1 Introduction à Scilab - CNRS Orleans

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où l’opérationM \ d signifie que le vecteurdest divisé par la matriceMdepuis la gauche. Assurez-vous auparavant que t et d sont des vecteurs colonne. Vérifiez que le résultat obtenu est identique à celui trouvé en 1. 3. Il est important de savoir dans quelle mesure le modèle linéaire reproduit bien les résultats. Il suffit pour cela d’estimer l’épaisseurdfit prédite par le modèle (1). Cela s’obtient avec dfit = M*coef; oùMetcoef sont les variables calculées précédemment. Comparezdfit àdet déterminez si le modèle linéaire semble correct. 4. Validation de la régression Pour quantifier les résultats ci-dessus, il convient de faire un test du χ 2 . Calculez l’écart quadratique moyen et comparez-le à la valeur seuil d’une loi du χ 2 à ν degrés de liberté, pour un niveau de confiance de 1 %. 5. Extrapolation avec ce modèle Une fois que le modèle est validé, on peut l’utiliser pour extrapoler les données. Il est intéressant de connaître l’épaisseur de la couche pour des temps très courts, qui sont difficilement accessibles expérimentalement. Déterminez la valeur ˆ d prédite par le modèle pour t = 0 et donnez en particulier son incertitude. Que peut-on en conclure sur le processus ? 14
7 Rendement d’un filtre antipollution Un constructeur de moteurs veut déterminer la durée de vie d’un filtre antipollution. Il effectue pour cela des mesures du rendement à des temps différents sur un même filtre. En première approximation, le rendement devrait diminuer avec le temps comme d x = A− x ⇒ x(t)=a+ be−ct d t et tendre progressivement vers une valeur constante (pas forcément nulle). Le système étant complexe et les mesures bruitées, on peut aussi être tenté d’approximer la décroissance par une simple droite x(t)= A+ B t Dans ce dernier cas, les paramètres A et B peuvent être estimés par une régression des moindres carrés. Ceci n’est pas possible avec l’exponentielle, pour laquelle l’estimation de {a,b,c} conduit à un système non-linéaire, qui requiert une régression non-linéaire. 1. Les données Le fichier de données filtre.dat peut être téléchargé à l’adresse http://lpce.cnrs-orleans.fr/~ddwit/enseignement.html#master-outils Le rendement et son incertitude sont enregistrés dans x et dx, le temps (en unités quelconques) est dans la variable t. 2. Régression linéaire Estimez d’abord les paramètres A et B par la méthode des moindres carrés. 3. Régression non-linéaire Supposons que l’on dispose d’une estimation initiale {a0,b0,c0} des paramètres du modèle exponentiel. On peut alors estimer le rendement ˆx pour chaque temps t. Appelons J l’écart quadratique entre le vrai rendement et le résultat du modèle J = N (xk− ˆxk ) 2 k=1 Il s’agit de trouver de façon itérative la suite de valeurs de {ai ,bi ,ci } qui minimisent cet écart J. Avec un bon algorithme de recherche de minima et une estimation initiale correcte, la suite convergera vers un minimum (pas forcément global). Dans Scilab, ce genre d’optimisation non-linéaire se fait aisément à l’aide de la fonction optim (cf. cours). Cette fonction requiert deux paramètres d’entrée : le nom de la fonction qui calcule l’écart quadratique J ainsi qu’un vecteur contenant la valeur initiale {a0,b0,c0} des paramètres. Par exemple 15
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