1 Introduction à Scilab - CNRS Orleans

Calculs à effectuer
1. Commençons par le régime dans lequel les molécules diffusent peu et s’approchent
lentement des parois : N = 1000, H = 200 et m= 0.
• Visualisez le déplacement de quelques molécules. Y’en a-t-il qui atteignent le
bord ?
• Le théorème de la limite centrale nous permet de calculer la position moyenne
d’une molécule après n pas. Déterminez l’expression analytique de cette position
moyenne. Pour vérifier ce résultat par la simulation, choisissez un grand
nombre de molécules (au minimum 50) et calculez pour chaque pas de temps k
la position〈Lk〉 moyennée sur toutes les molécules. L’accord est-il satisfaisant ?
• Le même théorème nous permet de prédire la valeur de la dispersion (c’est-àdire
l’écart-type σk sur les valeurs de Lk de différentes molécules) en un temps
k donné. Déterminez l’expression analytique de σk et comparez-la aux résultats
de la simulation. Complétez le tableau suivant
n 〈Ln〉 (théorie) 〈Ln〉 (mesuré) σn (théorie) σn (mesuré) D (mesuré)
2
10
100
1000
• La quantité σk équivaut ici à la distance quadratique moyenne parcourue après
k pas de temps. En posant σk = Dk, nous pouvons interpréter le coefficient D
comme le coefficient de diffusion des molécules dans le fluide. Cette quantité
joue un rôle-clé dans la théorie cinétique des fluides. Donnez sa valeur dans le
tableau ci-dessus.
2. Prenons ensuite le régime dans lequel les molécules diffusent rapidement par rapport
à la taille de la boîte : N = 1000, H = 30 et m= 0.
• Calculez la position de quelques molécules et visualisez leur déplacement. Ontelles
tendance à remplir uniformément la boîte ? Qu’est-ce qui distingue leur
mouvement du cas précédent ?
• Visualisez avechistplot la distribution des molécules aux différents temps n=
2, 10, 100, 1000 et commentez ce que vous observez. Prenez un échantillon d’au
moins 300 molécules pour avoir une bonne statistique.
• A partir de quand les molécules remplissent-elles uniformément la boîte ?
3. Pour finir, on considère le cas où les molécules se déplacent préférentiellement dans un
sens. Ce cas surgit avec un colorant plus dense que le fluide. Le pas moyen m ne sera
donc plus nul. Prenez N = 1000, H = 100 et m=−0.2.
• Calculez la position de quelques molécules et visualisez leur déplacement. Ontelles
tendance à remplir uniformément la boîte ?
• Visualisez avechistplot la distribution des molécules aux différents temps n=
2, 10, 100, 1000 et commentez ce que vous observez. Prenez un échantillon d’au
moins 300 molécules pour avoir une bonne statistique.
• Tracez sur un même graphe la dispersion σn ainsi que la position moyenne〈Ln〉
au cours du temps. Que peut-on en déduire ?
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