Chapitre 3: Méthodes d'estimation et tests classiques sur un ... - lmpt

2) (C.S.) Si X = (X1, . . . , Xn) est un vecteur aléatoire de fonction de caractéristique φX(t) =
exp(− 1
2 σ2 ||t|| 2 ) (t = (t1, . . . , tn) ∈ R n ), alors pout tout k = 1, . . . , n, on a
φXk (tk)
σ2
−
= φX(0, . . . , 0, tk, 0, . . . , 0) = e 2 t2 k.
Ce qui montre que Xk est de loi N (0, σ 2 ). De plus comme pour tout t ∈ R n , φX(t) =
n
k=1 φXk (tk), les variables aléatoires Xk sont indépendantes.
Remarque : Si X est un n-échantillon de la loi normale N (0, σ 2 ), alors pour tout t ∈ R n ,
la variable aléatoire réelle < t|X > (produit scalaire de t et X) est de loi N (0, σ 2 ||t|| 2 ) car
pour u ∈ R,
(8) φ(u) = E(e iu ) = E(e i σ2
−
) = e 2 ||ut||2
= e − σ2 ||t|| 2
u 2
2
est la fonction caractéristique de la loi N (0, σ 2 ||t|| 2 ).
Théorème 1.8 (de Cochran) : Soit X = (X1, . . . , Xn) un n-échantillon de la loi normale
N (0, σ 2 ). Alors :
1) les composantes de X dans toute base orthonormale de R n , forment aussi un n-échantillon
de la loi N (0, σ 2 ).
2) Le transformé du vecteur X par une transformation orthogonale de R n , est toujours un
n-échantillon de la loi N (0, σ 2 ).
3) Soit E1 ⊕· · ·⊕Ep une décomposition de R n en p sous espaces vectoriels deux à deux orthogonaux
et de dimensions respectives r1, . . . , rp. Alors les vecteurs aléatoires XE1, . . . , XEp projections
orthogonales respectives de X sur E1, . . . , Ep, sont indépendants. De plus les variables
aléatoires ||XE1|| 2 , . . . , ||XEp|| 2 sont indépendantes et de lois respectives σ 2 χ 2 r1 , . . . , σ2 χ 2 rp .
démonstration : Soit v1, . . . , vn une base orthonormale de R n . On a évidemment X =
n
k=1 < X|vk > vk. Le vecteur X ′ = (< X|v1 >, . . . , < X|vn >) a pour fonction caractéris-
tique
φX ′(t) = E(ei n k=1 tk i
= φX(
n
k=1
tkvk) = exp − 1
2 σ2 ||
n
k=1
tkvk|| 2 = exp − 1
2 σ2 ||t|| 2 ,
d’après le théorème 1.5 et en utilisant le fait que (vk) est une base orthonormale pour affirmer
que || n k=1 tkvk|| 2 = n k=1 t2k = ||t||2 . Du théorème 1.5, on obtient alors que X ′ est un
n-échantillon de la loi N (0, σ2 ).
2) Cette assertion n’est qu’une formulation équivalente de 1). En effet soit A une matrice
orthogonale n × n. Par définition ses vecteurs lignes v1, . . . , vn, forment une base orthonormale
de Rn . Le vecteur AX transformé de X par l’action de la matrice A est le vecteur de
Rn de coordonnées < X|v1 >, . . . , < X|vn > (dans la base canonique) donc c’est encore un
n-échantillon de la loi N (0, σ2 ) d’après le 1).
3) Choisissons dans chaque sous espace Ej une base orthonormale {vj,1, . . . , vj,rj } et munissons
Rn de la base orthonormale B obtenue en réunissant toutes ces bases. La projection
orthogonale XEj du vecteur aléatoire X sur Ej, est alors égale à
XEj =
rj
< X|vj,k > vj,k
k=1
4