PDF (673 ko) - Electrodynamique quantique en cavité
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3.<br />
Chats de Schrödinger du champ et étude de<br />
la décohér<strong>en</strong>ce<br />
Préparation d’une superposition mésoscopique d’états cohér<strong>en</strong>ts<br />
par une méthode non résonnante et étude de sa décohér<strong>en</strong>ce <strong>en</strong><br />
fonction du temps: une expéri<strong>en</strong>ce fondam<strong>en</strong>tale illustrant la<br />
théorie <strong>quantique</strong> de la mesure<br />
-4<br />
-2<br />
0<br />
2<br />
4<br />
-2<br />
-1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
2 -2<br />
2<br />
1<br />
T~1/Γα 2 =1/nΓ<br />
Fonction de Wigner d’un « chat de Schrödinger »<br />
et sa décohér<strong>en</strong>ce<br />
-4<br />
-2<br />
0<br />
2<br />
4<br />
-2<br />
-1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
2 -2<br />
2<br />
1
Plan de la leçon<br />
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts pour un<br />
oscillateur matériel et pour un champ<br />
3.2 Notions sur la décohér<strong>en</strong>ce des superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts<br />
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »<br />
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode<br />
dispersive <strong>en</strong> CQED<br />
3.5 Tests de la cohér<strong>en</strong>ce de la superposition: la décohér<strong>en</strong>ce « saisie<br />
<strong>en</strong> vol »<br />
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés
Le problème des superpositions macroscopiques<br />
Les superpositions macroscopiques d’état jou<strong>en</strong>t un rôle ess<strong>en</strong>tiel dans la<br />
théorie de la mesure et <strong>en</strong> information <strong>quantique</strong>.<br />
L’exemple le plus simple de superposition est celui d’une particule, délocalisée<br />
<strong>en</strong> deux points séparés par une distance grande devant sa longueur d’onde de<br />
de Broglie thermique. C’est le cas d’un atome ou d’une molécule dans un<br />
interféromètre de type Young. L’expéri<strong>en</strong>ce a été faite avec de nombreux<br />
atomes et même avec de grosses molécules (C 60).<br />
C’est <strong>en</strong>core le cas d’une particule dans un puits de pot<strong>en</strong>tiel harmonique,<br />
oscillant avec deux mouvem<strong>en</strong>ts de phases opposées (expéri<strong>en</strong>ce effectuée<br />
sur un ion par Wineland et al. La particule est alors périodiquem<strong>en</strong>t délocalisée<br />
(<strong>en</strong> particulier aux points tournants du mouvem<strong>en</strong>t).<br />
En optique <strong>quantique</strong>, un mode du champ joue le rôle d’oscillateur que l’on<br />
peut préparer dans une superposition macroscopique. Les composantes de la<br />
superposition sont des états cohér<strong>en</strong>ts, de phase ou d’amplitudes différ<strong>en</strong>tes. Il<br />
y a une grande analogie <strong>en</strong>tre cette situation et celle d’un oscillateur matériel.
Superpositions macroscopiques d’états de<br />
position d’une particule matérielle<br />
σ<br />
-a<br />
|Ψ(x)| 2<br />
0<br />
a<br />
x<br />
Superposition de 2 paquets gaussi<strong>en</strong>s de largeur σ décrivant la particule<br />
c<strong>en</strong>trée <strong>en</strong> x= ± a (a>>σ) , avec une impulsion moy<strong>en</strong>ne nulle. Cette situation<br />
décrit la position (normale à la direction de propagation) du c<strong>en</strong>tre de masse<br />
d’un atome ou d’une molécule au mom<strong>en</strong>t de sa traversée des trous d’un<br />
interféromètre de Young. C’est aussi l’état d’un oscillateur mécanique dans une<br />
superposition de 2 états correspondant aux points tournants du mouvem<strong>en</strong>t<br />
d’amplitudes opposées. La cohér<strong>en</strong>ce de la superposition se manifeste dans la<br />
distribution des impulsions: modulation de période h/2a, avec une <strong>en</strong>veloppe<br />
gaussi<strong>en</strong>ne de largeur h/σ correspondant à la distribution d’impulsion obt<strong>en</strong>ue<br />
pour un paquet d’onde. C’est une conséqu<strong>en</strong>ce directe de la conjugaison de<br />
Fourier position-impulsion:<br />
ψ (x) ∝ ϕ(x − a) +ϕ(x + a) → ˜ ψ (p) ∝ dx ϕ(x − a) + ϕ(x + a)<br />
−ipx/ <br />
∝ sin(pa / ) ∫ dx ϕ(x) e<br />
∫<br />
0<br />
~<br />
|Ψ(p)| 2<br />
[ ]<br />
(11−1)<br />
−ipx /<br />
e<br />
p
Oscillateur mécanique et champ dans une<br />
uperposition d’états cohér<strong>en</strong>ts de phases différ<strong>en</strong>tes<br />
t=0<br />
p<br />
X π/2<br />
x<br />
X 0<br />
x<br />
X 0<br />
t=π/2ω<br />
Correspondance <strong>en</strong>tre x,p<br />
(pour la particule) et<br />
quadratures conjuguées<br />
X0,Xπ/2 (pour le champ).<br />
Les distributions des<br />
quadratures s’échang<strong>en</strong>t<br />
tous les quart de<br />
période.Interfér<strong>en</strong>ce <strong>en</strong>tre<br />
les deux paquets<br />
x gaussi<strong>en</strong>s «<strong>en</strong> collision».<br />
X Mesure des quadratures<br />
0 du champ par<br />
homodynage<br />
La fonction de Wigner prés<strong>en</strong>te deux pics gaussi<strong>en</strong>s et un terme<br />
d’interfér<strong>en</strong>ce <strong>en</strong>tre les deux, signature de la cohér<strong>en</strong>ce. Ce terme disparaît<br />
vite sous l’effet de la décohér<strong>en</strong>ce.
Rappels sur la description d’un mode du champ<br />
n<br />
1<br />
0<br />
Nombre<br />
de<br />
photons<br />
Opérateurs d’annihilation et de création de photons:<br />
Hamiltoni<strong>en</strong> du mode:<br />
an = n n −1 ; a + n = n +1 n +1<br />
a,a + [ ]=1<br />
H = ω a + a + 1 ⎛ ⎞<br />
⎝ 2⎠<br />
Etat cohér<strong>en</strong>t (loi de Poisson pour la distribution du nombre de photons):<br />
α = Cn (α) n ; Cn (α) = e − α 2 /2 α n<br />
∑ ; n = α<br />
n!<br />
2 et ∆n = n = α<br />
n<br />
Les états cohér<strong>en</strong>ts sont états propres de a:<br />
aα = α α (9 − 4)<br />
Evolution libre d’un état cohér<strong>en</strong>t pour un mode isolé (pas d’amortissem<strong>en</strong>t):<br />
α(t) = U(t,0)α = e−iHt / α = e − iω t /2 −iω t<br />
α e<br />
Rotation de la phase<br />
dans le plan de Fresnel
−α<br />
X π/2<br />
α<br />
Ο X 0<br />
Parité du nombre de photons:<br />
Les « chats de phase » (|α|>>1)<br />
chat pair − α<br />
Pn ≈ e 2 α 2n<br />
n!<br />
pair α + −α<br />
Ψchat =<br />
( )<br />
−2α<br />
2<br />
21+ e<br />
impair α −−α<br />
Ψchat =<br />
( )<br />
−2 α<br />
2<br />
21+ e<br />
n<br />
chat impair − α [ 1 + (−1) ] ; Pn ≈ e 2 α 2n<br />
n!<br />
≈ (1 / 2) ( α +−α )<br />
≈ (1 / 2) ( α −−α)<br />
n [ 1− (−1) ]<br />
Les chats de phase pairs (resp. impairs) ne conti<strong>en</strong>n<strong>en</strong>t que des nombres pairs<br />
(resp. impairs) de photons. Ils sont états propres de l’opérateur parité P = e :<br />
iπ a + a<br />
P Ψ pair pair<br />
chat<br />
=Ψchat<br />
impair impair<br />
; P Ψchat =−Ψchat<br />
L’opérateur d’annihilation transforme un chat pair <strong>en</strong> chat impair et vice versa:<br />
pair α<br />
a Ψchat ≈<br />
2<br />
impair<br />
[ α −−α ]= α Ψchat impair α<br />
; a Ψchat ≈ [ α +−α ]= α Ψchat 2<br />
pair
Plan de la leçon<br />
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts pour un oscillateur<br />
matériel et pour un champ<br />
3.2 Notions sur la décohér<strong>en</strong>ce des superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts<br />
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »<br />
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode<br />
dispersive <strong>en</strong> CQED<br />
3.5 Tests de la cohér<strong>en</strong>ce de la superposition: la décohér<strong>en</strong>ce « saisie<br />
<strong>en</strong> vol »<br />
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés
|α> A<br />
Evolution paradoxale d’un état cohér<strong>en</strong>t <strong>en</strong><br />
prés<strong>en</strong>ce d’un <strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t (dissipation)<br />
D<br />
Qu’arrive-il à un état cohér<strong>en</strong>t stocké dans une<br />
<strong>cavité</strong> quand un photon s’échappe et est détecté?<br />
a α<br />
α →<br />
= α Il reste invariant!<br />
α a + a α<br />
Qu’arrive-t-il à l’état cohér<strong>en</strong>t <strong>en</strong>tre les pertes de deux photons?<br />
Pseudo-hamiltoni<strong>en</strong><br />
non hermitique<br />
α → e<br />
⎛ Γ⎞<br />
− i⎜ ω −i ⎟ a<br />
⎝ 2⎠<br />
+ at<br />
α ∝<br />
∑<br />
n<br />
α n<br />
n!<br />
⎛ Γ ⎞<br />
⎜ ω −i ⎟ t<br />
⎝ 2 ⎠<br />
e−in<br />
n = αe<br />
⎛ ⎞<br />
−i ⎜ ω − iΓ ⎟ t<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Quelle que soit la séqu<strong>en</strong>ce de détection de<br />
photons, l’état cohér<strong>en</strong>t évolue de la même<br />
façon, restant cohér<strong>en</strong>t, avec une amplitude<br />
se réduisant expon<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t.<br />
= α e −iω t −Γt /2<br />
e<br />
ϕ(t n ) ∝ ae− Γ0( t n −tn−1 )a + a<br />
2 ae − Γ0( t n−1 −t n−2 )a + a<br />
2 ……ae − Γ0( t2 − t1)a<br />
+ a<br />
2 ae − Γ0t1a + a<br />
Rotation de phase et<br />
décroissance<br />
expon<strong>en</strong>tielle de<br />
l’amplitude<br />
0 t1 t2 tn-2 tn-1 tn t<br />
2 α = αe −Γt n /2<br />
Représ<strong>en</strong>tation d’interaction par rapport à l’évolution libre du champ
Non intrication de l’état cohér<strong>en</strong>t avec<br />
l’<strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t<br />
Un état cohér<strong>en</strong>t reste un cas pur au cours du processus<br />
dissipatif: il ne s’intrique pas avec l’<strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t.<br />
|α> A<br />
E<br />
−Γt /2<br />
α A ⊗ 0 E → α e<br />
A ⊗ ψ α (t) E<br />
L’échange d’information de l’état cohér<strong>en</strong>t avec<br />
l’<strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t est de nature classique: chaque état<br />
cohér<strong>en</strong>t se corrèle à un état différ<strong>en</strong>t du réservoir
Evolution d’une superposition d’états cohér<strong>en</strong>ts:<br />
intrication avec l’<strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t et décohér<strong>en</strong>ce<br />
E ψ α (t) ψ β (t) E<br />
−Γt /2<br />
( α A + β A)⊗0E→αe<br />
A ⊗ ψ α (t) E<br />
+ β e−Γt /2<br />
A ⊗ ψ β (t) E<br />
Les composantes se corrèl<strong>en</strong>t à des états orthogonaux de E:<br />
l’opérateur d<strong>en</strong>sité devi<strong>en</strong>t très vite un mélange statistique:<br />
t ≈1/Γ α − β 2<br />
t ≈1/Γα −β<br />
⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 0 → ρA (t)<br />
2<br />
⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →<br />
1<br />
Cas particulier d’un chat de phase pair:<br />
2 α e−Γt /2 α e −Γt /2 + 1<br />
2 β e−Γ t /2 −Γt /2<br />
β e<br />
pair<br />
Ψchat = (1 / 2) ( α +−α )<br />
Le premier saut <strong>quantique</strong> le transforme <strong>en</strong> un chat impair. Le second saut<br />
recrée un chat pair et ainsi de suite. La fréqu<strong>en</strong>ce moy<strong>en</strong>ne des sauts est<br />
égale à Γ|α| 2 , les sauts se produisant à des instants aléatoires. Un grand<br />
nombre de sauts se produit avant une décroissance appréciable de<br />
l’amplitude du champ (on suppose |α|>> 1 ). Au bout d’un temps de l’ordre de<br />
1/ Γ|α| 2
Propriété ess<strong>en</strong>tielle des superpositions d’états<br />
cohér<strong>en</strong>ts<br />
Deux constantes de temps très différ<strong>en</strong>tes:<br />
Décohér<strong>en</strong>ce <strong>en</strong> un temps T D =1/(Γ |α−β| 2 ) inversem<strong>en</strong>t<br />
proportionnel à la distance des composantes dans l’espace des<br />
phases.<br />
Amortissem<strong>en</strong>t de l’amplitude des composantes <strong>en</strong> un temps<br />
T c =1/Γ très long devant le temps de décohér<strong>en</strong>ce pour |α−β| >>1.<br />
Le temps de décohér<strong>en</strong>ce (transformation de la superposition <strong>en</strong><br />
mélange) correspond au temps caractéristique de perte du<br />
premier photon dans l’<strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t. Ce photon emporte avec lui<br />
assez d’information pour détruire, par complém<strong>en</strong>tarité, la<br />
cohér<strong>en</strong>ce <strong>quantique</strong> (voir leçon 2)
Plan de la leçon<br />
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts pour un oscillateur<br />
matériel et pour un champ<br />
3.2 Notions sur la décohér<strong>en</strong>ce des superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts<br />
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »<br />
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode<br />
dispersive <strong>en</strong> CQED<br />
3.5 Tests de la cohér<strong>en</strong>ce de la superposition: la décohér<strong>en</strong>ce « saisie<br />
<strong>en</strong> vol »<br />
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés
Etats cohér<strong>en</strong>ts, Pointer states et mesure<br />
Les états qui ne s’intriqu<strong>en</strong>t pas avec leur <strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t sont appelés de façon<br />
générale des «pointer states». Les états cohér<strong>en</strong>ts <strong>en</strong> sont un exemple<br />
canonique. Ces états jou<strong>en</strong>t un rôle ess<strong>en</strong>tiel dans la théorie de la mesure.<br />
Considérons la mesure d’une observable O A d’un système A. Modélisons le<br />
mètre M par un curseur à une dim<strong>en</strong>sion subissant une translation conditionnelle<br />
dép<strong>en</strong>dant de l’état de A. Le Hamiltoni<strong>en</strong> d’interaction A-M est de la forme:<br />
H AM = gO A .P M<br />
où P M est l’opérateur impulsion du mètre, générateur de ses translations et g<br />
une constante de couplage homogène à une vitesse. Appelons ε i les valeurs<br />
propres de O A et P i les projecteurs sur les espaces propres associés. Appelons<br />
|X 0> M l’état initial du mètre. On peut se le représ<strong>en</strong>ter comme un paquet<br />
Gaussi<strong>en</strong> de petite largeur ∆X autour de X=0. Supposons que l’on effectue la<br />
mesure sur A dans l’état |ϕ > A. L’évolution unitaire du système A+M (première<br />
étape de la mesure) s’écrit:<br />
ϕ A ⊗ X 0 M → e−iH AM τ / ϕ A ⊗ X 0 M = P i ϕ A ⊗ X 0 + gτε i A<br />
i<br />
où |X 0+gτε i> M est le paquet gaussi<strong>en</strong> translaté de l’origine de gτε i. (Nous<br />
supposons que le couplage A-M s’effectue <strong>en</strong> un temps court par rapport au<br />
temps caractéristique d’évolution libre des deux systèmes et nous négligeons<br />
cette évolution ici).<br />
∑<br />
(10 −13)
Pointer states et mesure (suite)<br />
L’intrication décrite ici est une étape ess<strong>en</strong>tielle de la mesure. Elle implique que<br />
la mesure des états de M <strong>en</strong>traîne celle des états propres de O A. Cette analyse<br />
laisse cep<strong>en</strong>dant non résolue une ambiguïté du problème de la mesure. Pour le<br />
compr<strong>en</strong>dre, considérons une situation simple: la mesure de l’observable Z<br />
d’un qubit préparé dans l’état |0> x. Après achèvem<strong>en</strong>t du processus unitaire, le<br />
système A+M est dans l’état:<br />
0 x,A X 0 M<br />
[ ]<br />
1<br />
→<br />
2 0 z,A X0 + gτ + 1 z,A X0 − gτ<br />
qui peut s’écrire aussi, par changem<strong>en</strong>t de base:<br />
1<br />
2 0 x,A ⊗ X0 + gτ + X0 − gτ<br />
+ 1 x ,A ⊗<br />
2<br />
X ⎡<br />
0 + gτ − X0 − gτ ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ ⎢<br />
2 ⎦ ⎥<br />
Ces expressions équival<strong>en</strong>tes décriv<strong>en</strong>t 2 situations physiques très différ<strong>en</strong>tes.<br />
La 1ère forme indique que M mesure le qubit A, avec des probabilités égales,<br />
dans les états 0 et 1 de la base Z. La 2ème forme semble indiquer que le<br />
même appareil mesure A, avec des probabilités égales, dans les états 0 et 1 de<br />
la base X. Or les deux observables Z et X ne commut<strong>en</strong>t pas et ces deux<br />
mesures sont donc incompatibles! Dans le 1er cas les états de M sont des<br />
paquets gaussi<strong>en</strong>s c<strong>en</strong>trés sur des positions définies. Dans le second, se sont<br />
des superpositions de tels paquets, des chats de Schrödinger. Si M est<br />
considéré comme un système <strong>quantique</strong> isolé, le paradoxe ne peut être levé.
A<br />
M<br />
E<br />
Pointer states et mesure (fin)<br />
Pour résoudre ce problème, la théorie de la décohér<strong>en</strong>ce<br />
décrit M comme un système ouvert, couplé à un<br />
<strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t macroscopique E. Sous l’effet de ce<br />
couplage, les états de position distincts de M sont des<br />
pointer states . Ils rest<strong>en</strong>t purs, mais se corrèl<strong>en</strong>t <strong>en</strong> un<br />
temps très court à des états mutuellem<strong>en</strong>t orthogonaux<br />
de E. Le système A+M+E évolue suivant:<br />
ϕ ⊗ X A 0 M ⊗ 0 E → Pi ϕ ⊗ X A 0 + gτεi A ⊗<br />
∑ ei ; E<br />
i<br />
E e i e j E = δ ij<br />
A+M est ainsi rapidem<strong>en</strong>t décrit par un opérateur d<strong>en</strong>sité où n’apparaiss<strong>en</strong>t<br />
que les corrélations classiques <strong>en</strong>tre états propres de O A et états position de M:<br />
∑ P i ⊗ X 0 + gτε i MM X 0 + gτε i<br />
ρ AM → P i ϕ AA ϕ<br />
i<br />
Les corrélations de type «chat» ont disparu!<br />
Un appareil de mesure d’une observable O A de A est constitué d’un mètre M<br />
et d’un <strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t E. Il corrèle par une transformation unitaire les états<br />
propres de O A à des états «classiques»de position de M, pointer states par<br />
rapport au couplage à E. Par ext<strong>en</strong>sion, les produits des états classiques de M<br />
et des états propres de O A sont des pointer states de A+M <strong>en</strong> prés<strong>en</strong>ce de E.
Plan de la leçon<br />
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts pour un oscillateur<br />
matériel et pour un champ<br />
3.2 Notions sur la décohér<strong>en</strong>ce des superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts<br />
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »<br />
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode<br />
dispersive <strong>en</strong> CQED<br />
3.5 Tests de la cohér<strong>en</strong>ce de la superposition: la décohér<strong>en</strong>ce « saisie<br />
<strong>en</strong> vol »<br />
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés
Niveaux d ’énergie atome-champ dans le cas non-résonnant<br />
e,n ≈ e,n +<br />
1<br />
E e,n<br />
Ω n +1<br />
2δ<br />
g,n +1 ; g,n ≈ g,n −<br />
1<br />
= (n +<br />
2 )ω + ω0 2 + Ω2 (n +1)<br />
;<br />
4δ<br />
1<br />
Eg,n 1<br />
<br />
|e,n><br />
Energie<br />
(n + 1<br />
2 )ω ω0 |g,n><br />
Couplage <strong>en</strong>tre un atome et le mode de la<br />
<strong>cavité</strong> avec un désaccord de fréqu<strong>en</strong>ce δ.<br />
S’il y a n photons dans le mode, les états e<br />
et g <strong>en</strong> prés<strong>en</strong>ce du champ sont donnés<br />
par les expressions perturbatives:<br />
Ω n<br />
2δ<br />
e,n −1<br />
= (n + 1<br />
2 )ω − ω 0<br />
2 − Ω2 n<br />
4δ<br />
Ω 2 (n+1)<br />
4δ<br />
−Ω 2 n<br />
4δ<br />
« contamination »<br />
des états au premier<br />
ordre et des énergies<br />
au second ordre<br />
Le couplage déplace<br />
les niveaux d ’énergie<br />
(«light shift» et Lamb<br />
shift)
Déphasage dispersif d’un champ cohér<strong>en</strong>t: indice d’un atome<br />
Couplons adiabatiquem<strong>en</strong>t un atome dans l ’état | e> avec un champ cohér<strong>en</strong>t<br />
|α > <strong>en</strong> le faisant traverser la <strong>cavité</strong>. T<strong>en</strong>ant compte de la variation des énergies<br />
qui dép<strong>en</strong>d du couplage, on obti<strong>en</strong>t, <strong>en</strong> appelant Ω eff le couplage moy<strong>en</strong>né sur la<br />
position de l’atome le long du jet dans la <strong>cavité</strong>:<br />
Ψe,α (0) = e α = ∑Cn e,n →Ψe ,α (t) ≈ Cn e<br />
n<br />
−i<br />
E t<br />
e, n<br />
n<br />
soit <strong>en</strong> représ<strong>en</strong>tation d ’interaction:<br />
∑<br />
Ψ ˜<br />
e,α (t) ≈ Cn e<br />
n<br />
∑ e,n<br />
1<br />
− i(n +<br />
2 → Cne )ωt<br />
∑<br />
n<br />
2<br />
Ωeff (n+1)<br />
−i t<br />
4δ<br />
e,n<br />
= e<br />
− iΩeff<br />
4δ t<br />
alors qu ’<strong>en</strong> partant de l ’état |g>, le même calcul donne:<br />
∑<br />
Ψ ˜<br />
g,α (t) ≈ Cn e +i Ω eff<br />
n<br />
2 n<br />
4δ t<br />
g,n<br />
2<br />
e −iω 0<br />
2 t<br />
e ⊗ α e<br />
= g ⊗ α e +i Ω eff<br />
2<br />
4δ t<br />
e −i Ω eff 2 (n+1)<br />
t<br />
4δ<br />
2<br />
− iΩeff<br />
4δ t<br />
Le couplage étant non-résonnant, l ’atome et le champ n ’échang<strong>en</strong>t pas<br />
d ’énergie et l ’atome reste dans son niveau initial (e ou g). Chacun de ces<br />
niveaux déphase le champ d ’un angle proportionnel au temps d ’interaction,<br />
avec un signe dép<strong>en</strong>dant du niveau.<br />
e,n
Un indice atomique géant dép<strong>en</strong>dant du niveau<br />
Ceci s ’interprète comme un effet d ’indice de réfraction dispersif à un seul<br />
atome. L’indice s’écrit:<br />
N indice = 1± Ω 2<br />
eff<br />
4δω<br />
Il s ’agit d ’un effet dispersif (il dép<strong>en</strong>d <strong>en</strong> 1/ δ de la fréqu<strong>en</strong>ce du champ). Dans<br />
le système atome de Rydberg - Cavité, N indice -1 est de l ’ordre de ± 2.510 -8<br />
pour δ ≈10 Ω. Il s’agit d’un effet énorme pour un seul atome. Il correspond à un<br />
déplacem<strong>en</strong>t de fréqu<strong>en</strong>ce de l’ordre du kHz pour le champ de la <strong>cavité</strong>.<br />
Noter l ’analogie avec le cas résonnant (voir leçon précéd<strong>en</strong>te). Les états<br />
atomiques quasi-invariants sont alors |e> ± |g> et eux aussi déphas<strong>en</strong>t le<br />
champ de deux angles opposés.<br />
Nous allons exploiter le fait que cet indice dép<strong>en</strong>d du niveau (signe + ou -)<br />
et corréler ainsi le signe du déphasage du champ avec l’état de l’atome,<br />
faisant du champ un véritable « mètre » mesurant l’énergie atomique.
Couplage avec un atome dans une superposition<br />
d ’états: intrication dispersive atome-champ<br />
Impulsion<br />
classique π/2<br />
superposant e<br />
et g (R 1 )<br />
e<br />
|e>+|g><br />
Source<br />
classique<br />
(injection<br />
initiale d ’un<br />
champ<br />
cohér<strong>en</strong>t |α>)<br />
Atome préparé dans superposition symétrique<br />
de e et g avant de traverser la <strong>cavité</strong> cont<strong>en</strong>ant<br />
| α > . Les deux composantes de l ’état<br />
atomique font tourner la phase du champ de<br />
deux angles opposés. On appelle t i et t f les<br />
instants d ’<strong>en</strong>trée et de sortie de l ’atome du<br />
mode et on exprime la phase comme:<br />
χ = 1<br />
4δ<br />
∫<br />
t f<br />
t i<br />
dt Ω 2 (t)<br />
L’état final atome-<strong>cavité</strong> est intriqué: le système évolue vers deux états de<br />
phase différ<strong>en</strong>tes, corrélés aux deux états atomiques. C ’est un exemple idéal<br />
de pré-mesure: l’état du champ est un «mètre»pointant vers l’énergie de<br />
l ’atome:<br />
R1 e α ⎯ →<br />
1<br />
2<br />
( e + g )α<br />
C<br />
⎯ →<br />
e−iχ<br />
2 e α e− iχ + 1<br />
2<br />
−χ<br />
+<br />
g α eiχ<br />
χ
Préparation conditionnelle d ’un chat de<br />
Schrödinger<br />
e −iχ<br />
2 e α e− iχ + 1<br />
2<br />
g α eiχ<br />
Pour séparer finalem<strong>en</strong>t l ’état de l ’atome de celui du champ, on mesure<br />
l ’énergie atomique, ce qui projette le champ dans l’état correspondant au<br />
résultat de la mesure. Cette procédure, faite sur l’atome sortant de la <strong>cavité</strong>,<br />
conduit cep<strong>en</strong>dant à un simple état cohér<strong>en</strong>t de phase -χ ou + χ selon le<br />
résultat (e ou g) et l ’ambiguïté <strong>quantique</strong> est perdue. Pour maint<strong>en</strong>ir cette<br />
ambiguïté et obt<strong>en</strong>ir finalem<strong>en</strong>t un chat de Schrödinger, il faut mélanger à<br />
nouveau les états e et g par une seconde impulsion avant de mesurer l ’atome.<br />
On réalise ainsi a nouveau un interféromètre de Ramsey (voir leçon 1). On peut<br />
ajuster la phase φ de la seconde impulsion π/2 relative à la première. Nous<br />
écrirons l ’effet des deux impulsions unitaires sur l ’atome:<br />
Première impulsion classique (R 1 ):<br />
1ère<br />
impulsion<br />
(R 1 )<br />
2ème<br />
impulsion<br />
(R 2 )<br />
Détecteur<br />
e →<br />
Deuxième impulsion classique (R2): 1<br />
( e + g )<br />
2<br />
; g → 1<br />
( g − e )<br />
2<br />
e → 1<br />
2 e + eiφ g<br />
( ) ; g → 1<br />
2 g − e−iφ e<br />
( )
Préparation conditionnelle d ’un chat de<br />
Schrödinger (suite)<br />
On obti<strong>en</strong>t alors simplem<strong>en</strong>t l ’état du système après la seconde impulsion:<br />
Ψ après pulse n °2 = 1<br />
2 e ⊗ e−iχ α e −iχ − e −iφ α e iχ<br />
[ ] + 1<br />
2 g ⊗ ei(φ − χ ) α e − iχ + α e iχ [ ]<br />
et on constate que les deux états e et g sont maint<strong>en</strong>ant corrélés à deux états<br />
de type «chat» (à condition que χ >> 1/√n) . On peut <strong>en</strong> particulier ajuster la<br />
phase χ pour obt<strong>en</strong>ir un chat dont les composantes sont <strong>en</strong> opposition de<br />
phase. Pour χ = φ = π/2, on obti<strong>en</strong>t un chat «impair» ou «pair»:<br />
α e −iπ /2 + iπ /2<br />
− α e<br />
α e −iπ /2 +iπ /2<br />
+ α e<br />
si atome détecté dans e<br />
si atome détecté dans g<br />
Ces deux cas sont équiprobables. On ne sait pas avant la mesure si le «chat»<br />
sera pair ou impair.
Préparation de chat de phase pair ou impair<br />
interprétée comme une mesure de la parité du<br />
nombre de photons à l’aide d’un atome<br />
1ère impulsion<br />
(R 1 )<br />
2ème impulsion<br />
(R 2 )<br />
Détecteur<br />
P g<br />
P g<br />
Nombre<br />
pair de<br />
photons<br />
Nombre<br />
impair de<br />
photons<br />
L’interféromètre de Ramsey est combiné à une <strong>cavité</strong> qui déphase la<br />
cohér<strong>en</strong>ce atomique de π par photon: L’atome émerge dans g si le nombre de<br />
photon vaut 0 (ou un nombre pair quelconque) et dans e si le nombre de<br />
photon est 1 (ou un nombre impair quelconque). La situation rappelle la<br />
mesure QND de 0 ou 1 photon (voir Leçon 1). La détection de l’atome après<br />
couplage dispersif atome-<strong>cavité</strong> est maint<strong>en</strong>ant une mesure de la parité du<br />
nombre de photons de l’état cohér<strong>en</strong>t initial. Le résultat de la mesure projette le<br />
champ dans un état propre correspondant: état de chat pair si atome détecté<br />
dans g, état de chat impair si atome détecté dans e.
Signature du chat de Schrödinger: démontrer la<br />
séparation des composantes par une expéri<strong>en</strong>ce de<br />
complém<strong>en</strong>tarité<br />
e<br />
g<br />
α = 0<br />
Ψ<br />
après pulse n°2<br />
Les deux impulsions Ramsey sépar<strong>en</strong>t et recombin<strong>en</strong>t<br />
les états atomiques, avant détection dans l ’une des<br />
deux voies de sortie e ou g. En abs<strong>en</strong>ce de champ dans<br />
la <strong>cavité</strong>, l ’évolution de l ’atome dans l ’interféromètre<br />
est donnée par:<br />
= 1<br />
2 e−iχ −i(φ − χ ) [ 1− e ] e + 1<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
2<br />
− χ ) [ 1 + ei(φ ] g<br />
et les probabilités de trouver l ’atome dans e ou g sont:<br />
0 0 1− cos(φ − χ)<br />
Pe (t) =1− Pg (t) =<br />
2<br />
⎫<br />
⎬ ⊗ 0<br />
⎭<br />
On retrouve un signal de franges de contraste 100% lorsqu ’on balaie φ. Noter<br />
le déphasage de χ des franges par rapport à leur position <strong>en</strong> abs<strong>en</strong>ce de<br />
<strong>cavité</strong>: cet effet est dû au déplacem<strong>en</strong>t de Lamb de l ’état e produit par les<br />
fluctuations du vide dans le mode <strong>quantique</strong>.
Signature du chat de Schrödinger: démontrer la<br />
séparation des composantes par une expéri<strong>en</strong>ce de<br />
complém<strong>en</strong>tarité (suite)<br />
e<br />
g<br />
Lorsqu ’un champ α est prés<strong>en</strong>t, il joue, <strong>en</strong> s ’intriquant à l ’atome, le rôle d ’un<br />
détecteur de chemin susceptible d’informer sur la « route » suivie par l’atome<br />
dans l’interféromètre. On s ’att<strong>en</strong>d donc à voir disparaître les franges dès que χ<br />
>1/√n (états finals du détecteur quasi-orthogonaux).Les probabilités de détecter<br />
l ’atome <strong>en</strong> e ou g,calculées sont <strong>en</strong> effet:<br />
n n 1<br />
Pe (t) =1− Pg (t) =<br />
2 1− Re ei( χ −φ ) α e −iχ α e iχ<br />
[ { } ]=<br />
1− cos(φ − χ − n sin2χ)e− n (1−cos2 χ )<br />
et on constate bi<strong>en</strong> que le contraste des franges diminue lorsque n et χ<br />
augm<strong>en</strong>t<strong>en</strong>t.<br />
2
Séparation des composantes du chat: démonstration<br />
expérim<strong>en</strong>tale (Brune et al, Phys.Rev.Lett. 77, 4887 (1996)).<br />
Expression approchée du signal pour χ
Plan de la leçon<br />
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts pour un oscillateur<br />
matériel et pour un champ<br />
3.2 Notions sur la décohér<strong>en</strong>ce des superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts<br />
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »<br />
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode<br />
dispersive <strong>en</strong> CQED<br />
3.5 Tests de la cohér<strong>en</strong>ce de la superposition: la décohér<strong>en</strong>ce<br />
« saisie <strong>en</strong> vol »<br />
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés
La cohér<strong>en</strong>ce du chat révélée par un signal de<br />
corrélation à 2 atomes.<br />
1ère impulsion<br />
(R 1 )<br />
2ème impulsion<br />
(R 2 )<br />
Détecteur<br />
On mesure les corrélations à<br />
deux atomes: le premier crée un<br />
chat et le second vi<strong>en</strong>t le<br />
sonder. Comm<strong>en</strong>çons par<br />
étudier le cas d’un chat de<br />
phase pair (déphasage de π<br />
<strong>en</strong>tre les deux composantes)<br />
Si le premier atome est détecté dans e, le chat préparé est impair et le second<br />
atome qui vi<strong>en</strong>t remesurer la parité doit égalem<strong>en</strong>t être trouvé dans e. La<br />
probabilité conditionnelle P(e 2 /e 1) de détecter le 2ème atome dans e après avoir<br />
trouvé le premier dans cet état vaut donc 1. De même, si le premier atome est<br />
dans g, le second est aussi dans g. Autrem<strong>en</strong>t dit la probabilité conditionnelle<br />
P(e 2 /g 1) vaut 0 et l ’interaction avec C corrèle de façon parfaite les atomes. Ceci<br />
n ’est vrai cep<strong>en</strong>dant que si le champ est resté dans une superposition<br />
cohér<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tre les deux atomes. S ’il a évolué vers le mélange:<br />
ρchamp = (1 / 2)αe −iπ /2 αe −iπ /2 + (1/ 2) αe iπ /2 iπ /2<br />
αe<br />
il est évid<strong>en</strong>t que le 2ème atome sera trouvé à probabilités égales dans e ou g<br />
Le signal de corrélation η = P(e 2 /e 1) - P(e 2 /g 1) vaut donc 1 pour un chat<br />
cohér<strong>en</strong>t et 0 pour un mélange statistique.
La décohér<strong>en</strong>ce observée<br />
(Brune et al, Phys.Rev.Lett. 77, 4887 (1996)).<br />
En abs<strong>en</strong>ce de décohér<strong>en</strong>ce, la corrélation <strong>en</strong>tre 2 atomes est parfaite lorsque<br />
le déphasage <strong>en</strong>tre les composantes du chat vaut π. Pour un déphasage plus<br />
petit, il y a une corrélation partielle, le signal η ayant un maximum de 0.5 au lieu<br />
de 1. L’expéri<strong>en</strong>ce a été réalisée avec un chat dont les composantes form<strong>en</strong>t<br />
un angle d’<strong>en</strong>viron 100°. Le signal de corrélation η = P(e 2 /e 1) - P(e 2 /g 1), a été<br />
reconstruit <strong>en</strong> répétant l’expéri<strong>en</strong>ce un grand nombre de fois, par accumulation<br />
statistique sur des <strong>en</strong>sembles de couples d’atomes. Le délai <strong>en</strong>tre les deux<br />
atomes a été varié et la diminution de<br />
η a révélé la décohér<strong>en</strong>ce. Expéri<strong>en</strong>ce<br />
effectuée pour n = 3.3 et pour des valeurs<br />
différ<strong>en</strong>tes de χ obt<strong>en</strong>ues <strong>en</strong> variant δ.<br />
Le délai τ <strong>en</strong>tre les deux atomes varie de<br />
T cav/5 à 1.5 T cav. Les résultats mett<strong>en</strong>t <strong>en</strong><br />
évid<strong>en</strong>ce l ’exist<strong>en</strong>ce de la décohér<strong>en</strong>ce<br />
et son accélération lorsque la séparation<br />
des composantes est augm<strong>en</strong>tée. Les<br />
points de la figure sont expérim<strong>en</strong>taux et<br />
la courbe théorique. Une illustration de<br />
la théorie de la mesure <strong>quantique</strong>.<br />
Variation de η <strong>en</strong> fonction du délai <strong>en</strong>tre les deux<br />
atomes pour deux valeurs de χ . La valeur maximale de η<br />
(0.5 idéalem<strong>en</strong>t) est réduite à 0.18 par des imperfections.
Plan de la leçon<br />
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts pour un oscillateur<br />
matériel et pour un champ<br />
3.2 Notions sur la décohér<strong>en</strong>ce des superpositions d’états cohér<strong>en</strong>ts<br />
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »<br />
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode<br />
dispersive <strong>en</strong> CQED<br />
3.5 Tests de la cohér<strong>en</strong>ce de la superposition: la décohér<strong>en</strong>ce « saisie<br />
<strong>en</strong> vol »<br />
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés
Proposition pour préparer un chat non-local de deux <strong>cavité</strong>s<br />
(d ’après Davidovich et al, Phys.Rev.Lett.71, 2360 (1993)<br />
L ’impulsion R2 S échange les niveaux e<br />
et g (pulse π)<br />
e<br />
R1 R2 R3<br />
C1 C2 On comm<strong>en</strong>ce par préparer un état du champ | α , α > dans C 1 -C 2 à l ’aide la<br />
source classique S et un atome dans l ’état (1/ √2)(| e >+| g >) par application<br />
d ’une première impulsion π/2 dans R 1. L ’évolution ultérieure est donnée par<br />
les équations qui décriv<strong>en</strong>t les transformations successives du système quand<br />
l ’atome traverse C 1, R 2, C 2 et R 3:<br />
( ) →<br />
1<br />
( e + g )⊗α ,α<br />
2<br />
→ 1<br />
2 e−iχ e ⊗ α e −iχ , α + g ⊗ α e +iχ , α<br />
1<br />
2 e−iχ g ⊗ α e −iχ , α − e ⊗ α e + iχ ( , α ) → 1<br />
2 e−iχ g ⊗ α e − iχ , αe + iχ −e −iχ e ⊗ α e +iχ ,α e −iχ<br />
→<br />
1<br />
2 e−iχ ( g −e −iφ e ) ⊗ α e −iχ , αe + iχ −e −iχ ( e + e + iφ g ) ⊗ α e + iχ C1 R2 C2 R3 − iχ<br />
( , α e ) (9 −17)<br />
±<br />
Ψ ˜ () χ C1C 2<br />
( )<br />
La détection finale de l ’atome dans e ou g projette le système C1-C2 dans l ’un<br />
des états:<br />
= 1<br />
2 α e−iχ ,α e +iχ ± α e + iχ ,α e −iχ<br />
[ ]
Préparation d ’un chat non-local d ’amplitude:<br />
plusieurs photons délocalisés dans deux <strong>cavité</strong>s<br />
±<br />
On peut transformer le chat de phase <strong>en</strong> un chat non-local d’amplitude <strong>en</strong><br />
ajoutant grâce à S un champ d ’amplitude complexe − α exp(iχ ) dans les deux<br />
<strong>cavité</strong>s. L ’état du système devi<strong>en</strong>t:<br />
±<br />
Ξ ˜ (χ)<br />
C1C 2<br />
= 1<br />
2 −2iα sin χ,0 ± eiφ [ 0, − 2iα sin χ ]<br />
Un champ avec <strong>en</strong> moy<strong>en</strong>ne n’ = 4 | α | 2 sin 2 χ = 4 nsin 2 χ photons est<br />
délocalisé <strong>en</strong>tre 2 <strong>cavité</strong>s: superposition de la situation où tous les photons sont<br />
dans C 1 avec C 2 vide et de celle où ils sont dans C 2 avec C 1 vide. En<br />
choisissant χ = π / 6 , on a un champ délocalisé dont les composantes ont la<br />
même amplitude que celle du champ initial. Pour φ = 0 l ’état du système est:<br />
±<br />
Ξ ˜ (χ = π /6)<br />
C1C 2<br />
+ iπ /2<br />
[ ]<br />
= 1<br />
2 α e−iπ /2 ,0 ± 0,α e
Conclusions and perspectives<br />
Larger and longer lived cats (n in the hundreds) with<br />
better cavities<br />
Prepare and detect | α , 0> + | 0, α ><br />
(similar to |n,0> + |0,n > « high noon states »)<br />
Non local field states in two cavities<br />
Wigner function measurem<strong>en</strong>ts and<br />
decoher<strong>en</strong>ce studies of cat states<br />
-4<br />
-2<br />
0<br />
2<br />
4<br />
-1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
2 -2<br />
2<br />
1
S.Gleyzes<br />
Support:JST (ICORP, Japan), EC, CNRS, UMPC, IUF, CdF<br />
P.Maioli<br />
G.Nogues<br />
M.Brune<br />
T.Meunier<br />
Alexia<br />
Auffeves<br />
J.M.Raimond