Luvut 8-9 - Koppa

More documents

Recommendations

Info

2) Pallot B k := B(0, 1 − 1/k), k ∈ N, muodostavat joukon B(0, 1) ⊂ R n avoimen peitteen, sillä ⋃ B k = B(0, 1). k∈N Mikään äärellinen osakokoelma palloja B k ei riitä peittämään yksikköpalloa B(0, 1), joten B(0, 1) ei ole kompakti. Joukon osoittaminen kompaktiksi suoraan määritelmän avulla on yleensä vaikeaa. Onko esimerkiksi [0, 1] × [0, 1] ⊂ R 2 kompakti vai ei Se, ettei löydä avointa peitettä, jolla ei olisi äärellistä alipeitettä, ei käy kompaktiuden perusteluksi, vaan pitäisi osoittaa, että millä tahansa joukon [0, 1]×[0, 1] ⊂ R 2 avoimella peitteellä on äärellinen alipeite. Ei riitä tutkia edes kaikkia avoimia pallopeitteitä (ts. peitteitä, jonka kaikki joukot ovat avoimia palloja). Yleensä joukko osoitetaan kompaktiksi seuraavan lauseen avulla: 8.5 Lause (Heine-Borel). Joukko K ⊂ R n on kompakti jos ja vain jos se on suljettu ja rajoitettu. Todistus: ”=⇒” K on rajoitettu: Olkoon U i = B(0, i) kaikilla i ∈ N, jolloin {U i } i∈N on joukon K avoin peite. Joukon K kompaktiudesta seuraa, että tällä peitteellä on äärellinen alipeite. Toisin sanoen on olemassa joukot U i1 ,U i2 ,...,U ip siten, että p⋃ K ⊂ U ij . Kun asetetaan r = max{i 1 , i 2 , . . .,i p }, niin K ⊂ B(0, r). Niinpä K on rajoitettu joukko. j=1 K on suljettu: Osoitetaan, että K sisältää kasautumispisteensä, jolloin K on lauseen 4.20 kohdan (2) nojalla suljettu. Antiteesi: joukolla K on kasautumispiste a, joka ei ole joukossa K. Määritellään nyt kaikilla i ∈ N joukot jolloin jokainen U i on avoin ja U i = R n \ B(a, 1/i), ⋃ U i = R n \ {a} ⊃ K. i∈N Niinpä {U i } i∈N on joukon K avoin peite, ja joukon K kompaktiuden nojalla tällä peitteellä on äärellinen alipeite {U ij } p j=1 . Kun valitaan r = min{1/i 1, 1/i 2 , . . .,1/i p }, niin K ⊂ p⋃ U ij = R n \ B(a, r). j=1 Nyt B(a, r) ∩ K = ∅, joten a ei voi olla joukon K kasautumispiste, mikä on ristiriita. ”⇐=” Oletetaan, että joukko K on suljettu ja rajoitettu. Antiteesi: K ei ole kompakti. On siis olemassa joukon K avoin peite {U α } α∈J , jolla ei ole äärellistä alipeitettä. Tehdään nyt samantapainen päättely kuin Bolzano-Weierstrassin lauseen (lause 4.22) todistuksessa: Koska K on rajoitettu, niin jollekin r > 0 K ⊂ I := [−r, r] n .
Puolitetaan välin I jokainen sivu, jolloin I jakautuu 2 n osaväliin. Valitaan näistä sellainen osaväli I 1 , jolla I 1 ∩ K ei peity äärellisen monella U α . Näin käy ainakin yhdellä osavälillä. Jatketaan samaan tapaan, jolloin saadaan jono n-välejä siten, että I ⊂ I 1 ⊂ I 2 ⊂ . . . 1) I k ∩ K ei peity äärellisen monella U α , ja 2) välien I k sivujen pituudet lähestyvät nollaa, kun k → ∞. Valitaan nyt jokaisella k ∈ N piste x k ∈ I k ∩ K. Tällöin saadaan rajoitettu jono (x k ), jolla on lauseen 6.12 nojalla suppeneva osajono (x kj ) j . Merkitään jolloin a := lim j→∞ x kj , ∞⋂ (I k ∩ K) = {a} : k=1 Ensinnäkin kaikilla k ∈ N on x kj ∈ I k ∩ K, kun k j > k (sillä I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . .). Lisäksi joukot I k ∩ K ovat suljettuja, joten a = lim j→∞ x kj ∈ I k ∩ K kaikilla k ∈ N. Toisaalta joukkojen I k ∩ K leikkauksessa voi olla korkeintaan yksi piste, koska n-välien I k sivujen pituudet lähestyvät nollaa. Nyt erityisesti a ∈ K ⊂ ⋃ α∈J U α , joten a ∈ U α0 jollakin α 0 ∈ J. Niinpä on olemassa s > 0 siten, että B(a, s) ⊂ U α0 . Välien I k sivujen pituudet lähestyvät nollaa, kun k → ∞, joten valitsemalla k riittävän suureksi I k ∩ K ⊂ B(a, s) ⊂ U α0 . Tämä on kuitenkin ristiriita, sillä välit I k valittiin siten, että I k ∩K ei peity äärellisen monella U α . □ Seuraavan lauseen mukaan kompaktius säilyy jatkuvassa kuvauksessa: 8.6 Lause. Jos K ⊂ R n on kompakti ja f : K → R m on jatkuva, niin myös kuvajoukko f(K) ⊂ R m on kompakti. 8.7 Seuraus. Kompaktissa joukossa K ⊂ R n jatkuva reaaliarvoinen kuvaus f : K → R saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa. Seuraavan lauseen mukaan kompaktissa joukossa jatkuva kuvaus on tasaisesti jatkuva: 8.8 Lause. Olkoon K ⊂ R n kompakti ja f : K → R m jatkuva. Tällöin f on tasaisesti jatkuva. Todistus: Olkoon ε > 0. Koska f on jatkuva, jokaiselle x ∈ K löytyy δ x > 0 siten, että ||f(x) − f(y)|| < ε 2 , kun y ∈ K ja ||x − y|| < δ x.
Page 1: Euklidiset avaruudet, syksy 2007 An
Page 5 and 6: Euklidiset avaruudet, syksy 2007 An
Page 7 and 8: (ii) [a, b] ∩ U 0 ≠ ∅ ≠ [a,

Luvut 8-9 - Koppa

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?