Luvut 8-9 - Koppa

More documents

Recommendations

Info

Tarkastellaan nyt palloja B(x, δ x /2), missä x ∈ K. Ne peittävät joukon K, ja koska K on kompakti, jo äärellisen monta niistä riittää peittämään joukon K. Olkoot ne B(x 1 , δ x1 /2), . . ., B(x p , δ xp /2). Valitaan nyt δ = min{δ x1 /2, . . ., δ xp /2}, ja osoitetaan, että tämä δ kelpaa. Olkoot x, y ∈ K siten, että ||x−y|| < δ. Tällöin x on jossakin edellä mainituista palloista B(x i , δ xi /2). Edelleen Nyt ||y − x i || = ||y − x + x − x i || △-ey ≤ ||y − x|| + ||x − x i || < δ + δ x i 2 ≤ δ x i 2 + δ x i 2 = δ x i . ||f(x) − f(y)|| △-ey ≤ ||f(x) − f(x i )|| + ||f(x i ) − f(y)|| < ε 2 + ε 2 = ε. 8.9 Seuraus. Joukossa A ⊂ R n jatkuva kuvaus f : A → R m on tasaisesti jatkuva jokaisessa rajoitetussa joukossa B ⊂ A, jolle B ⊂ A. □ Ohjaustehtäviä 31. Oletetaan, että joukot K 1 , K 2 ⊂ R n ovat kompakteja. Osoita, että K 1 ∩ K 2 on kompakti. 32. Anna esimerkki joukoista A ja B, joista kumpikaan ei ole kompakti, mutta A ∩ B on kompakti. 33. Tarkastellaan funktiota f : [−1, 1] 2 → R, f(x, y) = x 2 + y 2 . a) Osoita, että f saavuttaa sekä suurimman että pienimmän arvonsa. b) Missä pisteissä suurin ja pienin arvo saavutetaan ja mitkä ne ovat c) Saavuttaako f suurimman ja pienimmän arvonsa joukossa (−1, 1) 2
Euklidiset avaruudet, syksy 2007 Anu Kähkönen 9 Yhtenäisyys Edellisen luvun perusteella suljetussa ja rajoitetussa joukossa A ⊂ R n jatkuva funktio f : A → R saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa. Mitä muuta voimme sanoa funktion f arvoista Analyysi 1:llä on todistettu seuraava lukiostakin tuttu reaalifunktioita koskeva tulos: Suljetulla ja rajoitetulla välillä jatkuva funktio f : [a, b] → R saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa sekä kaikki niiden välissä olevat arvot. Karkeasti sanoen edellä oleva lause on totta siksi, että väli [a, b] koostuu vain yhdestä palasta, jolloin myös sen kuvajoukko jatkuvassa kuvauksessa f on koostuu vain yhdestä palasta. Täsmällisemmin tämä ilmaistaan yhtenäisyyden käsitteen avulla. Osoitamme tässä luvussa, että yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen. Intuitiivisesti ajatellen joukko on epäyhtenäinen, jos siinä on ainakin kaksi erillistä osaa, ja yhtenäinen, jos mitkä tahansa joukon kaksi pistettä voidaan yhdistää toisiinsa joukon sisällä. Osoittautuu, että jälkimmäinen ominaisuus, ns. polkuyhtenäisyys, on yhtenäisyyttä rajaavampi käsite. 9.1 Määritelmä. Joukko A ⊂ R n on epäyhtenäinen, jos on olemassa avoimet joukot U ⊂ R n ja V ⊂ R n siten, että (i) A ⊂ U ∪ V , (ii) A ∩ U ≠ ∅ ≠ A ∩ V ja (iii) A ∩ U ∩ V = ∅. Joukko A on yhtenäinen, jos tällaisia joukkoja U ja V ei löydy, toisin sanoen jos A ei ole epäyhtenäinen. Seuraavan lauseen mukaan yhtenäisyys säilyy jatkuvassa kuvauksessa: 9.2 Lause. Jos joukko A ⊂ R n on yhtenäinen ja kuvaus f : A → R m on jatkuva, niin myös kuvajoukko f(A) ⊂ R m on yhtenäinen. Todistus: Oletetaan, että avoimille joukoille U ′ , V ′ ⊂ R m pätee f(A) ⊂ U ′ ∪ V ′ ja f(A) ∩ U ′ ∩ V ′ = ∅. Osoitetaan, että f(A) ∩ U ′ = ∅ tai f(A) ∩ V ′ = ∅, jolloin f(A) on yhtenäinen. Lauseen 7.30 nojalla alkukuvat f −1 (U ′ ) ja f −1 (V ′ ) ovat joukon A suhteen avoimia, joten on olemassa avoimet joukot U, V ⊂ R n siten, että f −1 (U ′ ) = U ∩ A ja f −1 (V ′ ) = V ∩ A. Koska f(A) ⊂ U ′ ∪ V ′ , on A ⊂ U ∪ V . Toisaalta A ∩ U ∩ V = (A ∩ U) ∩ (A ∩ V ) = f −1 (U ′ ) ∩ f −1 (V ′ ) = ∅, sillä f(A) ∩ U ′ ∩ V ′ = ∅. Nyt joukon A yhtenäisyydestä seuraa, että A ∩ U = ∅ tai A ∩ V = ∅, jolloin Niinpä f(A) on yhtenäinen. f(A) ∩ U ′ = ∅ tai f(A) ∩ V ′ = ∅. □
Page 1 and 2: Euklidiset avaruudet, syksy 2007 An
Page 3: Puolitetaan välin I jokainen sivu,
Page 7 and 8: (ii) [a, b] ∩ U 0 ≠ ∅ ≠ [a,

Luvut 8-9 - Koppa

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?