Les électrons dans un potentiel périodique. Structure de bande - EPFL

16 CHAPITRE 5. STRUCTURE DE BANDE
5.4.3 Niveaux d’énergie proche d’un seul plan de Bragg. La
notion de bande.
Lorsque k est au voisinage d’un seul plan de Bragg, seuls deux niveaux
d’énergie de l’électron libre sont proches l’un de l’autre et éloignés des autres
(par rapport à U). Dans ce cas la relation (5.41) se réduit à l’équation aux
valeurs propres,
E 0 ˜k−G1
U ∗ G2−G1
avec U0 = 0 et UG = U ∗ −G
E ± = 1
2 (E0 ˜ k−G1 +E0 ˜ k−G2 )±
UG2−G1
E0 ˜k−G2
a˜k−G1
a˜k−G2
= E
a˜ k−G1
a˜k−G2
dont les valeurs propres sont données par,
⎡
⎣
E0 − E ˜k−G1
0 k−G2 ˜
2
2
Pour simplifier les notations, on introduit les vecteurs
Dans ce cas (5.43) s’écrit
E ± = 1
2 (E0 q + E 0 q−G) ±
+ |UG2−G1 |2
⎤
⎦
1/2
(5.42)
(5.43)
q = ˜ k − G1 G = G2 − G1 (5.44)
⎡
⎣
E 0 q − E 0 q−G
2
2 + |UG| 2
⎤
⎦
1/2
(5.45)
Nous représentons dans la Fig. 5.7, dans le cas à une dimension, les
énergies E + et E − dans un schéma de zone réduite. Il faut noter que la
relation (5.45) n’est valable que proche du bord de zone, ou de q = 0, pour
les autres valeurs de q, il faut utiliser (5.38).
On constate que la dégénérescence, qui apparaît pour un électron libre
en bord de zone, est levée en présence du potentiel du réseau. Ce résultat est
général, la relation (5.45) donne dans le cas où k est sur un plan de Bragg,
soit E 0 q = E 0 q−G
E ± = E 0 q ± |UG| (5.46)
On peut d’autre part vérifier à partir de (5.45) que lorsque E 0 q = E 0 q−G
on a
∇qE(q) = 2
m (q − G
2 )
Ainsi lorsque q est sur le plan de Bragg, le gradient de E(q) est parallèle
au plan, car (q −G/2) se trouve dans le plan. Ce qui signifie que les surfaces
E = E ± (q) sont perpendiculaires au plan de Bragg. Le même résultat peut
être représenté dans un schéma de zone étendue (Fig. 5.8) en translatant la
branche E + dans la seconde zone de Brillouin.