 ∩ [a, b].