Chapitre 3: Méthodes d'estimation et tests classiques sur un ... - lmpt

4 Annexe
4.1 Théorème limite central dans R k , loi multinomiale et convergence
vers la loi du Chi-deux
A. Le théorème limite central dans R k :
Soit X1, . . . , Xn un n-échantillon issu d’une loi F sur R k de moyenne m et de matrice de
covariance Γ. On rappelle (cf. le cours de Probabilités) que :
(31)
1
√ n (X1 + · · · + Xn − nm) → Nk(0, Γ) en loi (n → ∞),
où Nk(0, Γ) est une loi gaussienne sur Rk , centrée et de matrice de covariance Γ. Si Y est un
vecteur aléatoire de loi Nk(0, Γ), il a une fonction caractéristique φ(t) = E(ei ) (t ∈ Rk )
donnée par
(32) φ(t) = exp
− 1
2
< t|Γt > ,
et lorsque Γ est inversible, une densité donnée par
1
(33) f(x) =
(2π) k/2 |Γ| exp
− 1
2 < x|Γ−1
x > ,
où |Γ| désigne le déterminant de la matrice Γ.
B. La loi multinomiale (Rappel) :
Notation : Toute mesure de probabilité concentrée sur l’ensemble {1, 2, . . . , k} des entiers
entre 1 et k, est représentée par un vecteur ligne
(34) p = (p1, . . . , pk).
Soit n ≥ 1 un entier fixé et (X1, . . . , Xn) un n-échantillon d’une loi p = (p1, . . . , pk) portée
par {1, 2, . . . , k}. Pour chaque 1 ≤ i ≤ k, on considère la variable aléatoire
(35) Ni =
n
j=1
1[Xj=i].
La loi du vecteur aléatoire N = (N1, . . . , Nk) est la loi multinomiale de paramètres (n; p1, . . . , pk)
(voir le chapitre 2).
Théorème 4.1 :
N1 − np1
(36) lim √ , . . . ,
n→∞ np1
Nk
− npk L=
√ Nk(0, Γ),
npk
où Γ = Ik− √
pipj
1≤i,j≤k . De plus Nk(0, Γ) est une loi gaussienne dégénérée qui est la projection
d’un vecteur Nk(0, Ik) sur l’hyperplan de Rk orthogonal au vecteur √ p = ( √ p1, . . . , √ pk).
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