Chapitre 3: Méthodes d'estimation et tests classiques sur un ... - lmpt

test consiste en général à définir une zone de rejet pour une statistique convenable qui rend
bien compte du problème. On dira alors que le test est justifié si étant donné un risque (de
première espèce) α ∈]0, 1[, on a
PH0(rejeter H0) ≤ α.
3.2 Estimation de la moyenne d’une loi normale et test de Student ;
cas où la variance n’est pas connue
A. Estimation de la moyenne
Soit X = (X1, . . . , Xn) est un n-échantillon de la loi normale N (m, σ 2 ). Comme dans le
paragraphe précédent, on cherche à estimer le paramètre m mais ici σ 2 n’est pas supposée
connue (ce qui correspond à une vision plus réaliste des situations pratique). On va donc
utiliser la variance empirique S 2 de l’échantillon comme estimateur de σ 2 et la variable
aléatoire
(19) Tn−1 =
√
n( X¯ − m)
,
S
qui suit la loi de Student tn−1 à n − 1 degrés de liberté, comme statistique fondamentale
pour déterminer un intervalle de confiance. Ainsi étant donné le risque α ∈]0, 1[, on utilise
la table de la loi tn−1, pour déterminer le "seuil" t(n−1, α
2 ) tel que
(20) P(tn−1 ≥ t(n−1, α
2 )) = α
2 .
On a alors
√
n( X¯ − m)
(21) P
S
≤ t(n−1, α
2 )
= 1 − α,
c’est à dire
(22) P ¯X − t(n−1, α
2 )
S
√ ≤ m ≤
n ¯ X + t(n−1, α
2 )
S
√ = 1 − α,
n
ce qui nous donne pour m un intervalle de confiance bilatéral au niveau de confiance 1 − α
égal à
(23)
¯X − t(n−1, α
2 )
S
√ ,
n ¯ X + t(n−1, α
2 )
S
√ .
n
Exercice : Déterminer des intervalles de confiance unilatéraux pour m en Utilisant les
nombres t(n−1,a) tels que
(24) P(tn−1 ≥ t(n−1,a)) = a (a ∈]0, 1[).
B. Le test de Student
La méthode d’estimation précédente est équivalente au test suivant :
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