Les électrons dans un potentiel périodique. Structure de bande - EPFL

10 CHAPITRE 5. STRUCTURE DE BANDE
5.2.3 Seconde démonstration du théorème de Bloch
La fonction d’onde ψ n,k donnée par (5.25) peut être écrite sous la forme
ψn,˜k (r) =
G
an,˜k−G exp(−iG · r)
exp(i˜k · r) (5.28)
En identifiant l’expression entre parenthèses carrées avec un,k(r), on
constate que (5.28) est de la forme (5.17). On vérifie sans peine que uk(r) =
uk(r + R), on retrouve ainsi le second énoncé du théorème de Bloch.
5.3 Les électrons libres
Le comportement des électrons libres peut être considéré comme un cas
particulier des solutions de l’équation centrale (5.24) lorsque le potentiel
U(r) tend vers zéro. Dans ce cas (5.24) s’écrit,
E 0
˜k−G
− E a˜k−G = 0 où E0 ˜k−G = 2 ( ˜ k − G) 2
2m
5.3.1 Cas non-dégénéré
(5.29)
Dans le cas où, pour une valeur ˜ k donnée, les énergies propres E 0 ˜k−G
sont toutes différentes, les solutions de (5.29) sont données par,
Ej,˜k = E0 k−Gj
˜ = 2 ( ˜ k − Gj) 2
2m
ψj, k ˜(r) = 1
√ exp[i(˜k − Gj) · r]
V
(5.30)
Dans ce cas les coefficients aj, k−G ˜ sont tous nuls, sauf celui correspondant
à la valeur G = Gj
aj, k−G ˜ = 1
√ δGj,G
(5.31)
V
Dans le cas à une dimension, où Gj = 2π
a j, on a :
E j, ˜ k = 2
2m (˜ k − 2π
a j)2
(5.32)
5.3.2 Schéma de zone étendue, réduite, répétée à une dimension
L’énergie peut être représentée en fonction de k dans un schéma de
zone étendue, c’est la représentation naturelle E(k) = 2 k 2 /2m. Elle correspond
à la parabole en traits interrompus dans la Fig. 5.4. On peut aussi,