Chapitre 3: Méthodes d'estimation et tests classiques sur un ... - lmpt

4.3.2 Espérance et variance de la loi de Fisher-Snedecor
Supposons n2 ≥ 3. La formule (39) avec g(u) = u, nous donne
E(F ) = 2−(n1+n2)
Γ( n1 n2 )Γ( 2 2 )
Γ( n1
2
n2 )Γ( 2 )
n2
n1
x n 1
2 y n 2
2 −2 e −(x+y)/2 dxdy
n1 R+×R+
= 2−(n1+n2)
Γ( n1 n2 )Γ( 2 2 )
+∞
n2
x
n1 0
n1 2 e −x/2 +∞
dx y
0
n2 −2 −y/2 2 e dy
= 2−(n1+n2)
Γ( n1 n2 )Γ( 2 2 )
+∞
n2
x
n1 0
n1 +2
2 −1 e −x/2 +∞
dx y
0
n2−2 2 −1 e −y/2 dy
= 2−(n1+n2) n2
2 n1+2 n1 + 2
Γ( )2
2
n2−2 n2 − 2
Γ( )
2
d’après l’expression de la densité du chi-deux à n1 + 2 (resp. n2 − 2) degrés de liberté pour
la valeur de l’intégrale ci-dessus en dx (resp. en dy). Mais puisque Γ( n1+2
) = 2 n1 n1 Γ( ) et
2 2
Γ( n2
2 = n2
2 − 1 Γ n2
2 − 1 , l’expression précédente se simplifie et on obtient
E(F ) = n2
n2 − 2
Remarque : 1) Pour n2 ≤ 2, E(F ) n’existe pas.
(si n2 ≥ 3).
2) E(F ) ne dépend pas de n1 (nombre de degrés de liberté du numérateur de F ).
Calculons maintenant le moment d’ordre 2 de F . Supposons n2 ≥ 5. En prenant la fonction
g(u) = u 2 dans la formule (39), on obtient
E(F 2 ) = 2−(n1+n2)
Γ( n1
2
)Γ( n2
2 )
= 2−(n1+n2)
Γ( n1
2
)Γ( n2
2 )
= 2−(n1+n2)
Γ( n1
2
)Γ( n2
2 )
= 2−(n1+n2)
Γ( n1
2
)Γ( n2
2 )
n2
n1
n2
n1
n2
n1
2 n2
n1
2
2 +∞
0
2 +∞
0
x n 1
2 +1 y n 2
2 −3 e −(x+y)/2 dxdy
R+×R+
x n +∞
1 +1 −x/2 2 e dx y
0
n2 −3 −y/2 2 e dy
x n1 +4
2 −1 e −x/2 +∞
dx y
0
n2−4 2 −1 e −y/2 dy
2 n1+4 Γ( n1 + 4
2
)2 n2−4 n2 − 4
Γ( )
2
Après simplification des fonctions Γ comme dans le point 1), on obtient
D’où on déduit
E(F 2 ) =
Var(F ) = E(F 2 ) − (E(F )) 2 = 2
On notera que si n2 ≤ 4, E(F 2 ) = +∞.
n 2 2(n1 + 2)
n1(n2 − 2)(n2 − 4)
(si n2 ≥ 5).
n2
2 (2n1 + n2 − 2)
n2 − 2 n1(n2 − 4)
20
(si n2 ≥ 5).