2. Analyyttinen geometria

100 2. Analyyttinen geometria.doc Matematiikan historia aihealueittainKäyrä on algebrallinen, jos ordinaatta y on abskissan x algebrallinen funktio... tällaista käyrääon totuttu kutsumaan geometriseksi. Transsendentaalinen käyrä on sellainen, joka voidaanilmaista x:n ja y:n transsendentaalisella yhtälöllä. 52Algebrallisten käyrien luokittelun pohjana Euler käyttää Newtonin esimerkin mukaanyhtälön astelukua. Toisen asteen käyrien tarkastelun Euler aloittaa yleisestämuodosta αy 2 + βyx +γx 2 +δy +εx +ζ = 0. Hän kirjoittaa yleisesti liittyen toisen asteenkäyriin:€Nämä ovat käyristä yksinkertaisimpia ja niillä on laajimmat sovelluskohteet kautta koko sofistikoituneengeometrian. Näillä käyrillä, joita kutsutaan myös kartioleikkauksiksi on joitain varsinmerkittäviä ominaisuuksia, joista osa tunnettiin jo antiikin aikana ja joista osa on tullut valoonaivan viime aikoina. Tieto näistä ominaisuuksista on arvioitu niin tärkeäksi että hyväjoukko kirjailijoita käsittelee tätä materiaalia geometrian perusteiden yhteydessä. Kuitenkaankaikkia näitä ominaisuuksia ei voida johtaa yhdestä periaatteesta. Jotkut ovat selviä välittömästiyhtälön perusteella, toiset ominaisuudet nousevat kartion leikkaamisesta ja jotkut riippuvatvielä muista perusteista. Me tutustumme täällä vain niihin ominaisuuksiin, jotka seuraavatsuoraan yhtälöstä. 53Euler käsittelee Descartesin tapaan hieman yhtälöiden rakentamista ja graafistaratkaisua, mutta ei anna sille juurikaan painoa, vaan toteaa käsittelyn lopuksi, ettätämä on pelkkä kuriositeetti eikä lainkaan hyödyllistä. Näin siis sadan vuoden kuluessaeräs koko karteesisen geometrian päämääristä, yhtälön graafinen ratkaiseminenkahden tasokäyrän leikkauspisteiden avulla oli muodostunut vain kiinnostavaksisivujuonteeksi vailla hyötyä.Kaiken kaikkiaan Eulerin käsittelee analyyttisen geometrian sekä algebrallisten jatranssendenttisten funktioiden kuvaajien teoriaa hyvin laajasti, kaikkiaan 22 kappaleenja useiden satojen sivujen verran. Merkittävämpää kuin käydä läpi koko Eulerinlaajan teoksen sisältä on todeta, että siinä Euler antoi ensimmäisen täysin analyyttisen,systemaattinen ja yleisen käsittelyn analyyttiselle geometrialle. Introductiostasopisi vaikka valita soveltuvin osin teoriaosuus analyyttisen geometriankurssin oppikirjaan niin sisältönsä kuin merkintöjensäkin puolesta.CramerEulerin Introductionissa analyyttinen geometria ”kasvoi aikuisuuteen”. Ainoastaantavanomainen koordinaatisto odotti vielä tuloaan, muilta osin peruskäsitteet olivatkunnossa. Tosin kahden akselin järjestelmä on osittain enää tekninen uudistus. Ensimmäisenkerran kahta akselia käytti sveitsiläinen Genevestä syntyisin ollut matemaatikkoGabriel Cramer teoksessaan Introduction d l'analyse des lignes courbesalgébriques (1750). Erikoista teoksessa on, että vaikka se ilmestyi Eulerin Introductionjälkeen, ei siinä ole lainkaan vaikutteita Eulerilta. Cramer itse arveli, ettäjos Eulerin teos olisi ilmestynyt hieman aiemmin olisi se ollut hyvin hyödyllinenhänen kannaltaan. Nyt Cramer kuitenkin viittaa vain mm. Newtoniin. Kahden akselinesiintymisen lisäksi toinen asia, mistä Cramerin kirja on hyvä muistaa, on edelleenkäytössä oleva Cramerin sääntö 54 , jonka hän esittelee tässä teoksessa. Sääntöoli ollut ilmeisesti jo mm. englantilaisen Maclaurinin tiedossa, mutta tuli tunnetuksivasta Cramerin teoksen kautta. 55 Cramer, kuten Maclaurinkaan, ei käyttänyt matriisejatai determinantteja, mutta säännön oleellinen sisältö oli heille tuttu. Kirjassa52 Euler, Introductio II, s. 853 Euler, Introductio II, s. 44 ja 13754 Olkoon yhtälöryhmä Ax = b, missä A onn × n matriisi. MerkitäänA j:llä matriisia, joka on saatu A:sta korvaamallasarake j vektorilla b. Tällöin yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu55 DSB€€x 1 = det A 1det A ,x 2 = det A 2det A , ...,x n = det A ndet A .erkki.luoma-aho@jkl.fi€€€