Les électrons dans un potentiel périodique. Structure de bande - EPFL

14 CHAPITRE 5. STRUCTURE DE BANDE
On s’attend à ce que le 3 ème terme de (5.36) soit de l’ordre de U 2 , et on
peut le négliger par rapport aux 2 premiers. On en tire,
où le facteur multiplicatif de a˜ k−G1
a˜ k−G ∼ = − UG1−G
E 0 ˜k−G − E a˜ k−G1 + O(U 2 ) (5.37)
est ≪ 1, en vertu de (5.34). En remplaçant
(5.37) dans (5.35), et tenant compte de U0 = 0, il vient
E ∼ = E 0 ˜k−G1
où l’on a remplacé E par E 0 ˜k−G1
+
G ′ E
=G1
0 k−G1 ˜
|UG ′ −G1 |2
− E 0 ˜ k−G ′
(5.38)
au dénominateur du terme correctif, ce qui
introduit des erreurs de l’ordre de U 3 .
La relation (5.38) indique que la correction à l’énergie dans le cas non
dégénéré est du second ordre dans le potentiel du réseau, elle est faible.
Ce résultat aurait pu être obtenu de façon plus rigoureuse en développant
l’énergie et la fonction d’onde en fonction d’un paramètre λ faible (voir cours
de mécanique quantique : théorie des perturbations d’états non dégénérés).
On obtient les corrections les plus importantes à l’énergie lorsque les
énergies des états électroniques associés à 2 ou plusieurs valeurs G différentes
sont proches, c’est une situation analogue au cas dégénéré introduit au §
5.4.3.
5.4.2 Cas ”presque” dégénéré
Nous faisons l’hypothèse que la valeur ˜k est telle qu’il existe des vecteurs
Gj du réseau réciproque tels que,
E 0 ˜ k−Gi
− E 0 ˜ k−Gj
E 0 ˜ k−G − E 0 ˜ k−Gj
≤ U pour i, j = 1, → m
≫ U pour j = 1, → m
G = G1 → Gm
(5.39)
C’est une situation qui peut se produire lorsque ˜k est proche d’une limite
de zone (ou ˜k ∼ 0), ainsi que discuté au § 5.4. La condition stricte de
dégénérescence est donnée par
E 0 ˜k−G1 = E0 ˜k−G2
soit | ˜ k − G1| = | ˜ k − G2|
Elle est illustrée dans le cas G1 = 0, G2 = G sur la Fig. 5.6. On remarque
que k se trouve sur le plan bissecteur perpendiculaire à un vecteur du réseau
réciproque G, soit un plan en limite de zone de Brillouin.