Les électrons dans un potentiel périodique. Structure de bande - EPFL

4 CHAPITRE 5. STRUCTURE DE BANDE
Le résultat de deux translations ne dépend pas de l’ordre dans lequel
elles sont appliquées, de plus
on a donc,
On peut donc écrire
TRT R ′ ψ(r) = ψ(r + R + R ′ )
TRT R ′ = T R ′TR = T R+R ′ ∀ R, R ′
TR =
(5.6)
3
(Taj )nj ∀ nj ∈ Z (5.7)
j=1
L’opérateur de translation TR commute d’autre part avec l’hamiltonien
H de (5.2), en effet ∀ ψ ∈ espace de Hilbert,
soit
TRHψ(r) = ( −2
2m ∇2 + U(r + R))ψ(r + R)
= ( −2
2m ∇2 + U(r))TRψ(r) = HTRψ(r)
[H, TR] = 0 ∀ R (5.8)
Les relations (5.6) et (5.8) impliquent que H et TR commutent pour tout
vecteur R du réseau de Bravais. On peut donc, sans restreindre l’espace des
solutions, imposer aux états propres de (5.2) d’être également états propres
des opérateurs de translations TR. Ceci est vérifié si ψ(r) est un état propre
des générateurs Taj (j = 1, 2, 3), soit
soit
Taj ψ(r) = λjψ(r)∀ j = 1, 2, 3 (5.9)
En tenant compte des conditions aux limites (5.3),
(Taj )Nj = 1 ⇒ λ Nj
j
λj = exp(2iπ mj
La relation (5.7) implique que
TRψ(r) =
où l’on a tenu compte de
j=1
Nj
= 1
) mj ∈ Z.
3
(λj) njψ(r) = exp(ik · R)ψ(r) (5.10)
j=1
3
(λj) nj
3
= exp(
j=1
2iπ njmj
)
Nj