1 Introduction à Scilab - CNRS Orleans

2. Régression par moindres carrés
Estimez les paramètres a et b par une régression des moindres carrés, sans tenir compte de
l’incertitude sur p. Divisez si nécessaire le spectre de puissance en plusieurs intervalles d’indices
spectraux différents.
3. Régression par moindres carrés pondérée
Comme l’incertitude relative sur la densité de puissance est connue, il est préférable d’intégrer
cette information dans l’estimation par moindres carrés, en pondérant chaque valeur par
l’inverse de son écart-type.
Montrez que si le système à résoudre par moindres carrés est Mc = y, avec
⎛
x1 1
x2 1
⎜
M = ⎜
⎝ .
⎟
⎟,
. ⎠
a
c =
b
xN 1
⎞
⎛
⎜
, y = ⎜
⎝
alors il suffit de diviser tous les éléments de la i-ième ligne de M et de y par σi avant d’opérer
la division c = M\y. Comparez les résultats avec ceux obtenus en 2.
4. Estimation des incertitudes sur a et b
Les estimateurs des incertitudes sur les paramètres a et b, quoique connus analytiquement,
ne sont pas toujours faciles à manipuler. Une autre approche consiste à utiliser une méthode
de Monte-Carlo (valable seulement si les erreurs sur p sont indépendantes d’une fréquence à
une autre) :
1. Choisissez un intervalle de fréquences sur lequel il faut estimer a et b.
2. A chaque valeur pi de la densité spectrale dans cet intervalle, ajoutez un nombre aléatoire
distribué suivant une loi normale N (0,σi ). On obtient alors une nouvelle valeur
p ′
i .
3. Estimez les paramètres a ′ et b ′ par régression des moindres carrés sur p ′ .
4. Répétez les étapes 2. et 3. un grand nombre de fois, et mémorisez à chaque fois les valeurs
de a ′ et de b ′ .
5. Les meilleurs estimateurs de a et de b sont les moyennes respectivement de a ′ et de b ′ .
Les écarts-type de ces derniers nous donnent une estimation de leur incertitude.
18
y1
y2
.
yN
⎞
⎟
⎠